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Règle générale pour mettre un problème en équation :

Représentez par x t inconnue du problème; indiquez sur cette lettre , à l'aide des quantités données , les opérations que vous feriez sur ce nombre, s'il était connu , pour vérifier s'il satisfait aux coruJitions de V énoncé , et exprimez que le résultat firwl est égal au résultat indiqué par l'énoncé lui-même.

Exemple, — Partager 13 en deux parties telle», que le double de la plus grande , ajouté au triple de la plus petite , donne pour somme 31.

Prenons arbitrairement 7 pour une des parties, l'autre sera 13— 7sé=6, et vérifions si ces deux nombres satisfont au problème. Le double de 7 est 14, le triple de 6 est 18; 14-f- 18=32; mais l'énoncé tte donne pour somme que 31 . Les deux parties ne satis* font donc pas aux conditions de l'énoncé.

Soit en général x une des parties, l'autre sera 13— le double de la première sera 2.* et le triple de la seconde 3(13 — x) ou 39 — -3#; la somme sera 2x-\-39—3x, et comme elle doit être égale à 31, on aura l'équation

ïx-\- 39— 3^=31

d'où ou

et l'autre sera

En effet, le double de 8 ou 16 ajouté au triple de 5 ou 1 5 donne précisément pour somme 31 .

Problème. Un courrier, faisant 9 myriamèu-es en 4 heures , était parti de Paris depuis 8 heures, lorsqu'on a envoyé après lui uîl autre courrier chargé de lui remettre un ordre dans les 34 heure** quelle doit être sa moindre vitesse ?

Il suffît d'exprimer que le deuxième courrier atteindra le premier au bout de la 24 e heure. Soit x la vitesse nécessaire, c'est-à-dire le nombre de myriamètres qu'il doit parcourir par heure afin d'atteindre

le premier courrier à la fin des 24 heures; l'espace qu'il aura parcouru sera exprimé par 24r. Or le premier courrier avait déjà marché 8+24=32 heures arvec une vitesse de 9 myriamèlres en 4 heures, ou de £ myriamèlres par heure; l'espace que. le premier courrier a parcouru avant d'être atteint sera donc -£-32=72 myriamèlres. L'équation du prohlème sera donc r

24*=72; d'où .r=3. *

Le deuxième courrier devra donc faire au moins 3 myriamèlres par heure, afin d'atteindre le premier dans les 24 heures.

Il est évident qu'en faisant un plus grand nombre de myriamètres par heure il l'atteindrait plus tôt.

Problème. — Un bassin est rempli par deux fontaines d'où l'eau s'échappe avec des vitesses inégales , au point que l'une d'elles mettrait à le remplir 2 heures de plus que l'autre. Si on les laissait couler ensemble, il ne leur faudrait pour remplir le bassin que les £ du temps que met celle des deux qui donne le plus d'eau.

Combien faut-il de temps à chaque fontaine coulant seule , aux deux fontaines coulant ensemble , pour remplir le bassin?

Soit x heures le temps que mettrait à remplir le bassin, si elle coulait seule, la fontaine qui donne le plus d'eau. L'autre fontaine mettra x-j- 2 heures ; et,

en 1 heure la première fontaine donnant -, c étant

la quantité de litres d'eau que contient le bassin , et la deuxième jxjj les deux fontaines coulant ensemble

donneront en 1 heure e t par conséquent

pour remplir le bassin , c'est-à-dire pour donner c litres d'eau , elles mettront

Or, d'après l'énoncé, ce temps doit être les \ dex, on aura donc l'équation

d'où, après avoir supprimé les facteur» communs xet2, , ,

et x= 1 .

L'une des fontaines met donc 1 heure, l'autre 3, et toutes deux ensemble mettent | d'heure pour remplir le bassin.

Problème — Un nombre de trois chiffres est tel , que la somme de ses chiffres est égale à 15; que les chiffres sont en proportion par différence continue; enfin que le nombre renversé, diminué de 39, est égal au double du nombre lui-même. Quel est ce nombre?

Soit x le chiffre des centaines , puisque les chiffres sont en proportion continue par différence, le double du chiffre des dizaines est égal à la somme des chiffres des centaines et des unités , et par conséquent le triple du chiffre des dizaines est égal à la somme 1 5 des trois chiffres. Le chiffre des dizaines est donc 5, et celui des unités sera représenté par 10 — z; la troi-

sième condition de l'énoncé fournit immédiatement l'équation

100(1 0— .r)4-50+tf— 39=2(1 0(Kr+50-(-1 0— x), d'où Ton tire

297*=891 et .r=3; d'où 10— *=7,

et le nombre demandé est 357.

Problème. — En revendant un meuble 391 francs, j'ai gagné 15 pour 100 sur le prix d'achat. Combien m'avait-il coûté ?

Soit x le prix d'achat , les 1 5 pour 1 00 seront exprimes par — , et par conséquent l'équation du problème sera

d'où 11 5x = 391 00,

et x = 340.

Problème. — Quel âge avez-vous? demandait un fils à son père. Dans un an , répondit celui-ci , j'aurai le triple de ton âge , et je n'en aurai plus que le double dans 19 ans.

Quel est l'âge du père et celui du fils?

Soit x l'âge du fils. La première condition ter* vira à exprimer l'âge du père , qui sera évidemment 3(.r-f~4) — 1; et la deuxième condition fournira l'équation

3(-c+1)—1 + 19=2(.z + l9)j d où Ion tire 3* +21 =2^+38, et xsssM*

Par conséquent l'âge du père

Problème. — On a p kilogrammes d'eau de mer qui contiennent/?' kilogrammes de sel, combien faut-il y ajouter d'eau douce pour que P kilogrammes du mélange ne contiennent plus que r kilogrammes de sel?

Soit x la quantité de kilogrammes d'eau douce à ajouter : le mélange /;-}- x contiendra toujours // kilogrammes de sel , et par conséquent P kilogrammes du

mélange contiendront^-^ de sel ; et, d'après l'énoncé,

qp aura l'équation

J£L=r; d'où x= P -£=E.

Problème. — Un capitaliste fait valoir deux capitaux, l'un, c, à- 1 pour 1 00 par an, et, n années plus tard, l'autre, c' t à ï pour 400. Dans combien de temps ces deux capitaux auront-ils rapporté , en intérêts simples, une somme égale?

Soit x le temps demandé à compter du moment où le capital c a été placé. L'intérêt de c pour 1 an étant

jjjg, pour x années la somme rapportée par le ca-

., i cix pital c sera — .

D'autre part , le capital d rapportera pour les a— n

années la somme SÏÏSzfi.

L'équation du problème sera donc

cix c'i\x — n) .

d ou x =cr^7l'

Cette valeur montre que, si les taux sont en raison inverse des capitaux , il faudra un nombre infini d'années, c'est-à-dire que le problème est impossible.

Pboblème. — Un marchand a acheté une pièce d'étoffe qu'il paye à raison de p francs le mètre. La pièce contient n mètres de plus qu'il ne croyait, et il la revend à p 1 francs le mètre; à ce marché il perd r pour 100. Combien de mètres la pièce contient-elle?

Soit x le nombre de mètres que le marchand a cru acheter. Le prix d'achat sera px et le prix de vente

Puisque, d'après l'énoncé, le marchand perd r pour 100, le rapport du prix d'achat au prix de vente

sera égal à ^= -, et par conséquent l'équation du

problème sera

px 100

d ou x = 1nn ,^J r— — . >

100(p— *p )—pr

et la pièce contient en réalité

' I00(p — p') — pr'

On peut encore mettre le problème en équation en exprimant que la différence entre le prix d'achat et le prix de vente est égale aux r pour 4 00 du prix d'achat , c'est-à-dire

ce qui donne la même valeur que précédemment.