Le théorème d’isomorphisme

EsPAce Y.

On désigne par H l’espace des w€ V, tels que Au soit dans Q’; on le munit de la topologie la moins fine telle que les applications # — w et w — A u soient continues de # dans V et Q’ respectivement.

Si D est dense dans V, on prend V—Q, alors H coincide avec V.

On notera que si Q (donc Q’) est un espace de Banach, il en est de même pour H. Par ailleurs, si D n’est pas dense dans V, l’espace H peut à priori être réduit à {0}.

EsP4cE N.

On désigne par N le sous-espace vectoriel de % formé des fonctions « qui vérifient :

(2.1) Au, 5» = ((u, v)) pour tout vE V,

le crochet désignant la dualité entre Q’ et Q. L'espace N est un sous-espace vectoriel

fermé de # que l’on munit de la topologie induite par %.

Si D est dense dans V, l’espace N coincide avec V. En effet, par définition de À, la relation (2.1) a lieu pour tout v—ç € D, donc pour tout v € V par prolongement. Par contre si D n’est pas dense dans V, la relation (2.1) n’est pas vraie en

général pour « € H et vE V.

On prend V et ((u,v)) comme dans l'exemple 1.1, p. 4 On prend Q-—1?(Q);

H est alors l’espace des w € V, tels que Au soit dans Z?, et qui vérifient :

(—Au+bu, v)r:=((u,v)) pour tout vE PF,

(= A uv): 2 (£. U, . o). pour tout vE Y.

Cette relation n’est pas vraie en général pour «€ H, vE V; elle n’est vérifiée que pour les « dont la dérivée normale (dans un sens généralisé, car aucune hypothèse n’est faite sur la frontière de Q) est nulle sur la frontière de Q.

On a done défini des espaces # et N tels que À soit un opérateur linéaire continu de # (ou N) dans Q'. On va maintenant donner une condition suffisante simple pour que À soit un isomorphisme de N sur Q’. Pour cela il est utile de

décomposer ((w, v)) en sa partie hermitienne et anti-hermitienne :

(2-2) (Cu, v))=((u, v)), +è((u, v)}2,

où :

On pose alors la

DÉFINITION 2.1. La forme ((w, v)) est elliptique s’il existe a 0, tel que pour

tout € V, on ait :

(2.3) ((u, u)), afufy ®.

Cette notion ne dépend done que de la partie hermitienne de la forme ((w, v)). I1 résulte de la définition 2.1, que si ((u, v)) est elliptique, ((u, v)), définit sur V un produit scalaire hilbertien de norme correspondante équivalente à Iullv.

On a alors le

] u [y = norme de dans V; de façon générale, si Æ est un espace de Banach, et si e€ X, | e Île — norme de e.

26 JDALIONS

THÉORÈME 2.1. Si la forme ((u,v)) est elliptique, l'opérateur À défini par cette

forme, est un isomorphisme (topologique) de N sur Q°®.

DÉMONSTRATION

a) Soit à résoudre (2.4) Au=f, f donné dans Q', w cherché dans N. Si (2,4) admet une solution, alors, pour v quelconque dans V, on à:

Réciproquement, si w est dans V et vérifie (2.5) pour tout vE V, alors (2.5) a en

particulier lieu pour tout v— dans D, donc :

((u, p))=<Au, p>=<f, p> pour tout pED,

done Au—f, ce qui montre déjà que « est dans H. Mais alors, puisque Au—f, on a, pour v quelconque dans V, Au, 8» = <f, ü> = ((u, v)) (par (2.5)), donc w est dans N; donc (2.4) équivaut à (2.5), u € Y.

Si D est dense dans V, alors N = V, Q'= V', et l’équivalence de (2.4) et (2.5) est évidente.

b) Pour f fixé dans Q”, la forme semi-linéaire :

est continue sur V, espace de Hilbert pour ((u, v)),, donc :

(2.6) CA, 59 =((Jf, v)h; ce qui définit J, élément de L(Q'; V).

Pour w fixé dans V, v — ((u, v)), est une forme semi-linéaire continue sur V, done : (2.7) (Cu, v))2 = ((u, v)),

ce qui définit H, élément de £ (V; V), opérateur hermitien pour le produit scalaire

(Cu, v))1. Alors (2,5) équivaut à :

(2.8) (Hat,

D Noter que ceci entraîne que N (donc a fortiori H) n'est pas réduit à {o}.

qui admet une solution unique, Æ étant hermitien, donnée par

(2.9) u=Gf, avec :

(2.10) G=(1+iH 1J,

ce qui définit ( comme élément de £(Q'; V). Mais en outre G opère linéairement de Q’ dans N, et continûment; en effet, si f 0 dans Q’ alors w — 0 dans V, et

comme Au—f, u—>0 dans #, donc dans N, donc :

(2.11) HÉLN\OS EN)

Le théorème est done démontré.

On a en outre construit un inverse bilatère G de À; on a les relations ;

fA-G=1, 1€C(Q'; Q,