Hypothèses et problème
On désigne toujours par Q un ouvert quelconque de R”. On désigne par Da (D lorsqu'il n'y a pas d’ambiguité) l’espace des fonctions indéfiniment différentiables sur Q, à valeurs complexes, à support compact, muni de la topologie de limite inductive de Schwartz; on désigne par Da (ou D’) son dual (muni en général de la topologie forte), espace des distributions sur Q; on désigne par £a (ou €) l’espace des fonctions indéfiniment différentiables sur Q, sans conditions sur les supports, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de Q des fonctions et de chacune de leurs dérivées; on note £a (ou €’) l’espace dual, espace des distributions à support compact sur Q; on désigne par L? (Q) (ou L?) l’espace des classes de fonctions de puissance p°”° sommable sur Q, pour la mesure de Lebesgue da =dr dan (m=(x,..,2) ER"); si wEL? (Q), sa norme usuelle est notée PATIO
Sauf indication expresse du contraire, foutes les dérivations sont effectuées au sens de Do.
On donne maintenant un espace vectoriel topologique localement convexe séparé, Q, avec :
DacQc Da
les injections ® Da—Q et Q—> DA étant continues et Da étant dense dans Q. Toute forme linéaire continue sur Q, soit T', définit par restriction une forme linéaire continue sur DA, donc une distribution TE DA; on a donc une application canonique du dual Q' de Q dans D, et cette application est biunivoque : si T =0, c'est que T est nul sur D, donc, D étant dense dans Q, T—0. On peut donc identifier Q’ à
un sous-espace vectoriel de D’; on a:
(1) Tous les espaces topologiques utilisés sont localement convexes; on ne le répétera plus. (2) Si Æ et F sont deux espaces vectoriels topologiques, avec EC F, l'injection de E£ dans F est l'application identique ee de E dans F.
DSQ'cD' les injections étant continues et D étant faiblement dense dans Q.
L'espace Q’ sera muni de la topologie forte de dual. Lorsque Q est un espace de Hilbert (cas fréquent dans les applications) il y a évidemment un isomorphisme canonique entre Q et Q’ qui permet d'identifier ces deux espaces; mais sauf dans le cas particulier où Q=—L?(Q), nous n’effectuerons pas cette identification.
Si TED', T désigne la distribution complexe conjuguée de 74). On suppose
que si T' est dans ©, alors T est aussi dans Q; même chose pour Q.
On donne maintenant un espace de Hilbert V, avec : DEVEO0SD
les injections étant continues. On suppose que si 7 est dans P, T y est aussi. L'espace D n'est pas en général dense dans V; si D n’est pas dense dans V, on n’introduira pas l’espace dual V’, qui n’est pas un espace de distributions. L'espace V est généralement muni d’une topologie strictement plus fine que celle induite par Q, même lorsque Q est un espace de Hilbert. Lorsque D est dense dans V, on prendra Q= V.
On donne ensuite une forme sesqui-linéaire ® continue sur V XV, soit : (11) (u, 0) — ((u,v)), u,v EP.
La donnée de cette forme est fondamentale.
Comme D est contenu dans V avec une topologie plus fine, pour w fixé dans
V, la forme semi-linéaire qg —> ((uw,g)) est continue sur D, donc du type :
(1.2) ((u, g)=<Au,p},uEV, pED, le crochet désignant la dualité entre D’ et D; (1.2) définit Au, élément de D'; on
a donc défini une application linéaire : u + Au de V dans DA, qui est continue (si u 0 dans V, alors ((w, o)) 0 uniformément pour œ demeurant dans un en-
semble borné de D, donc Au 0 dans D’ fort); par conséquent :
(1.3) AELC(V; Do) ®.
O Défini par T (HE (p).
(2) je: ((u, v)) est linéaire en w, et semi-linéaire en », c’est-à-dire : ((w, À v))=À ((u, v)) pour
tout nombre complexe À, À — complexe conjugué de À.
8) Si ZE et F sont 2 espaces vectoriel topologiques, £ (E; F) désigne l’espace des applications linéaires continues de Æ dans F. Cet espace est généralement muni de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de Æ (topologie qui fait de £ (Æ; F) un espace de Banach, si Z et
F sont des espaces de Banach).
DéFriNiTionN 1.1. L'opérateur À défini par (1.2) est dit : l'opérateur défini par la forme ((u, v)); réciproquement on dit que la forme ((w, v)) est une forme attachée à A.
L'opérateur À sera le plus souvent dans la pratique un opérateur différentiel.
La forme ((u,v)) définit A, mais la réciproque est généralement inexacte : la connaissance de A, élément de £(V; D') détermine ((w,)) pour tout € V, et pED, mais, sauf si D est dense dans V, ne détérmine pas ((w, v)), pour tout € V2 et vE V; il est facile d’ailleurs de donner des exemples (cf. ci-après) de formes ((w, v)) différentes et définissant le même opérateur A. Notons que si D est dense dans V,
alors À est dans l’espace £ (V; PV".
Les problèmes Notre but est de donner des conditions suffisantes portant sur ((w, v)) permettant de construire des espaces X, Y, tels que À soit dans £ (X; Y), et soit un isomor-
phisme de X sur Y.
Exemples simples de formes ((uw, v)).
EXEMPLE L.l.
© On désigne par Æ€ï: (Q) l’espace des (classes de) fonctions w, u E I? (Q), Le u € L?(Q) pour tout i—1,...,#, muni de la topologie la moins fine telle que les applica-
tions u—>4u et u — ni soient continues de €: (Q) dans Z?(Q); si uw, v, sont dans T;
Ei: (Q), on pose :
& @ 0 (u, v)ei, = (u, d)1i+ 2 (£ U, Fe v) Fe
L'espace €: (Q) est alors un espace de Hilbert (cet espace à été introduit par Gârding; cf. Gâärding, [1] à [4]; cf. aussi : Schwartz [3]; le fait que €7: soit un espace de Hilbert est immédiat; c’est d’ailleurs un cas particulier de le proposition 9.1 ci-après).
Ceci posé, on prend : V=Æ€ï: et la forme :
ET té, © ((u, v)) = b (u, v}r2 + D e U, 2e).
i=1 L'opérateur À défini par cette forme est :
n © ÂA=r A+0,, = 2 ne (Laplacien).
On prend V—£: comme dans l’exemple 1.1. On utilise en outre le fait suivant (Cf. Deny-Lions [1]) : on suppose que la frontière de Q contient un morceau [ de variété une fois continuement différentiable de dimension n —1; on suppose [ borné; on peut alors prolonger la fonction « (définie dans Q) sur F; soit y« cette fonction prolongée. Elle est définie de façon précise comme suit : on peut définir une application linéaire continue et une seule, u—yu, de €ï: (Q) dans l’espace L? (T°) des classes de fonctions de carré sommable sur [' pour la mesure superficielle, de telle sorte que yu coincide presque partout (pour la mesure superficielle) avec les valeurs de « sur
l', lorsque « est continue dans Q UT". On prend alors sur VX V la forme :
Q) 0 + ((u, v)) = D (u, ve + D È u, ae). | efyuye ds, ra
k— constante complexe, d s— mesure superficielle sur F. L'opérateur À défini par cette forme est encore — À +b, comme dans l’exemple 1.1. On voit donc bien qu’à des formes différentes peuvent correspondre des opéra-
teurs À identiques.
