D, (t, L°+E') et dans S4, (t, L
En effet, il suffit de montrer que, pour £>&,, on a : G(p)f—G,(p)f. Or, pour tout g dans L?NE, on a :
Si donc : G(p)f=u, G*(p)g=v, il faut montrer que (17.10) (, v)12= (u, 9).
Or « (resp. v) est la solution dans N (resp. N*) de
(D+p* M") u=f (resp. de (D*+D*M')v=9), d’où résulte :
(f, v)z = ((u, v)) + p* (Mu, v) 12 et (g, u)xe= (0, u)) + p* (M v, u), d’où le résultat.
Soit alors g dans D. (t), on a : G(œ):f—"G*(œ)-f, pour tout f dans Z? N £; done l'application f—G (g)-f est continue de Z? N € muni de la topologie induite par L?+€' dans L?+€’ (puisqu'il en est ainsi pour l'application f—>tG* (œ):f); comme Z? NE est dense dans L?+Æ€', cette application se prolonge par continuité en une application notée encore f—Q (y):f, continue de Z? + €’ dans lui-même (et coincidant avec *G* (œ)): l'application y—G(y) de D dans C(L?+E'; L?+£') est continue car elle coincide avec p—>'G (œ), donc :
THÉORÈME 17.2. Sous les hypothèses (R 1) et (R 2), la distribution de Green de l'opérateur 18D + K,@M, soit G, relativement à V et B, définit par prolongement par continuité, une distribution G élément de D', (t, L(L+E'; L?+E£')).
En résumé : on pourra considérer G comme élément des trois espaces suivants :
D+(, C(L5 N)), Dit, C(PNE NE), D! (4, C(L+E": + E')).
Considérons la distribution Ô,(s)@0,: (y), produit tensoriel de la distribution en t masse L au point s et de la distribution en x masse 1 au point y, y€ 0); l’application (s, y) —> ds) & 6, (y) est indéfiniment différentiable de R,XQ dans D, (t)& (L?+E) et donc
CoROLLAIRE 17.2. Le noyau (au sens de Schwartz) de l’application définie par
G* ® (noyau de Green) est :
GX (dr (s)S dx (y)) — Ge (S)x (y),
(on met les indices en bas pour les distributions, en haut pour les distributionsfonctions) ow encore Ge sx(y); l'application s, y—Ge s,x(y) est indéfiniment différentiable de R,XQ dans D, (t, L°+E).
On a des résultats voisins pour les conditions aux limites de Dirichlet.
Soit pEDa; on a:
(6aD+K,@M')xGx(ô (0)2p) = à (0)2p.
Si l’on prend une suite de y tendant vers d,(y) on a, à la limite :
(SD + FM (y) = dr (0)8 0 (y).
