r -f 4r=200; d'Où 7= ?00-9 £=50 2r

si Ion fait |=/î, ou x=kn,

on trouve J= 50 — 9n ,

et enfin z=50-|-5/i.

La valeur de n ne pouvant dépasser 5, on aura les cinq valeurs

Problème. — - Partager le nombre 420 en trois parties divisibles, la première par 3, la deuxième par 4, la troisième par 5, et telles que Tune d'elles, la seconde par exemple, soit moyenne arithmétique des deux autres.

Soient />,//, //', les trois parties demandées. Si Ton

désigne par se, /, z , les quotients inconnus de la division de ces nombres par 3, 4 et 5 , on aura

p=3x, //=4/, jJ'=5z; et, d'après l'énoncé, les deux équations

Substituant dans la première la valeur de 4>*, tirée dé la deuxième, on trouve

et par conséquent 4/=y=40.

Ensuite on obtiendra sans difficulté

.r=5w, £=16 — Sn, et par conséquent les trois parties demandées seront p= 1 5n , //=40 , //'= 80 — 1 5/i ;

d'où l'on voit qu'il n'y a qu'une valeur pour //, et 5 pour les deux autres , p et

Problème. — Partager 187 en trois parties dont la première, divisée par 3, donne pour reste 2; la seconde, divisée par 5, donne pour reste 4; et la troisième, divisée par 7, donne pour reste o.

Les trois parties p, //, p", seront de la forme p=3x+2, //=5r+4, //'=7H-6; et par conséquent on aura

d'où 3^+5r+7^=45.

Résolvant par rapport à x, on obtient

Faisant ^=^=f,

on aura /=z-}-3/,

et posant z =n 9 les trois valeurs exprimées en fonction des deux indéterminées n et t seront

.£=15 — Un — 5f, y=n-\-3t, z=n.

Les valeurs de t sont comprises entre les limites — 2 et -|-2, et ne peuvent être par conséquent que — 2, — 1,0,1,2, auxquelles répondent les valeurs suivantes de n :

En tout 1 6 solutions.

Si Ton prend les valeurs

f=2, «=1, on trouvera />=5, //=39, //'=13.

Problème. — Avec des lingots d'argent à trois titres différents, 0,900, 0,860, 0,750, un orfèvre veut faire un alliage dont

le titre soit 0,840 : combien doit-il prendre, en nombres entiers, de chaque lingot?

x ijf% z > étant les trois quantités demandées, on aura pour les déterminer l'équation

qui se réduit facilement à

d'où Ton tire

9z — 6x , « , z Faisant x = n, §=rf ,

on aura , en fonctions de deux indéterminées n , n! ,

x = n , jr= 9n f — 3 n ; z= 2n!.

Le problème a un nombre infini de solutions.

Si l'on fait n =3 , n'=6 ,

on trouvera .a; = 3 , y= 45 , z=\2.

Problème. — Trouver deux nombres tels que l'excès de leur produit sur leur somme soit 34.

x et y étant les deux nombres , on aura l'équation

d'où * + 34 ,35

L'on voit, d'après cela, que x — 1 doit être un des diviseurs de 35. On aura donc

cToù x= 2, 6, 8, 36;

et J=36, 8, 6, 2.

Les seules solutions admissibles sont donc 2 et 36 , 6 et 8.

Problème. — Trois chasseurs ont porté au marché , le premier 10 pièces de gibier, le deuxième 2o , et le troisième 20 pièces du même gibier. Au retour du marché , ils se questionnent sur la vente et sur l'argent qu'ils rapportent, et il se trouve qu'ils ont vendu au même prix la pièce de gibier, et (pie chacun rapporte la même somme. On demande comment cela a pu se faire?

Pour que la chose soit possible, il faut que les chasseurs aient vendu au moins à deux différentes fois et à différents prix , quoique à chaque fois ils aient vendu tous ensemble au même prix : car, si celui qui avait le moins de pièces de gibier en a vendu un très-petit nombre au prix le plus bas,» et qu'il ait vendu le reste au plus haut prix , tandis que celui qui avait le plus de pièces de gibier en a vendu la plus grande partie au plus bas prix, et n a pu en vendre qu'un petit nombre au plus haut, il est évident qu'ils auront pu faire des sommes égales.

Nous admettons donc qu'il y a eu deux prix de vente; et, pour éviter une trop grande indétermination , nous supposerons que ces prix de vente sont des nombres entiers tels, que ni l'un ni l'autre ne soit divisible par leur différence.

Cela posé, soient z, les nombres de pièces de gibier que les chasseurs ont vendues au premier prix p y et (10 — x), (25 — j), (30 — z), les nombres de

pièces de gibier vendues au deuxième //. D'après l'énoncé du problème on aura

px+iJ(\ b—x)=p f +p'(2$—j) =pz +// (30 —z) ;

d on Ton tire les trois équations

Pour que et 2, soient des nombres entiers, il faut que p — // divise exactement les trois nombres 1 5, 20, 5, et par conséquent leur plus grand commun diviseur qui est 5. On a donc nécessairement

d'où Ton tire les différents systèmes de valeurs

Prenant un de ces systèmes , par exemple ,

et, substituant dans les deux dernières équations , on aura à résoudre les deux équations indéterminées

On pourra donner à z des valeurs entières arbitraires, d'où l'on déduira les valeurs de x et de^ correspondantes.

Si l'on fait

2=0, on aura #=4, jk=1 , z • \ , x ii •*•< |i , ■ 2 ,

etc., eto.

On verra facilement qu on ne peut faire,; >6; car on aurait x=i0, nombre de pièces que le premier chasseur avait à vendre.

On ne peut admettre non plus

car elles donneraient pour x une valeur >10.

Le problème n'admet en tout que les 1 0 solutions suivantes :

fl=\ .r=4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Problème . — Quel est le nombre de deux chiffres égal au carré de la somme de ses chiffres ?

x et y étant les chiffres des dizaines et des unités , on aura

d'où x= — j-|~5±v25 — 9y.

On voit facilement que la seule valeur entière de y qui rende V25 — 9^ rationnel est y=\ ; d'où Ton tire

Le nombre cherché est 81 .