XL — Y —7Z

gr. La méthode de Laplace, pour résoudre les équations linéaires dont les coefficients sont des polynomes en x, du premier degré, consiste à poser :

Pi y =] f{:) es dz, intégrale prise sur ur contour fixe, indépendant (à

der “ = | ffeher cd, ce = {À te) era x a — À ÿ — xy = (2) est (az? — 4: — x) dz.

Cette intégrale représente la fonction f{z) e** (2° — 1) si l'on

choisit f (2) de façon que

JC — 1) + 2zf() = — 40 ME NN te Tu HENI RER EE TT" f() (

T° r Qi et L'intégrale

gr — 4z — x) dz — y ) (z° ae

fonction uniforme ; sur tout contour fermé qui ne passe pas par les

CE ip ( 1? est une

: 5 F ; sas Ée e* points 2 — + 1 cette intégrale est nulle, y = | cree dz RÉ

est uné intégrale de l'équation donnée. Si le contour comprend le seul point singulier z — 1, l’intégrale est égale à 271 multiplié par

— + Si on pose z—1-F/, On a:

le résidu de ---- GB e= 1 ; fc 15 648 MR = pet fi ce + = Dr 8 db Ac (z22—1) (2+1) 85° (+ ie )C # La JE

Pour z— — 1, on a de même R, — + (x? +. 3x + 3).

L'intégrale générale est ainsi :

y certe? — 3er + 3) re (aps)

Deuxième méthode. On a successivement :

dy , dy NT Dm: dy dy AB 008 A TOR PRE DS IR en 3 2y ô ; 3 ' D PTE NÉE Ie PERRET RTE TRS

T D) a le dx* dx? dx?

En ajoutant la première et la dernière équations, on a ::

a(os say y C1 20 à ;) sf (TX ve de) it (Fr - da)

dx dx* dx? de ” dx dx" dx d5y , dty dy : 2 NS arr um Tv A D — VY = di dx" dx? /

équalion dont la solution générale est

y—= et(ar? + bx + c) + (ax V'x Æ 6) dy der y ee —e"(ar?+ br +c+/{ax+2b+oa)+e-"(a'x?+b'atc—fax— 2b' +20) dx?

— et (ax? + bx + c+a2ax + b) — et (aa + b'x + cc — oax — b'}

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES y sera une solution de l'équation donnée, si l’on a les identités :

Ga! — ab!) x + 4(b° —c!') — 0

(Ga + 2b) æ + Ab + c) —0 pis 0e" 00.