PROBLÈME XXIII

Déterminer la latitude par deux hauteurs du soleil prises hors du méridien, et par l'intervalle de tems vrai écoulé entre les observations.

t. Corrige! les deux hauteurs observées , d'après les règles qui ont été données (Problème IX), dans le cas où ces deux hauteurs' n’auraient pas été prises dans le même lieu , réduisez la plus petite à ce qu’elle eût été si on l’avait prise dans le lieu de la plus grande , qui est toujours celui pour lequel la latitude doit être calculée. (Pour cette réduction voyex la page 126).

Cela posé , déterminez la demi-somme des deux hauteurs ainsi que leur demi-différence, a. Retranchez l'heure marquée par la montre mariue à la première observation , de l’heure marquée à la seconde (augmentée de la heures s’il est necessaire), le reste sera l’intervalle de tems vrai écoulé entre les observations , si la montre dan» son mouvement dinrne suivait sensiblement le tems vrai ; dans le cas on ce mouvement s’en écarterait, il faudrait corriger l'intervalle de la partie proportionnelle relative à la différence, d’après ce qui a été dit page 117 (cet intervalle doit toujours être la différence on la somme des angles horaires du soleil correspoudans aux deux hauteurs ) , que vous convertirez en degrés.

3. Prenez dans la Connaissance des Tems la déclinaison du soleil pour l’bonre T. M. de Paris correspondante à l’heure approchée du lieu de la grande hauteur , augmentée du demi-intervalle lorsqu’elle a été observée la première, ou diminuée du demi-intervalle quand elle a été observée la seconde : si la déclinaison est de même dénomination que la latitude estimée , retranchez-la de go* , et si elle est de différente dénomination , ajoutez lui go" , vous aurez la distance du soleil au pôle élevé.

4- Au logarithme sinus du demi-intervalle exprimé en degrés , ajoutes le logarithme sinus de la distance polaire ; la somme sera le logarithme sinus d'un arc A toujours plas petit que go*

icp Des I’iioü i. P. m e s.

5. Au complément arithmétique du logarithme cosinus de l’arc ré , ajoutez le logarithme cosinus de la distance polaire , la somme sera le logarithme cosiuus d'uu arc B , de même espèce que la distauce polaire.

G. Au complément arithmétique du logarithme sinus de l’arc A , ajoutez le logarithme cosinus de la demi-somme des hauteurs vraies , et le logarithme sinus de leur demidiffércuce ; la somme de ces trois logarithmes , diminuée de 10 , sera celui du sinus d'un arc C , toujours plus petit que 90".

7. Aux coraplémens arithmétiques des logarithmes rosinus des arcs A ci C, ajouter le logarithme sinus de la demi- somme des hauteurs vraies, et le logarithme cosinus de leur demi-différence , la somme de ces quatre logarithmes, diminuée de 10, sera le logarithme cosiuus d'un arc E , toujours plus petit que go".

8. Si la déclinaison est plus grande et de même dénomination que la latitude estimée , faites presque toujours une somme des arcs B et t, c’est-i-dire prenez B + E.

Dans tous les autres cas , prenez presque toujours leur différence , c’est-à-dire B-E.

9. Au logarithme cosinus de l'arc C ajoutez celui des cosinus d eB + E on de B-E , la somme de ces deux logarithmes , diminuée de 10 , sera celui du sinus de la latitude cherchée.

10. Quelles que soicut les dénominations de la déclinaison et de la latitude estimée , si ces deux quantités ne différent entre elles que d’un petit nombre de degrés, prenez simultanément B + E et B-E , calculez alors deux latitudes, et celle des deux qui approchera le plus de la latitude estimée , sera généralement la latitude cherchée.

Remarque t. 1,’indécision qui règne dans les règles précédentes , est inhérente à la nature du Problème qui doit avoir toujours deux solutions; aussi, quelle que soit la méthode de résolution employée, la nécessité de preudre tantôt U somme, lautôt la différence de deux arcs ou deux angles est inévitable.

Notre méthode , qui , jusqu’à ce jonr , est non seulement une des plus exactes , mais encore une des plus simples de toutes celles qui ont été proposées pour la résolution de ce Problème ( puisqu’elle n’exige que quinze logarithmes , dont dix se prennent deux à deux à la même ouverture de page), manifeste le cas douteux par le choix qu'il s’agit de faire entre l'emploi de B + E et celui de B -* E , ou ce qui est de même , par la détermination de l'instant de la journée où la valeur de E devient nulle.

Quoique la théorie donne des règles indiqnant l’instant où E=o, nons ne les indiquerons pas . parce que ne pouvant être fondées que sur la connaissance exacte de l'azimut ou de l’angle horaire de l’astre , elles ne fourniraient jamais qu’une pratique très-incertaine à la mer ; nous allons les suppléer par un mode d'observations et de calculs qui , dans tous les cas , donnera le moyeu immanquable de choisir entre les deux latitudes calculées suivant le paragraphe 10 , celle qui sert à fixer réellement la position du lien.

1. Observez trois sérirs de hauteurs de l’astre , de manière à vous procurer deux premières ou deux secondes hauteurs ; par ces observations vous obtiendrez les dounées de deux calculs de latitude.

a. Effectuez ces deux calculs , en faisant usage pour chacun d’eux de B + E ainsi que de B-E , afin d’obtenir par le premier comme par le second calcul, les deux solutions du Problème , cela vous donnera deux couples de latitudes calculées.

3. Examinez ces deux couples , vous y remarquerez une latitude qui sera commune ( ce qui nécessairement doit avoir lieu ) , ce sera celle qui devra être choisie pour la latitude cherchée.

Nous ferons remarquer que notre méthode donne les deux solutions du Problème avec tlue grande facilité, puisqu’elle 11’exigc que la recherche de deux nouveaux logarithmes, et que quand au moyen donné pour faire disparaître 1’inrcrtiludc sur le choix rie l’une ou de l’autre solution, il ne double réellement pas les calculs, puisqu'à la mer, l'heure du lieu , la latitude , la longitude par les distances lunaires , etc. , ue doivent jamais ctre déterminées par une seule série d’observations.

Remarque 2. Lorsque la déclinaison est nulle , c’est-à-dire lorsque la distance polaire est égale à 90° , 1.” L'arc A est égal au demi-intervalle de teins exprimé en degrés ; 2." l'arc B sera de go" ; l'arc C , l'arc E et la latitude seront toujours donnés ensuite par les préceptes G, 7, 8, 9 et 10.

Dts Problèmes. i^3

fit marque 3. Lorsque les deux hauteurs observées ont été prises l’une avant, l’autre «prés le passage du soleil au méridien , il peut arriver qu’après avoir réduit l’une de ces hauteurs à ce qu'elle eût été si on l'avait observée dans le lieu de l’autre, ces deux hauteurs soieut égales , alors opères de la maniéré suivaute :

i. An logarithme cosinus du demi-intervalle, ajoutez le logarithme tangente de la distance polaire, la somme sera le logarithme colangente d'un arc U toujours plus petit que 90“.

1. Au logarithme sinus de la hauteur, ajoutez le complément arithmétique du logarithme cosinus de la disiance polaire et le logarithme sinus de l’arc li , la somme de ces trois logarithmes , diminuée d’une dizaine , sera celui du cosinus d'un arc L toujours plus petit que go".

3. La différence entre les arcs R et F. donnera le plus souvent la latitude cherchée. S’il y a du doute, déterminez la somme et la différence des arrs W et C, vous obtiendrez pour résultats deuz latitudes , celle des deux qui approchera le plus de la latitude estimée sera probablement la latitude demandée. ( Voyez la Kemarque 1. )

Remarque 4. Pour déterminer l’erreur causée sur la latilude par l’emploi de la distance polaire moyenne.

1. Au logarithme du nombre de secondes du changement en déclinaison dans le demiintervalle , ajoutez le logarithme sinus de l’arc C ( déjà employé ) , ainsi que les complémrns arithmétique du logarithme sinus du demi intervalle et du logarithme cosinus de la latilude trouvée , la somme de ces quatre logarithmes ( diminuée d'uue dizaine ) , sera celui du nombre de secondes de l'erreur cherchée.

a. Cette erreur s’ajoutera a la latitude calculée si la distance polaire de l’observation la plus voisine du méridien est plus petite que celle de l'autre observation , elle s'eu retranchera dans le cas contraire.

Remarque 5. Lorsque vous aurez la latitude corrigée ôc l'erreur causée par l’emploi de la distance polaire moyenne , il vous sera facile de déterminer l'angle horaire moyeu et par conséquent l’heure T. V. du lieu de la grande hauteur.

En effet , si du logarithme sinus de l’angle C vous retranchez le logarithme cosinus de ta latitude corrigée , le reste sera le logarithme sinus de l'angle horaire moyen que Vous convertirez en heures.

Connaissant l’angle horaire moyen , vous oLtiendrez aussitôt l’angle horaire rom s-

Îiondant à la grande hauteur , en prenant la différence entre cet angle horaire moyen et e demi- intervalle exprimé en heure , ce qui vous donnera l'heure T. V. du lieu de la grande hauteur qui , comparée avec l'heure f. V. de Paris donnée par la montre marine , vous fera conuaitrt la longitude du lieu.

Remarque 6. Le Problème qui nous occupe est d’une grande importance dans la pratique , car il peut arriver que la connaissance de la latitude soit indispensable à la süretc du batiment, alors il serait imprudent de compter sur l’observation de la hauteur méridienne du soleil , que des nuages ou d’autres circonstances contraires peuvent empocher d’observer pendant plusieurs jours ; parmi les moyens qui restent après la détermination de la latitude par la hauteur méridienne , celui-ci est celui qut peut être employé avec plus de confiance.

l,cs règles suivantes serviront à diriger dans le choix des circonstances favorables aux observations , ou pour déterminer parmi plusieurs observations faites , celles qui sont préférables pour l’exactitude du résultat : t.“ I.orsque 1rs deux hauteurs ont été prises dans le voisinage du méridien , l’une avant l’autre après midi : a." Lorsque 1rs deux hauteurs ont été observées, l’une avant et l’autre après midi, et que l’intervalle de tems entre le passage au méridien et l’instant de chaque série d'observations , est moins grand que l’angle horaire donné par la Table XXXI , répondant à la latitude estimée du lieu et à la déclinaison du soleil. Toutes les fois que les conditions précédentes aerout remplies , les observations faites de différens côtés du méridien seront préférables à celles qui seront faites d'uu même chié : 3.” Quand les deux hauteurs sont prises d'un même côté du méridien , il ■sera avantageux que la grande hauteur ait été observée dans le voisinage du méridien et la petite a une distance de midi plus grande que l’angle horaire marqué par la Table XXXI ; ou exceptera le cas dans lequel le

edbÿGoogl

Des Problèmes.

soleil, dans son mouvement diurne, passe au méridien entre le zénit elle pôle éleve; alors la plus petite hauteur doit être observée à l'instant marqué par la Table XXXI.

Dans toutes les circonstances précédentes, il conviendra parmi les hauteurs observées, de prendre toujours la plus grande pour une de celles qui doivent entrer dans le calcul, et la plus petite au-dessus de y" 1 8" ; de faire en sorte que le chemin parcouru dans l’intervalle des observations soit au-dessous de ta lieues, et de se servir d’une montre qui ne s’écarte pas du tems vrai de plus de 3m en a4 heures , alors on obtiendra la latitude il 3' prés.

Les circonstances défavorables ou susceptibles de donner de grandes erreurs , sont celles dans lesquelles le soleil passe au méridien près du lénit , ou bien encore lorsque l’arc A détermine par le précepte 4, est égal ou diffère peu de la demi-différence des hauteurs vraies.

FrempUt t. Le a3 Mai »836, étant par 4*° de latitude Nord estimée, et 17® 3o* de longitude Ouest, h environ fis T. V. du matin, lorsque la montre marquait 6 s 2*)»» 17*, 1a hauteur moyenne du ln»rd inférieur du soleil a été observée de 35° 25’ Sa"; et lorsque la même montre, dont le mouvement suivait sensiblement le T. V., marquait Qh fi* 53», une nouvelle série d'onservalions a donné une hauteur moyenne du même bord 63° A* 57" ; élévation de l'œil , pour les deux hauteur , 20 pieds , on demande la latitude du lieu.

Préparation du calcul.

Heure C if* observation

Hauteurs observées 35®

b 1a montre \ a.» observation

Dépression pour ao pjedi —

Intervalle de tems

Haut. app. du bord infér. 35

ai

Demi-intervalle

aa 18

Réfraction — parallaxe —

Heure T- V. du lien le aa

Haut. *T. du bord infér. 35

ao

Heure moyenne T. V. du lien

ai

aa 18

Demi-diamètre 4-

Longitude en tems

Hant. vr. du centre 35

Heure T. V. de Paris le aa

aa

Petite hauteur

Tems moyen au midi %Tai

+ ti

Somme des banteurs

Heure T. M. de Paris le aa

Tor

Demi-somme des hauteurs

49 a4 at

Distauee polaire de l'astre

aa' 8"

Différence des hauteurs

Demi -intervalle en degrés

Demi-différence des bautenrs

Calcul de la latitude.

Demi -intervalle 20® 34‘

3o" 1. sin.

c. L cos. A 0.024859

Distance polaire 6g aa

8 1. sin.

L cos. 9.546974

Arc A < 90® 19 n

6 1. sin.