PROBLÈME XXXIX

De la mesure des bases.

L'exactitude des opérations Irigonométriqnes , relatives à la construction des cartes et

fdans hydrographiques et en général des travaux géodrsiques, dépend essentiellement de a mesure de deux espèces de grandeurs ; des étendues en longueur qui servent de bases aux triangles dont les sommets sont les principaux points de l'espace à représenter, et de la'.mesurc des angles de ces triangles.

Ces triangles réuniront les conditions les plus avantageuses lorsqu’ils seront les plut grands possibles , qu’ils approcheront le plus de la forme équilatérale , et ( quoiqu’il suffise à la rigueur de mrsurcr une ligne principale servant de base à l’un d’eux , pou» pouvoir calculer toutes les distances entre les sommets ) qu'ils seront liés par un plu* grand nombre de cotés mesurés.

I’oor l'emplacement d’une base , on choisira toujours la portion de terrain la pluf unie et la plus étendue, située de manière que de ses limites on puisse apercevoir le plus grand nombre des points dont il s'agit de fixer la position. Pour mesurer cette ligne, à ses extrémités , on commencera par planter verticalement au moyen du fil à plomb , deux jalons garnis d'1111 petit papier blanc à lenr partie supérieure, pour servir de point de mire , ensuite on fera poser île distance en distance d'autres jalons toujours d’aplomb et qui soient en même temps dans la direction , ou plus exactement dans le plan vertical passant par la ligne <1 mesurer. Ces jalons se multiplient autant qu'il est nécessaire pour

3 uc l'on puisse suivre par leur moyen la direction de eette base : les jalons interméiaires sont quelquefois remplacés par un cordeau ou bien un observateur reste placé li l'une des extrémités de la base , pour s’assurer que pendant l'opération les mesures sont toujours placées dans la direction indiquée.

Dans les opérations de détail , la mesure de la base s’obtient au moyen d’une rhaïne de gros fil de fer dont la longueur est ordinairement de dix mètres, et chaque longueur de mètre est composée de cinq parties dont chacune représente le double décimètre : cette chaîne couvrent parfaitement pour parcourir avec célérité une grande longueur. Il

37a Des Problèmes.

faut , avant de s'en servir , la vérifier sur un étalon et lui donner environ deux centimètres de plus que dix mètres, vu qu’il est impossible de la tendre rigoureusement en ligue droite; d’ailleurs on risquerait, eu voulant atteindre retic limite, d'en rompre les anneaux. Il est nécessaire d’employer des chaineurs iutelligens, parce que c est de la précision de leurs opérations que dépend en grande partie la justesse du plan.

Lorsque l’on mesure la ligne droite tracée par le moyen de jalons , le clialneur qui marche en avaut, dans la direction de ces jalons, porte dix fiches de fer qu’il plante en terre les unes après les autres, lorsque la chaîne est suffisamment tendue et quand ses extrémités sont dans une même ligne horizontale , quelles que soient d'ailleurs les inflexions du terrain, ensuite le clialneur qui vient après enlève ces fiches à fur et à mesure. Si la ligne qu’on mesure est de plus d'une portée, c'esl-à dire si elle est plus que dix fois la chaiue , on continue la même opération en retenant ou en écrivant sur un cahier le nombre de portées et de mètres que couticut la ligne mesurée.

Quand les lignes d'opérations traversent un terrain qui offre une ou plusieurs pentes longues et rapides , alors au lieu de disposer la chaîne horizontalement , ce qui serait trop gênant et peu exact, on mesure la longueur même de chaque pente , et après avoir estimé l’inclinaison de chacune, soit avec un cercle répétiteur soit à l’aide d'un niveau à lunette plongeante , armé d’un petit arc vertical gradué , 011 réduit les mesures à l’horizon au moyen de la méthode suivante : an logarithme du double de la ligne droite mesurée, ajoutez deux fois le logarithme du sinus de la moitié de l’incliiiaisou , la somme donnera le logarithme d’un nombre , ijui , étant retranché de la longueur mesurée , donnera pour reste cette longueur réduite à l'horizon.

Escmp/r 1. Une ligne de aoo mètres «Je longueur est inclinée de 4*\ on demande la longueur horizontale de celle ligne.

Log. de 4<x> a.6oac6o

a Log. sin. u° 17.08 3638

Ligne mesurée aoo

Correction — 0.49

Longueur horizontale 199.51

Exemple a. Une ligne droite de 600 métrez a été mesurée sur un terrain dont la penle est de 5° ; on demande la longueur horizontale de celle ligne.

Log. de taoo 3.079181

a Log. zin. 3o‘ 17.279360

Longuenr mesurée 600

Correction — 2.28

Longueur réduite à l'horizon 597.7a

Dans les opérations ordinaires de l'arpentage, de la topographie et de l’hydrographie, on peut se dispenser d'effectuer cette correction , surtout si celle relative à la longueur mesurée est jugée être moindre que l’erreur commise dans cette mesure.

Des règles égales au douille ou au triple mètre remplacent avantageusement la chaîne, quand on doit mesurer de petites distances , ou bien lorsqu'il est question d'opératious plus délirâtes ; s'il s’agit par exemple d’une triangulation du premier ou du second ordre , alors il faut mettre eu usage d’autres moyens , employer d'autres précautions pour la mesure d'uuc hase , qui devient dans ce cas une des opérations les plus difficiles et les plus importantes de la géodésie. L’est dans les ouvrages de M. Dclamhre que l’on peut voir les moyens dont il s'est servi pour exécuter ce qui a été fait de plus exact dans cette partie.

Pour donner une idée des soins et des attentions qu’il faut prendre pour obtenir la précision que demande la détermination des triangles même secondaires, nous allons rapporter les prorédés employés par M. de Zach , dans la mesure d’uuc base située dans les envirous de .Marseille.

« Le premier soin fut de faire construire trois règles de bois bien dressées, d’environ » trois mètres de longueur chacuue : quoiqu'il soit vrai que le bois est plus sujet A se » plier et A se de jeter, qu'il est plus susceptible de l’impression de l'humididé et de la » sécheresse que les règles de métal ; cependant les précautions avec lesquelles on a fait » construire ces règles , ont parfaitement rassurés sur ces dangers. D'ailleurs la mesure » d'une hase , comme relie dont on avait besoin , pouvait s’achever en si peu de temps, » que l’on n'avait, surtout eu ce climat, rien à craindre de la vicissitude et des clian- » grmeos subits de la température de l'aLmosplière : aussi ou avait choisi pour cette » mesure le temps le plus favorable , l’automue cl le milieu du mois d’üclobrc , saison

Des Problèmes. 3;3

x ordinairement la plus belle , où ni les chaleurs , ni les fruids , ni les humidités ne

x prédominent, et où la température de l’air est la plus égale. »

« Pour éviter que les règles ne pussent se tourmenter, on » d’abord fait choix de » très-vieux bois de sapin du Nord , qui avait été gardé pendant vingt ans dans un » magasin. Chaque règle était composée de deux pièces , les libres du bois placés en sens » contraire, l'une sur l’autre, collées et fixées ensuite par un bon nombre de chevilles » de bois. Pour les garantir de l'humidité , on les a peintes à l’huile , en leur donnant » trois couches de couleur bien épaisse. Chaque règle portait à ses deux bouts les

x N.“* i , a et 3, et était peinte d’une couleur différente ; cette variété de couleurs

x servait encore A les faire mieux distinguer de loin et A maintenir l’ordre constant » dans lequel elle devait se suivre et être placées l’une après l’autre. Pour les empêcher x de fléchir, sans le* rendre trop lourdes , on leur avait donné environ cinq centimètres x de largeur sur sept centimètres d’épaisseur. Mais un autre moyeu pjus stlr encore de x prévenir l'effet de la flexion , consistait en ce que chaque règle était toujours portée x de la même manière sur deux chevalets qui la soutenait aux deux tiers de la longueur,

x C’est dans celle position que ces régies ont été étalonnées ; c’est dans la même

x position qu’elles ont été employées A la mesure de la base; de sorte que si les règles x fléchissaient, elles le faisaient toujours de la même manière , ce qui , par conséquent, x ne pouvait influer sur la mesure de leurs longueurs , ayant été étalonnées dans celte x meme position. u

<• Les deux bouts de chaque règle étaient garnis de plaques de cuivre bien dressées, x de deux lignes d’épaisseur , qui recouvraient toute l’épaisseur du bois , et qu'on y x avait solidement fixées par des vis longues et A tètes plates. »

« Chaque règle portait un niveau à bulle d’air, et comme elle* étaient posées sur deux » chevalets ou trépieds à hauteur d’appui , on les mettait facilement et très-commodément x de niveau, en introduisant cutre la règle et la table du rlievalet sur laquelle (lies » posaient, de petits coins de bois dont on avait une ample provision de différentes x grandeur; on les chassait à petits coups, selun qu’il fallait hausser ou baisser l’un des » bouts de la règle ; par ce moyen on ramenait promptement la bulle d'air du niveau

x entre scs repères , et par conséquent la règle A une parfaite horiiontalilé. »

<■ Les règles placées en ligue droite et bout à bout, ne se touchaient jamais, mais x on laissait un petit iutcrvalle de quatre ou cinq centimètres entre elles ; de cette x manière ou ne risquait pas de déranger les règles qui étaient déjà posées , en les » mettant en ronlact , ce qui, d'ailleurs , est très difficile a bien juger. On mesurait cet » intervalle entre drnx règles avec une petite trliellc dont 1000 de ses parties égalaient x 0,8+6273# mètres; ou pouvait fort bien encore estimer la moitié d’une de res divisions x de l’échelle, par conséquent on pouvait évaluer ce petit intervalle jusqu’à 0,000.^23 x parties du mètre. Supposons qu'on se fût trompé en appliquant celle échelle pour x mesurer ces intervalles, d’une de ces parties, toujours dans le même sens, l'erreur x qui en serait résulté sur la totalité de la hase aurait été à peu près de soixante-cinq x centimètres , car pendant la mesure de celle hase, 011 avait appliqué l'échelle 6<j6 fois, » donc en supposant au’A chaque application de l’échelle 011 se fût trompé d’une de scs » parties . l’erreur totale aurait été — txjG X o,ooo8463 = o"',58do2. Mais tout en admettant » la possibilité de sc tromper dans celte mesure , d’une division de l’échelle , il n'est pas x probable qu’on commette cette erreur 696 fois dans un meme sens, et il doit y avoir x certainement compensai, on : ce qui le prunve , c’est l’accord des quatre mesures de x cette base. Elle fut mesurée deux fois, et les registres des mesures fureut tenus par deux x personnes dont chacune était munie de son échelle , avec laquelle elles mesuraient séx parement les distances des règles , ce qui équivaut A quatre mesures ; ou deux des

o'", ! 4007 02 o I2Gt8g5 o 0143867

o oc53533 O 0074690

» mesures de la base de 17I1O métrés, doteraient entre x les deux autres différaient de x donc la différence entre les mesures n’allait qu’à x c’est-à-dire un ceulimètre sur 1766 mètres. >■

« Sur une autre base de 5o5 mitres, les deux premières x différaient entre elles de » les deux autres de

différence

374 Des Phodlèîies.

« Ainsi l’errenr gui provcuait do l'application des échelles et de l'évaluation de se» » parties, n'ailait ici qu’à deux millimétrés sur 5oo mètres. Ce qui prouve que l’on » pouvait parfaitement se rassurer sur l’erreur qui pouvait venir de cette source. »

" Quoique les règles fussent toutes bien alignées et bien calées horiiontalement , le » terrain ne permettait pas toujours de les placer dans un même plan horizontal ; car n s'il allait en montant ou en descendant, ces régies étaient placées en échelons ou par

* étages, l’une au-dessus ou au-dessous de l’autre; l'application immédiate de l’échelle ” aux règles, pour mesurer leurs distances, devenait alors impraticable. Dans ces cas » on employait le fil à plomb , qu’on faisait descendre d’un bout de la règle , en pré- ” sentant la petite échelle entre ce fil à plomb et le bout de l’autre règle , on mesurait

* la distance horizontale, ayant égard à l'épaisseur du fil à plomb. Au reste, comme » le terrain sur lequel on mesura la base était presque horizontal , à une petite montée

* près, le fil à plomb ne fut employé que rarement. »

“ Les. règles, comme on l’a dit, étaient toujours placées sur des chevalets ou trépieds >* de bois de trois pieds de hauteur, en sorte qu’ou pouvait sans gène les aligner, les » caler, et mesurer leurs intervalles avec la plus grande commodité. Ces chevalets, qu’on » avait rendus aussi légers que solides , par une espèce de treillage en arc-boutant ,

*> prenaient une assiette bien ferme , et n’éprouvaient aucun mouvement lorsqu’on alignait ” et calait ces règles. On avait des chevalets de differentes hauteurs, de demi-pied en » demi-pied jusqu'à la hauteur de trois pieds : voici leur usage. »

" Lorsqu’on commençait la mesure avec ces règles , ou que l’on voyait arriver le *• moment où il fallait s’arrêter et fixer le point sur le terrain où l’on avait fini , l’on » montait ou l’on descendait par degré avec ces chevalets : on commençait avec des " chevalets d’un demi-pied de hauteur de terre, et on s’élevait successivement jusqu'aux “ chevalets de trois pieds, et on continuait à cette hauteur. Lorsqu'on s’arrêtait le soir, »■ on descendait de la même manière. Si l’on ne s’était servi que des chevalets de trois » pieds, lorsqu’il fallait marquer sur le terrain le point delà première ou de la dernière » règle à laquelle on avait commencé ou fini , il aurait fallu faire descendre de toute » la hauteur de la règle, un fil h plomb de trois pieds; or, on a beau garantir un fil » à plomb de cette longueur par des toiles dont on l’entoure ; pour peu que l’air soit » agité, le fil à plomb sera toujours dans une oscillation continuelle, et ne marquera » jamais avec certitude le point vertical sur le terrain qui répond exactement à son point » de suspension, lin Cl à plomb d'uu demi-pied, est moins sujet à de longues oscil- » lations ; il parvient plus facilement à son repos, et on peut mieux le mettre à l'abri » des agitations de l’air. Par ce moyen bien Simple, ou parvient, comme il est facile » de voir, avec beaucoup plus de certitude cl avec moins d'embarras, à fixer exac- » tement les points de départ et d'arrieéc sur le terrain. »

“ Lorsqu'on était sur le point de terminer la mesure de la journée , on marquait » provisoirement sur le terrain l’endroit où le terme devait aboutir : ou v faisait un » trou en terre, dans le fond duquel on enfonçait un pieu à grands coups de maillets; » mais on faisait cette opération Lien avant qu'on lie se fut approché avec tout l’attirail , » de rraiute que les contre-coups du maillet ne fissent rebondir les chevalets et les

* règles , et altérer par-là la mesure. Lorsqu’on arrivait à re trou , la dernière règle » n’était plus qu’à une hauteur d'un demi pied de terre ; le fil à plomb , dont la pointe

* était une aiguille à coudre des plus fines , et qui descendait de l'extrémité de la règle, » répondait exactement à ce pieu; il était d’autant plus facile de se régler sur ce point, » que l’intervalle entre les règles étant arbitraire , on pouvait s'arranger de manière que » le bout de la dernière règle tombât exactement sur le milieu de ce pieu. Lorsque le « fil à plomb indiquait le point de repos sur le pieu , on y enfonçait un clou de cuivre » à tête plate et polie, et on y marquait avec un poinçon le point que le fil à plomb » y avait désigné. Par précaution on recouvrait le clou avec un morceau de toile eùduit » de suif, pour le garantir de la rouille et du vert-de-gris , en cas qu'un grand vent »• ou une grosse pluie nous eût empêché de reprendre de sitôt la mesure ( ce qui cepen- » dant n’est pas arrivé ) , on plaçait encore une petite planche en bois par-dessus le » clou, et ou rebouchait exactement le trou pour le soustraire à l’œil des curieux. Le

* lendemain , des repères cl des marques faisaient retrouver le pieu : ou le découvrait » avec précaution, ou plaçait la même règle à un demi-pied de hauteur dans la même ■ position que la vrille , c'est-à-dire le fil à plomb tombait exactement sur le point

» marqué sur la tète du clou dans le pieu ; on s'élevait avec les régies de demi-pied » en demi-pied, jusqu'aux chevalets de trois pieds, sur lesquel» on coutiuuait la mesure « pendant la journée , jusqu'au soir qu'on descendait graduellement de la même manière » que la veille , pour s’arrêter comme on l’a dit >*

« Un autre objet très-important , auquel il fallait porter la plus grande attention ,

« c'est l’alignement de la base. Sans les précautions Ips plus scrupuleuses , une base » ne sera jamais une ligne parfaitement droite , niais une suite de lignes brisées , qui

» approchera plus ou moins de la ligne droite ; une base mesurée en zig-zag sera par

» conséquent toujours trop longue. »

« Le terme boréal de la base était un moulin à vent construit sur une petite émi- » nence. Ce moulin , ou plutôt sa girouette, servait de point de mire. Ayant établi le x théodolite sur le point austral de la base , le Cl vertical bien rectifié dans la lunette » plongeante de cet instrument ( on aurait pu se sers ire de la même manière du cercle » répétiteur ) , et pointé sur la girouette du moulin , donna l'alignement ou la ligne x droite sur laquelle la base devait se porter. On fil planter dans cette direction , de

» distance en distance , des jalons , qui tous étaient coupés par le fil vertical de la

x lunette , qui se couvraient par conséquent , mais qui ne couvraient jamais la girouette , x le moulin étant placé sur une hauteur qui dominait tout le terrain de la base. Ces x jalons au reste, ne servaient qu’a diriger les journaliers pour placer les chevalets à x peu près dans la direction de la base. Les règles furent alignées par le théodolite ;

» une personne placée à cet instrument dirigeait cet alignement , et veillait continnellex ment à ce que le milieu des trois règles (ilt toujours coupé par le fil vertical de la n lunette, lequel coupait en même temps la girouette du moulin. Denx règles restaient x toujours en place lorsqu’on transportait et alignait la troisième ; mais à mesure qu’on x s'éloignait du théodolite, les signaux qu'on donnait devenaient plus difficiles à voir » l’alignement des règles s? faisait plus lentement et avec plus de fatigue. On n’aurait x eu qu’à suivre la mesure avec le théodolite , et le rapprocher davantage des règlps » mais l’on eut un autre expédient aussi sûr que prompt pour les aligner: on fit construire » une pinnule mobile de vingt-cinq centimètres de hauteur, qu’on pouvait appliquer à x tous les bouts des trois règles ; sa ligne de foi correspondait exactement à la ligne » qui était tracée sur le milieu et sur toute la longueur de chaque règle. En plaçant cette » pinnule sur un bout de ces règles , on présentait un fil à plomb à l’autre bout , » exactement sur la ligne du milieu; la personne à la pinnule visait sur la girouette du x moulin, et faisait coïncider, par le mouvement de la règle, à droite ou à gauche x le fil à plomb sur la girouette ; on alignait ainsi chaque règle séparément , et lorsque » toutes les trois l’étaient, on plaçait la pinnule sur la première règle et le fil à plomb x à la dernière , et l’on vérifiait sur une longueur d’euviron dix mètres , si les trois x règles étaient bieu alignées. On plaçait ensuite la pinnule sur la dernière règle et le » fil à plomb à la première , et ou visait en arrière sur le terme austral de la base * x par ce moyen , on s'assurait de n'avoir jamais brisé et quitté la ligue droite. Cette x pratique réussissait toujours si parfaitement , que la personne placée au théodolite x u 'avait qu’à donner le signal que tout allait bien, x

•• L'étalonnage des règles est encore un de ees points délicats auxquels il faut faire la x plus graude attention. On avait un étalon d’un mètre de fer dont on peut garantir x ['exactitude , ayant été comparé à deux étalons du mètre définitif du même métal fixé » par la commission des poids et mesures à Paris. Avec deux micromètres microscopiques x à fils mobiles et à la température de + i3“ du thermomètre de Réaumur , le mètre x qui a servi à étalonner nos règles fat trouvé plus grand que l’un de o", 000097191 , et x plus grand que l’autre de o“, 000090478 ; et par un milieu de o“, 0000938845. »

« C’est avec ce mètre que l’on a fixé au juste et par trois fois, la longueur des règles, x qui avaient été construites long-temps avant d’entreprendre la mesure de la base , afin x de pouvoir les mettre plus long-temps en expérience , les exposer à l’action de la x température, et vérifier ensuite si, après quelques intervalles de temps, elles u’avaient x pas joué et n’avaient pas été altérées dans leurs longueurs. Ces règles ayant été achevées » au commencement du mois de Juin, furent éLalonnécs toutes les trois, placées sur >• leurs chevalets , le 5 de ce mois. Elles restèrent dans cet état dans une chambre , x exposées à toute l’ardeur du soleil de l’élé. A l'approche de l’époque de la mesure de x la base , elles furent étalonnées pour la seconde fou , le 7 Octobre. La mesure de la

□gle

3d by

376 Des, Pno blêmes.

» base terminée, ces règles furent soumises à l’étalonnage pour la troisième fois. Les » résultats feront voir qu'elles n’ont subi aucun changement sensible , et que les légères » différences qu’on a trouvées dans les trois différentes mesures , pouvaient tout aussi bien » être attribuées aux opérations de l'étalonnage qu'aux ebangemens des règles : au reste, » ces différences, comme on verra, sont si petites, qu’elles ne peuvent avoir aucune » influence sur la longueur de la base, ni sur les distances qui en ont été déduites. »

Règle N.* 1.

Bègl. N.“ s.

Règle N.° 3.

Premier étalonnage. • .

Second.

. 3 ajG.86

Troisième

Moyenne. •

3 s4;Gfi73

Somme de* moyenne* =

une portée . . • . • «

« Trois ans et demi après les avoir gardées dans un cellier humide, dont l'exposition » était au Nord , on les a soumises à un nouvel étalonnage qui a donné pour une portée » g",73rpo3o ; la différence de celle-ci à la précédente est de o",ooo33a3. Cette différence » peut être regardée comme nulle , et en inférer que , si après un si long intervalle de » temps , des règles aussi longues n'ont point subi d'altération notable , oh pourrait, » en les faisant construire de la manière qui a été indiquée , s’en servir avec la même » sécurité pour les bases les plus longues : effectivement , le bois de sapin est de tous les » bois celui qui est le moins sujet à se tourmenter; et lorsqu'il est bien sec, jumelé et » collé à fibres opposées, et recouvert de peinture, il est presque invariable. »

« A la rigueur , cette base mesurée aurait encore besoin de quelques corrections ; mais comme elle est si petite, elles sont tout à fait nulles. Celle base est proprement un arc , et c’est la corde de cet arc qu’il faut. On sait que B étant un arc terrestre et

C sa corde , on aura B - C — — - — - — , R étant le rayon de la terre : or , en cal-

rulant d’après relte formule la différence entre la corde et un are de i55oo mètres, base la plus longue que l’on ail mesurée jusqu’à présent, 011 11e trouvera que o“,oo37 de différence entre la corde et l’arc ; pour 10000“ cette différence ne serait que de o”,ooi , et pour .‘Sooo1", B - C = om,oooi3, par conséquent absolument nulle. »

« Une autre correction à faire , est celle de la réduction de la base au niveau de la mer. Soit H la hauteur du sol au-dessus du niveau de la mer ( nous donnerons dans un des Problèmes suivons le mojen de déterminer // ) , B la base mesurée , H le rayon de la terre , et b la base réduite , la réduction au niveau de la mer sera