Si Ton fait

on trouve .r=:| — /, u —\ — c ?

Problèmes du premier degré à plusieurs inconnues

La misj en équation des problèmes à plusieurs inconnues est soumise à la même règle générale précédente. Exprimez par x , 7, 2, etc. , les inconnues, et opérez sur elles comme si vous vouliez vérifier les nombres que ces lettres représentent : vous obtiendrez , par la comparaison des résultats avec les données du problème, autant d'équations qu'il y a d'inconnues.

PaoBLLAiE. — Quels sont les deux nombres tels, qu'en cherchant leur plus grand commun diviseur par la méthode ordinaire, la première division partielle donne 3 pour quotient et pour reste 6 ; et que le plus grand comn^in diviseur trouvé par la deuxième division soit précisément égal à la 20 e partie du plus grand nombre?

Soient x et y les deux nor bres. La première condition fournira sur-le-champ la relation

et la deuxième | =

Substituant dans la première la valeur de y tirée de la seconde, on trouve

d'où .r=60, et par conséquent ^=18.

Problème. — Deux ouvriers ont fait 204 mètres d'ouvrage, le premier ayant travaillé 7 jours et le second 8 jours. Ils ont fait ensuite 300 mètres, le premier ayant travaillé 10 jours et le second . 12 jours; combien chaque ouvrier faisait-il de mètres d'ouvrage par jour?

Soient x le nombre de mètres d'ouvrage que faisait par jour le premier ouvrier; y, le nombre qu'en faisait le second.

On aura pour équations de condition

Multipliant la première équation par 10 et la

deuxième par 7, et retranchant ensuite le premier produit du second , on trouve

4jr=60; d'où jr=15.

Parla substitution de oette valeur dans l'une ou dans l'autre des équations du problème on obtient

Problème. — Deux fontaines coulent dans un bassin de la contenance de 46 mètres cubes.

On a laissé couler la première seule pendant 5 heures et la deuxième seule aussi pendant 7 heures ^, et elles ont donné 323 litres. Une seconde fois la première a coulé seule pendant 8 heiires J, la seconde pendant 6 heures , et elles ont donné 345 litres. Si on les laisse couler ensemble, en combien de temps le bassin sera-t-il rempli?

Soient x et / les quantités de litres d'eau que chaque fontaine, coulant seule, donne en 1 heure; il est évident qu'on aura pour déterminer ces quantités

d'où l'on tire , par un© élimination facile ,

Or, en 1 heure, les deux fontaines, coulant ensemble, donnent 20 -\- 30 = 50 litres; par conséquent elles mettront à remplir le bassin

1^=320 heures.

Problème. — Un marchand a du vin de trois qualités différentes, à 2 francs, i fr. 50 c, 1 franc le litre. Il voudrait en faire un mélange de 1 00 litres , en employant autant de la troisième sorte que des deux autres ensemble, et qui ne revînt qu'à \ fr. 35 c. le litre; combien doit-il en prendre de chaque espèce?

x i Xi z "> ce qu'il doit prendre de la première, de la deuxième et de la troisième qualité. On aura les trois équations

Les deux premières équations donnent

2*= 100; d'où *=50.

Et la première et la troisième équation se réduisent à

r-|-j-=50, 2*+1,5Qr=85;

d où Top tira ^=20, .r=30.

Problème. — Trois fontaines coulent dans un bassin. Les deux premières coulant ensemble ont donné 475 litres d'eau en 3 heures \ ; la première et la troisième, 180 litres en \ heures; la deuxième et la troisième, 373 en 6 heures \. La capacité du bassin est de 18 mètres cubes; en combien de temps le bassin sera-t-il rempli si les trois fontaines coulent ensemble?

Soient x , r, z , la quantité de litres d'eau fournie en 1 heure par chaque fontaine coulant seule, on aura les trois équations i

Cr+*>6|=375;

d'où

Lés trois fontaines , coulant ensemble , donnent donc, en 1 heure, 30+20+40=90 litres, et par

conséquent elles mettront ^jp- pour remplir le bassin, c'est-à-dire 200 heures.

Problème. Un nombre de trois chiffres est tel , que la somme de ses chiffres est 16 ; et , en renversant ce nombre , puis l'ajoutant, au nombre renversé, on obtient pour somme 1211 et pour différence 297 : quel est ce nombre ?

x, y, z, les chiffres des centaines, des dizaines et des unités; on aura pour exprimer le nombre 1 OO.r+1 0/+2, et le nombre renversé 1 00z-|-1 0/+r ; les trois équations seront

(1joo*+i oj+2)+(i 005+1 Qr+aO==i 21 1 (100* -H Qr+x)— (1 oo* +1 or+*)=297. *

On commencera par réduire les deux dernières équations, et l'on trouvera sans difficulté

Le nombre demandé est 457.

* On remarquera que la différence est un multiple de 9 : en effet, la différence entre deux nombres composés des mêmes chiffres et en même nombre, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits, est toujours divisible par 9

Problkmk. — I n marchand a des vins de quatre qualités différentes.

Il en fait un premier mélange , compose de 2 litres de la première, 3 litres de la deuxième , îi litres de la troisième , 10 litres de la quatrième , et le litre du mélange revient à 2 fr. 10c;

Un second mélange , composé de 7 litres de la première , 8 litres de la deuxième, 10 litres de la troisième, 15 litres de la quatrième, revient à 2 fr. 20 c. le litre;

Un troisième mélange, composé de 10 litres de la première, 5 litres de la deuxième , 1 5 litres de la troisième , 20 litres de la quatrième, revient à 2 fr. 24 c. le litre ;

Enfin un quatrième mélange, formé de 18 litres de la première, 17 litres de la deuxième, 40 litres de la troisième, 25 litres de la quatrième, revient à 2 fr. 29 c. le litre.

On demande le prix de chaque qualité.

Soient r, jr 9 z, u, les prix des première , deuxième, troisième et quatrième qualités de vin. Le premier mélange, composé de 2-}-3-f-5-|-i0=20 litres, à 2 fr. 10 c le litre, coûte en tout 42 francs.

Le deuxième mélange , composé de 7 -|-8 -f- 1 0 -|- 1 5 =40 litres, à 2 fr. 20 c, coûte 88 francs.

Le troisième mélange, de 50 litres à 2 fr. 24 c. , coûte 112 francs.

Enfin, le quatrième mélange, de 100 litres à 2 fr. 29 c. , coûte 229- francs.

On a donc les quatre équations

10*-j-5jr +*52+20«=112, .

1 Sx + 1 7jr + 40*+25«= 229 .

ou 1 on tire

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