x=k{dW—d r U

r =k(d'b—aW)

dans lesquelles

V («6'— a'éJ'+Ca'ô"— a"i?+ {t/'b—aff

666. On trouvera, pour déterminer r, F équation du deuxième degré :

+(< J 'x+d)[(ac f —a'b)x+cc 1 -- a f d]=Q.

x étant connu , on déterminera facilement y et z.

Problèmes du deuxième degré à une seule et à plusieurs

inconnues.

Pour mettre le problème en équation on aura toujours égard à la règle énoncée précédemment, et qui peut s'appliquer à toute espèce de questions algébriques.

Nous donnerons quelques exemples comme application de la règle générale.

Problème. — En revendant un cheval n louis, j'ai gagné autant pour 100 que le cheval m'a coûté (de louis).

Soit x louis le prix d'achat du cheval : le gain sera /i— -x louis, et d'après l'énoncé du problème, il faut exprimer que ce gain n — x est les x pour 1 00 du prix x. On aura donc l'équation

d'où 50±10v25-f-/i.

Problème. — Il existe un nombre de deux chiffres tel , qu'en le divisant par la somme de ses chiffres , puis renversant le nombre et divisant ce nouveau nombre par la somme de ses chiffres , la différence des deux quotients est égale à la différence des chiffres, elle produit des deux quotients au nombre lui-même.

Quel est ce nombre ? '

Soient x le chiffre des dizaines, y celui des unités; le nombre cherché sera exprimé par \§x-\-y, le nombre renversé par 10r+*; enfin, la somme de

ses chiffres par x-\- j: On aura, d'après l'énoncé, les deux équations

L'équation [1 ] se réduit à

et donne par conséquent

L'équation [2] mise sous la forme

[9x+(x+y)] [9y +{x+y)] =0x ■ , . , {x-\-yf ~V TV7i

à cause de la valeur de

devient (a? + 1 ) (> •+ 1 ) == 9 (t + 1 ) ;

et, supprimant le facteur commun x-\-\ , donne

d'où x=\.

Le nombre est 18.

Problème. — Combien de mètres contient la pièce d'étoffe que vous avez achetée , et combien l'avez- vous payée? — Je l'ai payée 90 francs. Je né me souviens plus du nombre de mètres qu'elle contient , mais je me rappelle que le marchand voulait me vendre , pour le même prix , une autre pièce d'étoffe de qualité inférieure ,

et qui mesurait 6 mètres de plus, en me disant que le mètre me reviendrait à 0,50 centimes de moins.

Combien de mètres?

Soit x le nombre de mètres que contient la pièce achetée. Puisqu'elle coûte 90 francs, le prix du mètre

• , > 90^ revient a — .

La pièce de drap que proposait le marchand mesurant r-f-6 mètres et coûtant le même prix, 90 francs,

le prix du mètre eût été

Par conséquent, d'après l'énoncé du problème, on aura l'équation

*— Ï+»+ U ' jU>

ou O,5O*(«+6)=ç9O.0 9

et tf(*+6)=180.6;

d'où *=30,

en négligeant la valeur négative.

La pièce de drap contient donc 30 mètres, et le mètre revient k 3 francs.

Problème. — Quand ses deux soupapes sont ouvertes, un réservoir est vidé en 18 heures ; la petite seule met à le vider 16 heures de plus qne la grande. Combien en met la grande?

Soit le nombre d'heures que la grande soupape seule met à vider le bassin de c litres ; la petite met ,r-f 16; et en une heure les deux soupapes vident, la

grande-, et la petite -jrp-jg du bassin. Par consé-

quant, en \ 6 heures, ouvertes ensemble, elles videront évidemment v^à '

L'équation du problème sera donc

d'où x{x+ 1 6)= 1 5(2* -f- 1 6) ,

et x=24.

On peut encore mettre ce problème en équation en cherchant le temps que les soupapes qui, seules, videraient le réservoir en x heures et .r-}-16 heures, mettraient ensemble à le vider. Or, ce temps est

exprimé par X ^J^ ^ et par conséquent l'équation

du problème sera

d'ôù Ton tire la même valeur pour *.

Problkme. — Deux fontaines coulent dans un même bassin successivement, la première pendant une fraction ~ du t«ropsque la

deuxième mettrait seule à le remplir. Alors on l'arrête, et on laisse couler la deuxième fontaine jusqu'à ce que le bassin soit rempli.

Si les deux fontaines avaient coulé ensemble , la première n'aurait donné qu'une fraction ^ de ce qu'a fourni la deuxième, et le

bassin aurait été rempli / heures plus tôt.

Trouver le temps que chaque fontaine, coulant seule , mettrait à remplir le bassin.

Soient x et y les nombres d'heures que chaque

fontaine mettrait à remplir le bassin. Si Ton désigne par c la capacité du bassin, c'est-à-dire le nombre de litres d'eau qu'il peut contenir, il est évident qu'en 1 heure chaque fontaine donne

- et - litres d'eau ,

et, d'après l'énoncé, en ^> heures, la première fontaine aura fourni

litres d'eau.

nx

Il restera par conséquent à remplir par la seconde fontaine

me y c{nx — niy)

c ou J - ,

nx nx

La seconde fontaine , fournissant - litres en 1 heure,

donnera 1 litre en - heures ; et par conséquent, pour

fournir £g£^SB litres, elle mettra

nx

y/nx — my\ QU ÏJ nx — my \ heures.

c\ nx ) ?ix K - '

Les deux fontaines, coulant successivement, ont donc mis à remplir le bassin un temps exprimé par

^'+^"- r— OU b«K" + n)x—mjr].

Les deux fontaines, coulant ensemble, donneront

ce i ci x~ \~ y)

--[— litres en 1 heure, ou et par conséquent

c litres en heures. Dans ce temps, la première fontaine, qui donne - litres en 1 heure, donnera

c xy cy

f— OU — f— ,

xx-f-y x-\~y

et la première condition du problème sera exprimée par r équation

cy p c(nx — my) x + y q' nx 9

x + y qnx J

Enfin, pour satisfaire à la seconde condition, on aura l'équation

puisque les deux fontaines , coulant ensemble, mettent à remplir le bassin t heures de moins que lorsqu'elles coulent successivement.

L'équation [1 ] , résolue par rapport à y, donne

y p(n—m)—nq ^ n ^ m )^ nq x 2pm

et par conséquent une valeur de la forme

sans tenir compte de la valeur négative de j. Substi-

262 SOLDtlOlfS DES PROBLÈMES b' ALGÈBRE

tuant cette valeur dans l'équation [2], on trouvera,

toute réduction faite ,

et n/(*+*)<

Problème. — Un lévrier vient d'atteindre un lièvre qui tYaÛ 77 sauts d'avance sur lui. On a remarqué que 12 sauts du lévrier en valent 17 du lièvre, et que pendant le temps que le lévrier aurait fait le même nombre de sauts qn« le lièvre, celui-ci en aurait fait 216 de plus.

Combien le lièvre a-t-i) fait de sauts avant d'être atteint par le leVrier?

Soit x le nombre de sauts qu'a faits le lièvre. Puisque, pendant que le lièvre fait .r-f-216 sauts, le lévrier en fait x ; pendant que le lièvre fait 1 saut le lévrier en fait g-p-fig i et enfin aux x sauts du Lèvre correspondent dans le même temps x ^^ sauts du

lévrier; mais 42 sauts du lévrier en valent 17 du

lièvre , et par conséquent 1 saut du léYWr vaut ^ sauts du lièvre I donc les £^ 2 ïè 8aut8 du lévrier valent 12 fc^,fyty sau * s du U«vre, et, d'après l'énoncé du

problème , doivent être égaux à x-\-K1t sauts du lièvre. On aura donç Féquatipn

d'où l'on tire 5.r*~ 351 6x = \ 99584 et #=756.

On peut déterminer le rapport des nombres de sauts que le lévrier et le lièvre font dans le même temps. En effet, d'après l'énoncé, ce rapport est

Pour vérifier la solution précédente , désignons par / et /' les longueurs du saut du lièvre et du lévrier. Le lièvre a été atteint par le lévrier à 756/ de son point de départ , et à (756+ 77) /=833/ du point de départ du lévrier.

Or celui-ci, dans le temps que le lévrier a fait 756

sauts, a fait ^.756 =588 des siens, et par conséquent

a parcouru une distance 588/', et comme F**^*