FRACTIONS CONTINUES
Pour convertir une fraction ordinaire en fraction continue , cherchez le plus grand commun diviseur entre les deux termes de la fraction : les quotients successifs seront les dénominateurs des fractions intégrantes dont le numérateur est toujours l'unité.
Pour avoir les réduites successives d'une fraction continue, formez d'abord les deux premières réduites, puis, pour former la troisième, multipliez le numérateur de la dernière réduite formée, c'est-à-dire la seconde , par le quotient incomplet auquel vous vous arrêtez, et ajoutez au produit le numérateur de la •réduite précédente ; le résultat sera le numérateur de la réduite. Multipliez de même le dénominateur de la dernière réduite par le même quotient incomplet, et ajoutez au produit le dénominateur de la troisième réduite.
Avec la deuxième et la troisième réduite , vous formerez de même la quatrième, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière réduite qui est toujours équivalente à la fraction ordinaire d'où provient la fraction continue sur laquelle on opère.
La valeur de la fraction ordinaire génératrice est toujours comprise entre deux réduites consécutives plus petites ou plus grandes, selon qu'elles sont de rang impair ou de rang pair.
La différence entre deux réduites consécutives est une fraction dont le numérateur est toujours égal à \ , et qui a pour dénominateur le produit des deux déno-
minât eurs ; évidemment la différence entre la fraction génératrice et une réduite quelconque est plus petite que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite.
La propriété précédente fournit le moyen de déterminer sur-le-champ un couple de valeurs convenables d'une équation indéterminée du premier degré : ainsi , dans l'équation
27x—19/=45, • si Ton réduit — en fraction continue, on trouvera
^=1 +— j et pour réduites -, ? ? , y, W
d ou 1 on tire — — = —
et par suite
équation qui s'accorde avec la proposée si l'on a
Les valeurs générales seront donc
301+19*, jr=— 430+ 27/j
ôlant de 301 et de 430 les plus grands multiples de 1 9 et de 27, ces valeurs se rduisent a
comme on les a trouvées précédemment dans le n° 786
{Résolution des équations indéterminées du premier et du deuxième degrés» )
1042. 1043. g. Jg.
|a«| 1 1 3 4 31 35 66 101 268 369 5065 2 , 3 , g , jp g5 , 96 , lgl , 277 , ?35 , 1Q12 , 138Ql .
336 SOLUTIONS DES PROBLÈMES D*âLGÈB$E
radicaux en fractions continues.
Soit à réduire y40 en fraction continue :
Extrayant le plus grand carré contenu dans 40 , on aura
dou r =^5^6— 35=56— ~ T~— i+ T/
on tire
de y'4Ô+6=12+i
ontire z =^hr x '
par conséquent
+etc.
d'où Ton tire les réduites
î' 3"' 37' 114' l495 ,,,,elC -
En réduisant un radical carré en fraction continue
on trouve toujours des quotients incomplets périodiques, comme on le voit dans l'exemple précédent.
Une particularité remarquable de ces quotients, c'est que, la réduite correspondante au quotient qui
précède la fin de la période étant désignée par - , et
VA étant le radical donné, on a toujours
selon que la réduite est de rang pair ou impair. Ainsi, dans l'exemple précédent, la réduite^, correspondante au quotient incomplet 3 qui précède la fin de la période 3,12, donne
Dans l'exemple du n° 1046 qui suit , on a de même (1 27)*— 28(24)*= 1 61 29 — 1 61 28= 1 ,
et dans celui du n° 1048
Étant donnée la fraction continue périodique
5+ + etc.
si l'on fait jr— 3-f-- —
-f- etc.
Digitiz
338 SOLUTIONS DES PROBITES D'UGBBIB
on aura en même temps
d'oii l'on tire xf=îy+\ , S=irjj^f>
et éliminant y entre ces deux équations, on obtient
• Ain foô Ki] 1 16 37 127 1307 .
• 1 046. V28 = 5^ 1 ^, y, y, -çfi-, etc
10+ + etc.
etc.
1+ îl)t
+ etc.
in « ft t L Z 1 ? 22 29 51 182 2599
1U4i> ' ' Tl "7i i' 3 ' T> Y' 25"' w c *
+etc.
