CHAPITRE II Problèmes aux limites de type mixte
$ 1. Préliminaires 1. Distributions à valeurs vectorielles
Espace D'(t, L).
On désigne par { une variable de temps; t€R!. On désigne par L un espace de Banach (hypothèse qui nous suffira) et par D'(t, L), espace des distributions en t à valeurs dans L, l’espace £ (D (t); L) (on rappelle que si £ et F sont deux espaces vectoriels topologiques, £(Z; F) désigne l’espace des applications linéaires continues de ÆZ dans F, avec la topologie de la convergence uniforme sur les ensembles bornés de Æ); D(t) désigne l’espace des fonctions indéfiniment différentiables à supports compacts sur l’axe des #, avec la topologie de Schwartz. Si L=C= corps des complexes, on retrouve les distributions usuelles (pour toutes ces notions, voir Schwartz [6]). Les notions usuelles relatives aux distributions scalaires se généralisent aux distributions à valeurs vectorielles (et sans difficulté, lorsque, comme c’est le cas ici, Z est un
espace de Banach). Signalons notamment :
— le support en & des distributions à valeurs dans Z se définit comme dans le cas scalaire.
d — si TED'(t, L), sa dérivée en t, —T' est définie dans D’(f, L) par:
dt
d d (1.1) LP -r(5), p€E D (é).
(Même chose pour les dérivées d'ordre supérieur.)
— toute distribution TE D'(t, L) est sur tout intervalle borné de l’axe des #, de la forme :
CAEN Gb
où {—f(t) est une application continue de t dans Z (dérivée au sens (1.1)). — si aEE£E(t) (espace des fonctions indéfiniment différentiables en £{ à supports
quelconques), a T' est défini par
(1.3) aT(p=T(ap, peD(E).
Si L est lui-même un espace de distributions (exemple : L= L?(Q)) done muni © d de dérivations, on écrira 27 au lieu de Ti? NE D'UeL): ESPACE SL).
C’est le sous-espace de D'(t, L) formé des distributions à croissance lente en t,
espace noté S’(f, L), défini par :
où S(f)—espace des fonctions indéfiniment différentiables à décroissance rapide (voir Schwartz [2]). Pour LZ=C, on retrouve l’espace S' des distributions ordinaires à croissance lente, Schwartz [2].
L'espace suivant joue un rôle essentiel dans la suite :
Espace D (fi, L).
On désigne par D-(t) l’espace des fonctions indéfiniment différentielles, de support limité à droite, muni de la topologie de limite inductive de Schwartz (€ D (t) signifie : @ est nulle pour t<a, a dépendant de y). Le dual de cet espace est l’espace D (t) des distributions (scalaires) de support limité à gauche. On désigne alors par D,(t, L) l’espace des distributions en t à valeurs dans L, de support limité à gauche;
on peut le définir par (1.5) DE D)= 0 0) 0)
ce qui a l’avantage de munir D; (t, L) d’une topologie plus intéressante que la topologie induite par D'(t, L); T est dans D! (t, L) si elle est nulle pour t<a, a dépendant de 7.
Produits tensoriels Considérons le produit tensoriel D'@L, et désignons par D'@L cet espace muni TT
de la topologie { produit tensoriel projectif » de Grothendieck (voir Grothendieck [1], [2]
et Schwartz [7]); on désigne par D'@L le complété de cet espace. On démontre que : (1.6) D'&L=D'(t, L),
algébriquement et topologiquement.
De même :
(1.7) S'OL=S'(, D), DieL=D,(E D).
Ces résultats sont très commodes. Voici un exemple qui nous sera utile. On donne
deux espaces de Banach Æ, Æ' et un élément
F= 2) SLZ
