Développer

2T adx x 2° Calculer —.—,, où f5 est constant.

(Toulouse, novembre 1908, pratique).

77. Déterminer la fonction u— p + qi, de la variable 2— x + yr, vérifiant la relation

2cyp + (y — 2)q + 2æy(x? + y) — 0.

(Besançon, juillet 1910, pratique).

78. Appliquer le théorème des résidus au calcul de l'intégrale

1 1 fémersanr ae EAN

sur un cercle c de rayon R compris entre 1 et 2. (Bordeaux, juillet 1904, pratique).

79. Soit f(u) une fonction uniforme n'ayant que des singularités isolées, c un cercle de centre o sur lequel il n’y a aucun point sin-

gulier : 1° démontrer que F(z) — L e“f{u)du prise sur le cercle c,

dans le sens positif, est une fonction entière de z; 2° qu'on peut, sans changer F(z), remplacer /(u) par une fonction n’ayant aucune singularité extérieure à c à distance finie ; 3° f(u) étant dans ces conditions, soit

J{u)= + Aou + Auf + À + Auf + Aou? +

le développement dans le domaine de u — ©. Former la série qui représente F(z) dans tout le plan; 4° Q(u) étant un polynôme de degré q, dont les zéros sont tous intérieurs à €, on suppose:

FONCTIONS ANALYTIQUES. INTÉGRALES CURVILIGNES 15 fu) — RE Montrer qu'on peut supposer le polynôme P de Q(u) degré g — 1 au plus. Montrer que ces fonctions, où P est un polynôme arbitraire, vérifient une équation diflérentielle linéaire à coefficients constants d'ordre g ; 5° Trouver l'expression générale de F(2) qui correspond à un polynôme Q{u). (Besançon, juillet 1905). 80. Déterminer tous les zéros et tous les pôles de la fraction rationnelle

RME z2+1 D a ee era at 1)

dont { est un pôle simple. 2° Calculer f {EN autour de chacun

des pôles. 3° Montrer que la somme de ces intégrales est nulle, et qu'on peut en déduire la décomposition de la fraction

+: ; tal aol "01 4# 1?

4° calculer sa fonction primitive. (Marseille, novembre 1907, pratique).

À es) Es

a définit une fonction uniforme et méro- LA I

morphe

2e fu) = + Be + Ban + Ba +

au voisinage de z — o. Calculer les coellicients A, B,, ..…. jusqu'à

\ 7 — és oal à

B,, en supposant + 1, pour z — %. (Bordeaux,

novembre 1904, FrRUREe

82. Calculer fe LE an de PEN NCENT sur un cercle c de centre o, de

rayon 1, en supposant n entier positif, et |a|<1<|b |. (Rennes, juillet 1906).

f 2 83. Calculer nn — À; | a dz, où a est 24 AN euh (EEE art + 1) réel, et positif, prises sur un cercle c de centre o, de rayon 1. 2° Calculer net SA a en posant efi — 2, o A—+icos » o (a—+icoso)

(Rennes, juillet 1906).

Séries. 84. Déterminer les différents développements en séries de

Maclaurin et Laurent, suivantles puissances de z, de en}

(Toulouse, novembre 1905).