Opérateurs frontières; nouveaux produits scalaires
La notion suivante est fondamentale pour les applications :
DÉFINITION 11.1. Soit F un espace de Hilbert quelconque. Un opérateur y, élément de L(E (4); F), est dit opérateur frontière, si y est nul sur D (4) (et éventuellement sur d’autres éléments).
Tous les exemples utiles se déduisent du suivant :
On peut prendre ici pour espace H l’espace des w éléments de € (4) (et non seulement de V) tels que (D + M) u soit dans Q’.
ExEMPLE 11.1.
On prend, comme dans l'exemple 1.2, p. 24, € (4) — £5: (Q) et on suppose comme dans cet exemple que la frontière de Q contient un morceau [' de variété une fois continûment différentiable et que [' est borné; si l’on prend : F—1?(Tl"), espace des classes de fonctions de carré sommable sur [' pour la mesure superficielle ds, alors on a rappelé dans l’exemple 1.2 comment on pouvait définir une application «prolongement en moyenne», w—>y(u), de €x:(Q) dans F—1?(T); cette application est une application frontière; elle est en effet nulle sur D:(Q) (et aussi en général sur
d’autres éléments).
ExEMPLE 11.2.
On donne cet exemple à titre de curiosité. On suppose que les À; sont les opéra-
teurs différentiels à coefficients constants et sans terme constant; pour tout œ@ dans
D''enTa J Ai dx—0. Si l’ouvert Q est de mesure finie, l’application u—|] A;u(x)dx Q Q
est une forme linéaire continue sur € (À), nulle sur D donc sur D (A), et qui définit
donc un opérateur frontière, avec #—C, corps des nombres complexes.
Soit maintenant B un élément quelconque de l’espace L(F; F) : (111) BEEU FT); On définit sur V XV une nouvelle forme sesqui-linéaire en posant (11.2) ((u, v))= (u, v)4,9 + (Byu, yv)r ().
La forme (11.2) définit l'opérateur A=D+M. En effet, si v=p€D, alors yp=0, donc ((u, æ))=(u, )a,s et ceci vaut, comme on a déja vu : (D+M)u, p).
Ona la’:
PROPOSITION 11.1. Si l’opérateur D est V-elliptique, si M est de partie hermitienne strictement positive, et si B+B* est =0 ou bien de norme assez petite, la forme ((u, v)) est elliptique.
DÉMONSTRATION
On a en effet : ((u, v)), — partie hermitienne de (uw, v)44 (donnée par (10.1))
(* PS L YU, y V)r.
L’inégalité (10.4) a lieu. Si donc (B+B*)=0, on a tout de suite :
((u, u)), =a|lulléca, pour tout wE€ V.
(yu, y v)r désigne le produit scalaire dans F de y et de y v.
Dans tous les cas on a d’ailleurs :
((u, u)), =allullèca— cl B+B*1 uléca, c= constante,
d’où la proposition dans le cas où la norme de B+B* est assez petite.
Dans ces conditions la théorie des N9 1 à 7 s’applique. Explicitons encore la construction de l’espace N : c’est l'espace des € V, tels
que (D+M)uEQ', et qui vérifient :
(D+M)u, 0) =(u, v)4,9 +(ByU, yv)r; soit :
Du, 5)= D (gi; Aju, Aiv)u+(Byu, yv)r pour tout ve Y. i,5=1
Ceci posé, on a, d’après le théorème 2.1, le
THÉéORÈME 11.1. Sous les hypothèses de la proposition 11.1, l'opérateur (D + M)
est un isomorphisme de N sur Q'.
