DÉFINITION

a) La distribution G, donnée par le théorème 2.1 est la distribution de Green de l'opérateur 1@A + X*, relativement à la forme ((w, v)).

b) La distribution G définit une application linéaire continue : 1—=GxT de D'.(t, Q') dans D'(t, N); soit G* cette application; c’est l'opérateur de Green de 1@A + K*.

c) L'opérateur G* définit en particulier une application linéaire continue de Doxe, dans Doxe, (t)= axe des t; cette application est définie par un noyau distribution (théorème des noyaux de Schwartz), soit GQ:,4,: ce noyau; c'est le noyau de Green de 1SA +K*.

De ce qui précède, dégageons également, en raison de son importance pour les

applications (voir notamment les travaux de Garnir, cités dans la bibliographie) le

THÉORÈME 2.3. Sous les hypothèses (H 1) et (H 2), la distribution de Green peut

être obtenue par transformation de Laplace en t.

Sous les hypothèses (H 1) et (H 2), la solution du problème 1.2 (p. 96) est don-

née par :

(2.10) U=h+GXx(S-T), T=(TSA+K*)2.

Cette solution U ne peut pas en général être calculée par transformation de Laplace en {; en effet dans (2.10), k, S, T peuvent être à croissance quelconque en t; seule G peut être calculé par transformation de Laplace; dans (2.10) les produits de composition en { ont un sens pour des raisons de support, non pour des raisons de croissance à l'infini en t.

Notons maintenant le

THÉORÈME 2.4. Sous les hypothèses (H 1) et (H 2), si dans le problème 1.2, p. 96, S et h sont indéfiniment différentiables en t (ie. SED. (t, Q), AED, (t, H)) alors

U est indéfiniment différentiable en t.

DÉMONSTRATION

Conséquence de la formule (2.10) et des propriétés générales des produits de composition en f.

Comme G est dans l’espace S$: (ft, £(Q'; N)), elle est d'ordre fini ent. Cet ordre

est facile à préciser dans chaque cas particulier.

3. Premier exemple général d’application du théorème d’isomorphisme

On donne cette fois :

(3.1) KED (t, L (V; Q')) avec :

[çK admet une transformée de Laplace en t{, À (p), avec

ÜL£ (p)Ilev: 05 < pol (pl, £>8.

On donne AÀ défini par ((w, v)) sur V, et l’on considère la forme sesqui-linéaire :

((w, )) (p) = ((u, v)), (p) + à ((u, v))2 (p) la décomposition en partie hermitienne et anti-hermitienne : (ue, 0))s (p) = (Cu, 0) + 1/2 (CR (p)u, 5) + <u, À (p)o)). On fait l'hypothèse :

fe existe £,>£, tel que pour > &, on ait:

ST tout u€ Y.

LG où ET lle pour tout

On a alors la

PRroPosITIon 3.1. Sous les hypothèses (M 1) et (M 2), les hypothèses (H 1) et (H 2) (p. 98 et 99) ont lieu avec b=0.

DÉMONSTRATION

On cherche l'inverse de A+Â(p). Soit done à résoudre

(3.3) (A+R (pl)u=f, uen, fEQ.

102 JA ITIONS

Si (3.3) admet une solution, alors, pour tout v dans VW, on a : (3.4) ((u, v)) (p)= <f, 2».

Réciproquement, si w est dans VW, et vérifie (3.4) pour tout vE V, alors, (3.4) a lieu en particulier pour tout v—g dans D, donc on à (3.3), puis l’on constate que w est dans N. Tout revient donc à résoudre (3.4).

Or si f est fixé dans ©”, la forme semi-linéaire v—<f, #> est continue sur V, donc :

(3.5) G, 5) =((J (p) f v)h: (p), ce qui définit J (p) élément de £L(Q'; V) (1).

De même si « est fixé dans V, la forme v—{((u, v)), (p) est continue sur V, donc :

(3.6) (Cu, v))2 (p) = ((H(p) u, v)) (p),

ce qui définit H(p)E£L(V; V), hermitien, et (3.4) équivaut à : (1+2H (p))u=J (p)f,

qui admet une solution unique : si (3.7) G(p)=(+iH(p)) ‘J(p),

elle est donnée par : u—G{(p)f. Majorons maintenant ||G(p)|Lco: m. On déduit de 3.5

(7 (p)f J'(p)f)h (p)= P, J'(p)f> donc, grâce à (M 2),

IT (p) Île ce: » < pol (|»l).

Par ailleurs :

(+54 (p)) ‘]£1, done [|G (p)Îleco: »< pol (pl). Il reste à majorer G(p) dans £(Q'; N). Or si fEQ’, et si u=G(p)f, on a:

Au=f—R (plu, donc :

IA ue <|{fÎle + pol (pl [ul

(grâce à (M 1)) d’où l’on déduit : | @(p){L40: m < pol (pl) d'où la proposition. On a donc tous les résultats du N° 2, et notamment le

THÉORÈME 3.1. Sous les hypothèses (M 1) et (M 2), l'opérateur 1® A + K* est un isomorphisme de D’, (t, N) sur D, (t, Q').

L'opérateur inverse est G*, opérateur de Green, la distribution de Green G étant

obtenue par transformation de Laplace en t.

D ge CA LUS LH Re NT MN SR AT

® Grâce à (M 2), ((u, v))\ (p) est pour Ë>E, un produit scalaire hilbertien sur V, de norme correspondante équivalente à lu | y.

Etude de la stabilité On donne À et K comme précédemment, avec (M 1) et (M 2), on précise les

polynomes en 9 :

LÀ (p)llecv. e<P,(|»l),

CARRE j ul} pour tout we y.

P, (pl On donne alors une suite des distributions : KE D, (t, £L(V; Q')) (V et Q’ sont fixes), et une suite de formes sur VX W : ((u, v))*, qui définit A". On suppose que

les hypothèses suivantes ont lieu :

(SM 1) Fo (p) Île cv: e < Pi (pl), (SM 2) ((u, u))i (p) = 2 D 5 [ufr pour tout ue V, £<Eé,,

Al (»

(Ce, op) — (Cu, o) (m1 <ex Psp) ler ©

(SM 3) Üoù ex 0 si k—>c, P,(|pl) indépendant de k.

De (SM 1) et (SM 2) résulte en vertu du théorème 3.1; 1@A"*-+K"" esk une isomorphisme de D’. (t, N) sur D’. (t, Q'). Soit G la distribution de Green de cet opérateur. On a : G“ED.. (t, L(Q'; N*)), donc en particulier : ED, (t, £(Q'; V)). On a alors le

THÉORÈME 3.2. Sous les hypothèses (M 1), (M2), (SM 1), (SM 2) et (SM3), la distribution de Green G* de 1@A*+K* tend, dans l’espace D, (t, L(Q'; V)), vers la distribution de Green G de 1&A + K*.

DÉMONSTRATION

Toutes les distributions G* sont nulles pour #<0. On aura donc montré davantage que le théorème si l’on montre que G°—G dans Se (LC (QE) Or il résulte du Chap. I, $ 1, N° 7, qui si G* (p}f=u* ® et G(p)f=u, alors :

lu —ul|y <ex 2, (1pl) Ps (pl) [lullv,

d’où l’on déduit facilement le résultat.

4. Deuxième exemple général d’application du théorème d’isomorphisme

On donne, comme au Chap. I, $ 1, N° 8, un opérateur D avec sa décomposition :

(4.1) D= > ‘Aigi; À

M (us 2))° (p)= (Qu, 2) 4 CR (plu. 8).

2) G# (p (Se pme de Laplace Ge

On suppose en outre qu'est donné 4,, isomorphisme de Æ sur L?, de sorte que € (A) est bien déterminé (cf. p. 38 et 39). On suppose donné V, contenu dans € (4), et contenant D (4), et P, opérateur de perturbation : PEL(V: E") si V est différent de D (4); P=P;rP,, PEL (D (A) £").. P,€ LC (&; D'(4)} si F =D (A).

On prend alors :

Il n'y à pas en général (dans la pratique) de terme en M (avec les notations de la

page 39) dans les problèmes mixtes.

n2 - « « . . A g 7 | à On considère les problèmes mixtes relatifs à — A+ D? donc K=0"”, A= — À, M—P-=0:

Sur FXF, on considère alors la forme :

(on prend B—0Q si l'on ne peut définir d’opérateur frontière raisonnable u—yu, de Ë (4) dans l'espace de Hilbert F). L'opérateur défini par cette forme est A=D+P.

On prend Q=E si V+D(4) et Q=D(4) si V=D(A). Dans tous les cas, Q est un espace de Hilbert.

Pratiquement, il serait trop restrictif de supposer la forme ((u, v)) elliptique. EXEMPLE 42.

On considère le même opérateur que dans l'exemple 4.1. On prend

E (4) Li Er: (Q), et

et l'on n'a pas en général

(Que, w)), = ((u, u))Zal|u|fé., a>0, pour tout «€ F (,

a ———]—] — — —"— —" — " —"—"——]— ——] |" — |. " } En = « + » \ a # D C'est toutefois vrai si par exemple V est égal à l’espace D7:((Q) et Q étant borné (Gärding).

Par contre l’hypothèse suivante est très fréquemment vérifiée dans les problèmes

de la Physique Mathématique :

{ Il existe un nombre 6,0 tel que

A I Ce. | ((u, w))1 + 00 (Ao%, Aot)m=allulfr, a>0, pour tout uw E VU,

On reprend l'opérateur de l'exemple 4.2. Alors 4, opérateur identique de L?

sur lui-même; tout nombre 6,0 convient.

Sous l'hypothèse (A 1) la quantité ((u, v)) +60 (Ao%; Aov}r: définit sur V un produit scalaire hilbertien de norme correspondante équivalente à [lu lv. Il y aura souvent intérêt, pour simplifier quelques calculs, à considérer le produit scalaire

((u, v))1 + Go (91 Ao & Aov)z, où , EL(L?; L?) est un opérateur strictement positif, 1.e.

(if, Pu>c ||fIl:, >0, pour tout fE Z?.

Au sujet de (Al), on a la

PROPOSITION 4.1. On suppose que l'opérateur D, sous la forme (4.1) est V-ellipti-

que (cf. p. 43) et que l’on a :

DÉMONSTRATION

On a en effet :

5 + 9 B + B* 2 —— ((u, u)), = se Asus Art) | 2 (== Vu, vu) + (Pau ar <u, Puy).

Le 1er terme est > a, ||w|.

Le 2ème terme est majoré en module par :

Ca [lt Îlo Île ll + ca fu flo:

Majorons maintenant | { Pu, &»|.

® Voir note 2, p. 21.

(2 Ceci a souvent lieu lorsque y est un opérateur de prolongement en moyenne (cf. Deny- Lions [1}).

106 J. L. LIONS Si PEL(V;: EE), on a: |<Pu, a)|<cllullvflulz, d’où :

FI Pu,a»+<u, Pudl< c(fullé + [full li).

Même majoration si P—P,+P,, dans le cas V=D (4).

Dans tous les cas on a donc :