Théorème d’isomorphisme
La méthode de résolution que l’on va utiliser est d’effectuer une transformation de Laplace en { — ce qui suppose au moins pour commencer, que À admet une trans-
formée de Laplace en {. On suppose done :
(2.1) exp (— £t) KES L(H"0")) pour £=EE On désigne par À (p) la transformée de Laplace en t{ de K : (2.2) K(p)=K (exp(—pt))},, E>Ek.
On a : À (p)EL(H; Q').
Notons maintenant que l'opérateur 1®A + X* n’est autre que l'opérateur de com-
position en { par la distribution :
(2.3) ÔSA+XK, élément de D’, (t, L(H; Q')), distribution qui admet une transformée de Laplace en t, donnée par : (2.4) A+ R (p), élément de £(Y:; Q').
On fait alors les hypothèses suivantes :
ee
ŒL [Il existe &, tel que pour tout £>£,(£, > Ex), "" ‘ : à se (A4 Æ (p) soit un isomorphisme de N sur Q', d’inverse G (p)
(2.5) (A+R (p)G(p)=1, 1€L(Q'; Q'), et (2.6) G(p)(A+R (p))}=1, 1EL(N; N).
(Il existe un nombre b tel que exp (-b9||G (llecerw< pol (pl) @.
On a alors le
THÉORÈME 2.1. Sous les hypothèses (H 1) et (H 2), il existe une distribution et une seule, soit G, dans l'espace : D’, (t, £ (Q'; N)), admettant une transformée de Laplace en t, telle que (2.7) (ÔÉSA+K)xG—=081, 1EL(Q'; 9).
On a alors :
(2.8) GX(ÔSA+K)=081, 1EL(N; N).
DÉMONSTRATION
Soit G(p) la transformée de Laplace de G, supposée exister. On a alors : (A+ R (p)) G (p)=1, et done, grâce à (H 1), on a : G(p)}=G(p). Il reste à vérifier :
a) que la fonction p—G(p) est holomorphe de £=&, dans £(Q'; N) et est trans-
formée de Laplace d’une distribution € S4, (t, £(Q'; N)). b) que G est dans D! (t, £L(Q'; N)).
Si a) et b) sont vérifiés on aura (2.7), et (2.8) résultera de (2.6).
VÉRIFICATION DE à).
On a, grâce à (H 2) :
(2.9) IG (p) Il ce: » < exp (b 8) pol (pl),
done ||G(p)llo:m est borné sur tout compact du demi plan £=&,: alors par le lemme 4.1, $ 1, p. 90 et91, l'application p 6 (p) est holomorphe de £ > &, dans £L(Q"; N). Il résulte de (2.9) que G(p) est transformée de Laplace de G.
VÉRIFICATION DE b).
De (2.9) et du lemme 3.3, $ 1, p. 90, résulte que QG est nulle pour t< —b, ce qui achève la démonstration du théorème.
On déduit aussitôt du théorème 2.1 le
D On désigne par pol (| p l) divers polynomes en [p| à coefficients positifs.
100 JL. ILIONS
THÉORÈME 2.2. Sous les hypothèses (H 1) et (H2), p. 98 et 99, l'opérateur 1S@A+KX* est un isomorphisme de D, (t, N) sur D, (t, Q').
COROLLAIRE 2.1. Sous les hypothèses (H 1) et (H 2), le problème mixte 1.2,
admet une solution unique dépendant continûment des données.
