LEMME SUR LES SUPPORTS

Le lemme qui suit est fondamental pour la suite. Il se démontre exactement

comme dans le cas scalaire (voir alors Schwartz [4]).

LEMME 3.3. La condition nécessaire et suffisante pour que T, élément de S:, (t, L) soit nulle pour t<a, est que pour tout nombre b<a on ait : exp LE: F(£+in) demeure dans un ensemble borné de S'(n, L) lorsque £— + ©.

(Il s’agit en réalité des fonctions exp b£:F (£+in).)

4. Lemmes On va maintenant donner quelques lemmes qui nous seront utiles. LemMME 41. Soit E et F deux espaces de Banach et p—>a (p) une application holo-

morphe d'un ouvert O du plan complexe dans l’espace L(E; F). On suppose que pour

tout pEO, a(p) admet un inverse bilatère à ‘(p), ï.e. :

a(p)'a-"(p)=1, 1EL(F; F) et a !(p):a(p)=1, 1EL(E; E),

el on suppose aussi que [la ‘(p)|| (norme dans L(E; E)) est borné sur tout compact

de O. Dans ces conditions l'application pa ‘(p) est holomorphe de O dans £L(F; E).

DÉMONSTRATION

1) On va d’abord démontrer que l'application pa *(p) est continue de O dans

L(F;E). Soit »€0 et supposons que p tende vers », en demeurant dans un compact de O. On a:

a" (p)}—a "(p)= —a "(p)(a(p) —a(p6))& * (Do) d’où :

] a "(p)—a (Do) Ile «r;, 8 <C | & (p) — & (Po) Île «: r» U= Constante, d’où le résultat.

2) Montrons maintenant que l'application p—>a *(p) est holomorphe. On part de l'identité :

—— a (po); P—P P — Po L

d'où résulte que, lorsque p—p,, le premier membre à une limite, qui vaut :

= (Po) a” (Po) A (Do) d’où le lemme.

LEMME 4.2. Soit M un espace de Hilbert, H,, H,,..., Hy, k opérateurs hermutiens positifs dans L(H; H) et «,... , «x, k nombres, € [0, 2]. Alors l’opérateur k