Hyperbolicité; réflexion des ondes

On se borne dans ce N° à l'étude du classique opérateur des ondes : —-1@A+ 2 & + 2Ë @1, que nous écrirons simplement — À + É

Soit f, donné dans un espace N choisi, et soit la solution dans D; (t, N) de

Ô (18.1) — Au+ LOUER Comme on a vu au N° 16, w est (presque partout) égale à une fonction é—>u (t) continue de #=0 dans Z?(Q) (et même une fois continûment différentiable). On veut

étudier le support de ut) pour {0 fixé quelconque. On a le

EEE

@ js est ici l'application T—GXT; à ne pas confondre avec la distribution de Green de 18D*+K,®@M'.

THÉORÈME 18.1. On suppose que la fonction f, a son support contenu dans la boule |x—x,|<a, contenue dans Q. On désigne par dy=d(xo, T) la distance du point

x) à la frontière T' de Q et par u la solution de (18.1). On a : a) pour t<dç—a, le support de ut) est contenu dans la boule |x—x,|<a+t. b) pour t=d,—a, le support u(t) est contenu dans la réunion des ensembles : E,={xeQ, |r-x|<a+t E,={x€EQ, d(x, T)<a+t-d}.

DÉMONSTRATION

a) Soit Q”® la distribution de Green de A+ pour Q=RX" (voir son expression explicite dans Schwartz [S]), soit f, le prolongement de f, à R* par 0 hors de Q; f, est dans €%:(R"). Posons :

on obtient ainsi une fonction &—U (t) continue de 4=0 dans €%:(R") et ayant son support dans [&—x,|[<a-+t pour tout f.

Il en résulte que la restriction Ua de U à Q et pour t<d,—a est dans D: (t<d, —a, N), donc en vertu du théorème 13.1, on a : u=U, pour t<d,—a, d’où le résultat.

b) Soit £=1, fixé, =d,—a, et y&E, UE, donc:

(18.2) [y—xl>a+t, et (18.3) d(y, T)>a+t—d,=r.

On choisit £>0 assez petit pour avoir

(18.4) d(y, l)>r+2e et (18.5) ly—æl>a+t+2e

puis l’on prend &, avec 0 <e, <e.

On considère maintenant la boule : B :|r-y|<r+2e.

Grâce à (18.4) cette boule est contenue dans Q. Posons :

(18.6) t=d—-a—en

PROBLÈMES AUX LIMITES EN THÉORIE DES DISTRIBUTIONS 149 Reprenons la fonction U du a). La fonction U (4) a son support dans [æ—x,|<a+t,=

= dy —e, et il en est de même pour la fonction (£ v) (t)=U,; (&) (qui est encore

dans N). Dans ces conditions, B ne rencontre pas le support U, (t) (car [y—x| > >r+2etd—-e=a+t+2e—e, d’après (18.65)).

Soit alors v la solution dans D’ (t, N) de

® (18.7) —Ao+ 23 0 di (H)®U: (fo).

Comme «, considérée dans {>1f, et prolongée par 0 pour £<{, vérifie aussi (18.7),

on a :u(t)—v(t) pour ét, et tout revient à montrer que (18.8) v(t)=0 au voisinage de y.

Or soit «E Da, «=1 pour |x—y|<r+e, —0 hors de B, la fonction «v est dans

D. (t, N), et a U,(t,)=0 (les supports de « et U;(t,) ne se rencontrant pas). Donc:

(18.9) —A(av)+ 25 (av)=R, où 0 à Ov R 2 5 (A @) »,

done À peut être considérée dans D’ (ft, D;), dépendant continûment de f, à valeurs dans Z?(R"), nulle pour t<t, et nulle pour |æ—y|<r+e (car «—1 dans cette boule), et

(18.10) tu OR,

fonction continue de 4>t, à valeurs dans L?(R”).

Donc (18.8) revient à montrer que

(18.11) G°XR (t)=—0 au voisinage de y, 1.e.

(18.12) LG r,eR,sdtd£=0 au voisinage de y.

On va montrer que l'expression donnée par (18.12) est nulle dans la boule |x— y|< <e—e#,, ce qui achèvera le théorème.

Or cherchons le domaine d'intégration; on doit avoir : 4 —T2>0, [x—é|<t,—7+ et r>t,|E-y|>r+e. Il en résulte :

[x—yl>r+e-(h-T)Ztotr+e-h=e—e,

ce qui fait que si [v—-y|<e—e, on intègre sur un ensemble vide d’où le résultat.

COROLLAIRE 18.1. Le support en x et t de G:(x,) est contenu dans le réunion des ensembles F,={xeQ, |r-|<t}, F;={x€0Q, dx, T)<t-do dy=d(xs; L)}.

DÉMONSTRATION

On prend une suite f* de fonctions de Do, f* ayant son support dans |x—x,|=

<1/k (k assez grand); on suppose que f*—0(x,) dans £a lorsque k— +. Alors : u* = Gx (08) Gex (vo) dans Doxr,

et w*, solution de

© , — Au + DE HET dans DA N),

a son support donné par le théorème 18.1.

Soit @EDoxr, de support dans Ç(F;U F,); il existe & tel que œ ait son sup-

port dans le complémentaire de la réunion des deux ensembles : Fi={xeQ, |r-x,|<t+1/k}, Fi={xeQ, d(x, T)<t-d,+1/k}.

Par le théorème 18.1, 4°’ est nul dans ce complémentaire pour tout k'>k, donc se

uw” (g)=0 pour tout k4'>% donc

Ge, x (&o) (g)=0, Cod.

Le corollaire 18.1 ne peut en général étre amélioré. Considérons en effet le cas très simple : Q—)0,1( sur R, n—1. On prend V —espace des fonctions w € €: (Q) telles que u(0)=u(1) et pour N l’espace des 4€ V telles que

d : d e d d qu “EL et que — fev) (Eu nu).

pour tout vE VW. On va montrer que dans ces conditions le support de G::(x,) est exactement l’ensemble F,U F,, F; défini comme au corollaire 18.1. Ce résultat peut être obtenu par un calcul direct de G,,(x,) en effectuant une

transformation de Laplace en { — ou plus naturellement : soit f donnée dans Do et 2 2

è + su 0@f.

u la solution dans D’ (t, N) de a VE

La fonction « est indéfiniment différentiable de {> 0 à valeurs dans NW (cf. N° 16); rer Q @) or u(t)EN signifie : wu(0,t)—=u(l,t) et Po (0, t) = 2x4 (1,t);, donc si l’on désigne par tk (t) la fonction x—>u(x—k,t), k—entier positif, et si l’on pose :

à(t)= Drut), f= > tk, k

la fonction à est solution dans D! (4, D,) de

LR een à = Sa | D ù = 0®f done à = G°x(0®Sf).

Si maintenant f tend vers 0, (x) dans £a, f—2 7x dx (x9) dans D;, et ü—+ D Tasse (GE) k done, si l’on désigne par (G?:)a la restriction de G%: à Q, w tend vers

2 Trot (GEr)a k et vers Gex (to) d’où

Ge, x (Go) = Z Terre (GPr)o

d’où le résultat.

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