r— 7=2, d'où .t=3,7=13; Sx — 7=8, d'où ^=5, ^r

On peut résoudre de la même manière les équations du deuxième degré dans lesquelles manque un des carrés, au moins, des inconnues. La résolution de T équation générale du deuxième degré à deux inconnues sortirait des limites que nous avons dû nous prescrire ; elle est préparée par quelques-uns des problèmes qui suivent.

29h SOLUTIONS DES PROBLÈMES D' ALGÈBRE

/=45 — bt. y=J-

jr=10,2,1. ./=21,7.

Problèmes indéterminés du premier et du deuxième degré.

Problème. — Trouver un nombre qui, divisé par 8 et par 18, donne pour restes 3 et 7.

Soit N ce nombre. En désignant par x et par y les quotients inconnus de ce nombre divisé par 8 et par 1 5, on aura

N=8.r+3, N=15>+7, et par conséquent

8x+3=15/+7 ou 8*— 15/=4.

Prenant la valeur de x, on aura

qu'on peut mettre sous la forme

et faisant =n,

on aura f=k — %n; d'où x=8— 15n.

Substituant Tune ou l'autre de ces valeurs dans l'expression de N , on aura

En donnant à n les valeurs 0, —1,-2, — 3

à l'infini, on obtiendra les nombres demandés

Problème. — Pour compter des pièces de S francs renfermées dans un sac , on a fait une première fois des piles de 1 0 , et une seconde fois des piles de 20 pièces. Il en restait dans la première opération 8, et 18 dans la deuxième. Combien y avait-il de pièces ?

Soient N le nombre de pièces, x et y les nombres inconnus de piles de 1 0 et de 20 pièces , on aura évidemment

d'où 10x+8==20r4-18 ou a?— %y=\\

doù x=2j+1,

et par conséquent

y=n, x=2n+î; doù N=20/?.+18.

11 y avait donc dans le sac les nombres de pièces 1 8 ,

296 SOLUTIONS DKS PROBLÈMES D'ALGERRE

38, 58, 78 , qui correspondent aux sommes 90,

490,290, 390 francs

Problème. — On veut faire avec deux marchandises, dont le prix de l'unité (kilogramme, litre, etc.) est p et //, un mélange dont le prix de l'unité soit m. Combien doit-on prendre en nombres entiers de chaque marchandise?

Soient x et jr ce qu'on doit prendre de chacune d élies ; on aura l'équation

d'où (p — m)x — (m — //)j=0 ,

et

D'où l'on voit que les quantités que l'on doit prendre sont inversement proportionnelles aux différences entre le prix de chaque substance et le prix moyen. On en conclut la règle arithmétique . car l'équation précédente est évidemment satisfaite par

En général , on aura

et l'on donnera à n toutes les valeurs entières 1 , 2,3

Problème. — Un marchand veut , avec tics vins à I fr. 30 c, i franc et 0,60 c. le litre, faire un mélange de 100 litres qu'il puisse vendre à 0,80 c. le litre. Combien doil-il prendre de chaque qualité ?

.r, y, z, désignant les quantités de chaque espèce, on aura les deux équations

r-f-r+s=100, 1,5(U'+7+0,60*=80 ou 15:r+1Qr+6.s=800.

De la première on tire

et, substituant dans la seconde, on obtient, toute réduction faite,