ar
^=5lO, 2, 1. r==521, 7,
VrobUlD#s iidéliiviixifa du pvender «t do daniiàmê <l«gi4,
Pboblèkb. »- TrouTer un nombre qui, diyisé par 8 et par i5, donne pour restes 3 et 7.
Soit N M nombre. Eo désignant par or et par jr les quotients inconnus de ce nombre divisé par 8 et par 1 5, on aura
Nç=aa:-f 3, Nœ15j^ + 7,
et par conséquent
8;r4-3 = 15j + ''' o" Sa:— 15j=4.
Prenant la valeur de Xy on aura
292 soLunoHS et ràultats.
qu*on peut mettre sous la forme
et faisant — g^ = n^
on aura ^=4—8/1; d'où j?s=8— I5ii,
Substituant l'une ou l'autre de ces valeurs dans l'expression de N, on aura
En donnant à it les valeurs 0, — i, — 2, — 3.. .. à rinfini, on obtiendra les nombres demandes
PmoBLÈMB. — Poar compter des pièces de S francs renfermées dans on sac, on a fait une première fois des piles de iO, et une seconde fois des piles de 20 pièces. Il en restait dans la première opération 8^ et i8 dans la deuxième. Combien y avait*il de pièces?
Soient N le nombre de pièces, j? et ^ les nombres inconnus de piles de 1 et de 20 pièces, on aura évidemment
N = 10^ + 8, N = 20j+18; d'où 10^+8=20^+18 ou ^— .2/==1î d'où «=2j^+1,
et par conséquent
jr=n, ^=2/1 + 1; d'où N = 20/i + 18.
Il y avait donc dans le sac les nombres de pièces 1 8«
^DATIONS INDÉTERMiNÉES. 293
38y 58, 78.. ..y qui correspondent aux sommes 90, 190, 290, 390 francs....
PAOBLiMX. — On veut faire avec deux marcbandiaes^ dont le prix de Fiinité (kilogramme, litre, etc.) est/? et//, un mélange dont le prix de l'unité soit nt. Combien doit-on prendre en nombres entiers de chaque marchandise?
Soient x et / ce qu'on doit prendre de chacune d'elles ; on aura T équation
d'où (/> — m) x — {m — [f) / = 0, et - = ^.
D'où Ton Toit que les quantités que Ton doit prendre sont iuTersement proportionnelles aux différences entre le prix de chaque substance et le prix moyen* On en conclut la règle arithmétique, car Téquation précédente est évidemment satisfaite par
En général^ on aura
Ys=ny 0?= i-./i,
et l'on donnera à n toutes les valeurs entières 1,
^tj o.««*
PmoBLÈMX. — Un marchand yeut, avec des yins à i fr. 50 c,, i franc et 0,60 c. le litre, faire un mélange de 100 litres qu'il puisse Tendre à 0,80 c* le litre* Combien doit-il prendre de chaque qualité?
294 BottmoNs et KàsvLtkn.
Xj Xf Zj désignant les quantités de chaque espèce, on aura les deux équations
t ,50^/4-0,60^3=80 ou 15;r4-t0;^-|-6^=800.
De la première on tire
€t, substituant dans la seconde, on obtient, toute réduction faite,
9ar + 4^=200;
d*où /■= -—.= 50—2^—7;
u Ton fait t «■ 'h <mi â; st: 4is^
on trouTe ^ =s 50 — 9/»,
La valeur de n ne pouvant dépasser 5, on aura les cinq valeurs
PaosLÉMB* <— Partager le nombre 120 en trois pardes dilrisibles» la première par 3, la deuxième par 4, la troisième par 5,
et telles que Tmie d^elles, là seconde par ttiemple, sott moyeiuie arilhmétiqae des deux autres.
Soient />, ^, //', les trois parties demandées* Si Tob
iQUâTtoim iHbÉTÉRiiilr«ft. 995
j désigne par x^ jr, ê les quotient» ineottnVtt de lA division de ces nombres par 3, 4 et 5, on aura
et^ d'après Ténoncé, les deux équations
Substituant dans la première la valeur de 4/, tirée de la deuxième, on trouve
3a;+5z=80, et par conséquent 4 / = -^ = 40.
Ensuite on obtiendra sans dilHculté
xss^bn, «=16— •3/1,
et par conséquent les trois parties demandées serobt
/? = 15/i, // = 40, /=:80 — Id/i;
d'où Ton voit qu'il n'y a qu'une valeur pour //, et 5 pour les deux antres, p et [f .
PkoblAiib. — Partager 57 en trois parties, dont la première^ divisée par 3, donne pour reste 3; la seconde, divisée par 5, donne ponr reste 4} et la troisième, divisée par 7, donne poar reste 6.
Les trois parties p, pf, ^ seront de la forttie ;, = 3:i: + 2, //r=ft5j-fft, / = 7z+6;
et par cons&^uent on aura
d'où 3« + 6r-f 7x:=:46.
296 soLirrioNs sr nisuLTAis
Résolvant par rapport à x^ on obtient
Faisant ^^ = t,
ou aura jr = jg -j- 3 ^.
et posant zrszn, les trois valeurs exprimées en fonction des deux indéterminées nett seront
^ = 15 — Un — &tf / = /i-|-3^, 2 = /i.
Les valeurs de / sont comprises entre les limites
— 2 et -|-2y et ne peuvent être par conséquent que
— 2, — 1 ^ 0, 1 y 2y auxquelles répondent les valeurs suivantes de n :
^ = 1, /ïs=0, 1, 2,
En tout 1 6 solutions.
Si l'on prend les valeurs
on trouvera /> = 5, //==39, //'=13.
P&oBLiMB. — Avec des lingots d'ai^ent à trois titres différents, 0,900, 0,860, 0,750, un orfèvre vent faire un alliage dont
ÉQUATJOirS INDjéTERMUIBBB. 297
le titre soit 0,840 : combien doit-il prendre, en nombres entiers, de chaque lingot ?
x^jr Zj étant les trois quautités demandées, on aura pour les déterminer Téquation
0,900^+0,8607+0,750z=:0,840(ar+7-+z),
qui se réduisent facilement à
6a: + 2^ — 9j5=0; d'où Ton tire
Faisant x=s rif ^:=snl^
on aura, en fonctions de deux indéterminées, n, ri,
Le problème a un nombre infini de solutions.
Si l'on fait /i= 3, n' = 6,
on trouvera a?=d^ /=45, jss=:12.
Paoulifs* — Trouver deux nombres tels que Pexcès de leur produit sur leur somme soit 34.
xetjr étant les deux nombres, on aura Téquation
ji t « + 34 -, 33
On voit, d'après cela, que j;— *1 doit être un des diviseurs de 35. On aura donc
398 iOLUTioNS rr nAiuLTàts.
d'où xmt 2, 6» 8, 36,
et r = 36, 8, 6, 2.
Les seules solutions admissibleB tout donc 2 et 36, 6 et 8.
Problâmb. — Trois chasseurs ont porté aa marchéi le fmaàst iO pièces de gibier, le deuxième 25, et le troisième 30 pièces du même gibier. AU retour du marché, ils se questiomient sur la vente et sur l'argent qu'ils rapportent, et il se trouve qu'ils ont vendu au même prix la pièce de gibier, et que chacun rapporte la méttie somme. On demande comment cela a pu se faire?
Pour que la chose soit possible, il faut que leâ cbàsseurs aient vendu au moins à deux difTérentes fois et à différents prix, quoique à chaque fois ils aient vendu tous ensemble au même prit ! car »i t^lui qui avait le moins de pièces de gibier en a vendu un très-petit nombre au prix le plus bas, et qu'il ait vendu le reste au plus haut prix, tandis que celui qui avait le plus de pièces de gibier en a vendu la plut grande partie au plus bas prix, et n*a pu en vendre qu'un petit nombre au plus liàut, tl est évident qu*ils auront pu faire des sommes égales.
Nous admettons dûM qu*il y ait eu deux prix dé
vente, et, pour éviter une trop grande indétermination, nous supposerons que ces prix de vente sont des nombres entiers tels, que ni Tun ni l'autre ne toit divisible par leur différence.
Cela posé, soient Xy y^ % les nombres de pièces de gibier que les chasseurs ont vendues au premier prix /?, et (10 — ;r)^ (*5— ^), (30— «), les nombres de
ÉQVàtioiri nmtrnutMmiM. 299
piècéê de gibier veodueê au diuzième //• D'après Vénoùté du prc^lème ou aura
d'où Ton tire les trois équations
Pour que or, ^ et z soient des nombres eutien , il Taut que /''—// divise etactetnent las trois nombres 1 5, 20, 5, et par conséquent leur plus grand commun diviseur qui est 5. On a donc nécessairement
d'où l'on tire les différeuts systèmes de valeurs
Prenant un de ces systèmes^ par Memple
et, substituant dans les deux dernières équations^ on aura à résoudre les deux équations indéterminées
Ou pouîra donner à z des valeurs entières arUtrairii^ d'où l'on déduira les valeurs de # et de / correspondantes*
Si l'on fait
z=zOj on aura a? = 4, /•=1,
«ss4| xsss6, jrz=2f
etc*^ etc.
300 SOLUTIONS ET R&ULTATS.
Od verra facilement qu'on ne peut faire^ ]> 6; car on aurait x=:iO pour le nombre de pièces que le premier chasseur aurait à vendre.
On ne peut admettre non plus
car elles donneraient pour x une valeur ^10.
Le problème n'admet en tout que les 10 solutions suivantes :
yE/=i, d;=4, 5, 6, 7, 8, 9, iO.
Pbobi1mb« — Quel est le nombre de deux chiffres égal an carré de la somme de ses chiffres?
œ et^ étant les chifTres des dizaines et des unités, on aura
10jc+j=(a:+7)*=a:»+2a;^+/;
d'où 0?=— /+5±:V25 — 9/.
On voit facilement que la seule valeur entière de jr
qui rende ^25 — 9^ rationnel est /'=1} d*où Ton tirea? = 8.
Le nombre cherché est 81 ,
804. N le nombre demandé; a; et / les quotients obtenus en divisant le nombre par 3 et par 5.
On aura N = 3:ïî+1, N = 5/+2.
liQUATIONS INDÉTERMllféSS. 301
Et par conséquent Tëquation
Rép. 7, 22, 37, 52, 67, etc. ; forme générale, 1 5 /i -)- 7 .
80tf. x^yy les quotients du nombre cherché par 8 et par 11.
Éq. 8a:+5 = 11j+4.
Rép. 37, 125,213, 301, etc.; forme générale, 88/i-^37.
806* co et y y les quotients.
Éq. 9x=14j + 8.
Rép. 36, 162, 288, 414, etc. ; forme générale, 126/i-)-36.
807 • 07, y y le nombre de quinzaines et de douzaines.
Éq. I5a:+4=12/ + 10.
Rép. 154.
