Produit de composition
On donne maintenant trois espaces de Banach, ZL, M, N, et une application bilinéaire B de Lx M dans N continue.
Considérons les distributions :
S—e@l, ee D, 1EL;, T=f@m, fED,, mEM.
Pour e et f dans D’, on sait définir leur produit de composition exf, ce qui définit une application bilinéaire : e, f—>ex f, hypocontinue de D’ x D’, dans D’ (Schwartz [2]).
On pose alors :
(2.1) SxT=(exfj®B(l, m), élément de D’ ® N;
on a donc défini une application bilinéaire (2.2) S, T=SxT de (D.@L)x(D,8M)-D,@N;
on montre alors le
LEMME 2.1. L'application (2.2) se prolonge en une application bilinéaire séparément continue, notée encore (S, TSxT» de D.,(t, Lx D,(t, M) dans D! (t, N). Cette application est hypocontinue.
La distribution Sx'T est le produit de composition des distributions $ et 7;
relativement à B. On notera parfois SX T, pour rappeler que l’on compose en £ et t,B
par rapport à B.
Berne 21:
Soit Q et R, deux espaces de Banach. Prenons L= £(Q; R), M =£(R; Q), N = £(Q; Q) et B(l, m)=mol, composée des applications / et m, EN. Cette application bilinéaire
est continue, le lemme 2.1 s'applique. On pose :
SXxT=TXKxS.
Explicitons le résultat en raison de son importance pour la suite
LEMME 2.2. On peut définir une application bilinéaire hypocontinue et une seule,
(2.3) S, T—TxsS de D: (t, C(Q; R))x D (4, L(R; QD: (4 L(Q; Q)), telle que (2.4) TXS = (exf)&(mol), S=e@l, T = fem.
Prenons maintenant N=£(R; R) et B(l, m -lomEenN, on a le
LEMME 2.3. On peut définir une application bilinéaire hypocontinue et une seule,
(2.5) S, Te SCT de °
D (4, L(Q:; R))x D: (4, C(R; Q)) — D; (t, L(R; R)), telle que
(2.6) SXT=(ekf)@(lom), si S=e@l, T=fom.
L'espace L étant donné on prend M—£(Z; N) et B(l, m mil), image de !
par m; B est continue, le lemme 2.1 s'applique donc encore et on a le
LEMME 2.4. On peut définir une application bilinéaire hypocontinue et une seule,
(2.7) S, T-TxS de D: (t, L)xD4. (4 C(L N))=D! (f, N), telle que (2.8) TXS—=(exf)@(m(1l)) si S—=eQl, T=fem.
3. Transformation de Laplace On désigne par $: l’espace des distributions (scalaires) T' telles que exp—ét:.TES pour tout £ > £,, muni de la topologie la moins fine telle que les applications T—exp —£t:T soient continues de $: dans S’. (Voir Schwartz [4].) On désigne par $:,(t, L) l'espace des distributions en { à valeurs dans Z, telles que exp—£t-TES'(t, L) pour tout £>é£, (le produit de exp—ét par T est défini
en (1.3)), topologie analogue au cas scalaire. On démontre que
(3.1) S: (4, L)=S:&L (algébriquement et topologiquement).
On peut alors former : S (exp—(pt)), p=£+im, £>£é, yER’', ce qui définit un élément de Z. On pose :
(3-2) S (exp (pt) — LS (p).
On a le
LEMME 3.1. L'application p—£$S(p) est holomorphe de £=E&, dans L (pour la notion de fonction holomorphe à valeurs dans un espace de Banach, voir Hille [1]);
la fonction n—=LT(E£+in) est dans S'(n, L) pour ET &.
DérFiniTion 3.1. La fonction p—£S(p) est la transformée de Laplace de S (si L=C on retrouve la notion usuelle).
Le lemme 3.1 admet une réciproque :
LEMME 3.2. Si une fonction p—F(p) est holomorphe de EE, dans L, la fonc-
tion n—F(E£+in) étant dans S'(n, L) pour tout EE, et demeurant dans un ensemble
90 DÉTADIONS
borné de cet espace lorsque £ parcourt un compact, alors il existe une distribution S dans
Se, (t, L) et une seule telle que LS (p)=F(p). On pose :
(3.3) SCA) (transformée de Laplace inverse).
On a des formules d’inversion analogues au cas scalaire.
Produit multiplicatif
Soit F=LS, SES: (t, L), et G=LT, TES:(t, M), avec une application bilinéaire B comme au N° 2. La fonction : p—B(F(p), G (p)) est holomorphe de > £&, — — sup (£,, &,) dans N, à croissance lente en 7 pour £>é, fixé. On désigne par F-G
la fonction considérée :
C’est le produit multiplicatif des fonctions F et G. La fonction F-:G est transformée de Laplace d’une distribution; on montre par ailleurs que le produit de composition SxXT a encore un sens, et on a les importantes
formules :
(3.5) L'(F-G)=SXxT, L(SXT)=LS-LT, La distribution SxT est dans S: (t, N).
