I. sin

log. eut. ( d + Z ) 9.876635

log. b

log. a

o"ooiG

o"oooo 1.77655

o.oi43

Des Problèmes. 3g5

*' io'*

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ao458

i83oa

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ii1

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On aura de cette manière, par des additions continuelles, les logarithmes des deux nombres dont la réunion formera chaque terme de la Table.

Pour vérification , après avoir calculé par les différences de 10 en io secondes , on calculera par les différences de to en 10 minutes; les valeurs trouvées, si l’on a bien opéré , doivent se trouver les mêmes que celles qu’on a obtenues par les premiers calculs de io en 10 secondes ; s’il y avait quelque différence ou trouverait facilement où l’erreur a commencé , et on la corrigerait On voit qu’i to' le terme proportionucl à la quatrième puissance du sinus de la moitié de l’angle horaire est cucore insensible , puisqu’il uc vaut que c>l',oooi ; que même à 20' il est encore très-permis de le négliger, puisqu’il n’est que de o",oo2. On pourrait donc sc dispenser de calculer les vingt premiers termes dans lesquels il entre le logarithme constant b ; on chercherait de 10' et de 30'.

11 sera même plus sûr de commencer le calcul de In Table, par ceux de 10 en* 10 minutes; alors ou aurait d’avance tous les termes qui doivent servir de vérification, les erreurs s'apercevraient plutôt et se corrigeraient plus facilement avant qu'elles ne fussent - accumulées.

Le calcul de la réduction peut encore s’abréger eu construisant deux Tables, l’une sur le facteur A et l’autre sur le facteur A' B de la page 38g , ayant toutes deux pour argument tous les demi-degrés de déclinaison, tant australe que boréale. La construction de la première fera connaître que depuis le zéuitli jusqu’à 20* de distance , les facteurs A varient rapidement : si on observe à ces hauteurs , il sera plus exact de laisser cette Table pour recourir à l’expression de A , dont on ajoutera le logarithme à celui de la somme des corrections l'a prises dans la Table LXXX. La seconde Table conteuaut les facteurs A' B , servira à donner le second terme de la réduction ; on aura rarement occasion de se servir de cette Table et des corrections tb données par la Table f.XXX. Eu effet, pour que le second terme soit sensible, il faut la réunion de deux circonstances ; savoir : que la distance au zénith soit peu considérable et l’augle horaire assez grand; or, quand la distance au zénith est petite, on doit éviter les angles horaires un peu grands , parce que la plus petite erreur sur le temps de l’observation aurait une influence très-sensible sur la réduction , et par conséquent sur la distance réduite ; mais en cessant les observations dès que la réduction augmente d’une demie ou d'uu tiers de seconde

Îiour une seconde de temps, comme il arrive à quelques minutes du méridien et quand 'astre est fort élevé, on trouve celte réduction avec la plus grande exactitude.

Pour trouv er le moment , où pour une seconde de temps la réduction change d’une

sin f £, j \

seconde de degré , M. Delambre a donué la formule sin. P = — =— ; ; et

B it> cos. L cos. d

comme P est ordinairement uu petit angle , ou peut le supposer proportionnel k son sinus , et en conclure que P décroît de la même manière que U réduction.

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Des Problèmes.

Calculant snr cette formule avec une latitude Nord de 48° et 3o“ de déclinaison boréale, on aura l'angle horaire i“ 5o' 4“ ou 7“ ao’,3 ; d’où l’on peut conclure que 3“ 4o* avant et après le passage au méridien , on aurait o",5 d’erreur sur la réduction pour une erreur d’une seconde sur le temps de l’observation ; que vers 2“ 27" l’erreur serait d’un tiers de seconde. 11 serait donc fort peu sûr d’observer à cette déclinaison lorsque l’angle horaire surpasse 41”.

A 20° de déclinaison on trouve l’angle horaire 2° 34' 8* ou 10" iG‘,5 : on ne peut donc guère commencer les observations que 5 à 6 minutes avant le passage.

Vers le commencement et la fin d’une série , lorsque le mouvement de l’astre en hauteur est un peu sensible, au lieu d’amener le fil sur l’astre exactement, on pourrait ne l’y amener qu’à peu près , mais du coté où se dirige le mouvement : alors en attendant quelques secondes, on verrait l’astre se placer lui- même exactement sous le milieu du fil ; il n’y aurait aucun inconvénient à prolonger les séries si l’on pouvait observer ce passage avec précision ; mais cette observation est bien difficile dans des lunettes aussi faibles que celles des cercles répétiteurs dont le diamètre ne surpasse pas 3o centimètres : on fera pourtant bien de la tenter, ne fût-ce que pour connaître, par cette épreuve, le degré d’incertitude de l’observation et de la réduction.

La nécessité d’éclairer les fils et le niveau , empêche souvent que l’on aperçoive à la vue simple, l’étoile qu’il s’agit d’observer: pour la trouver sûrement, il faudrait avoir des moyens faciles de placer le plan du cercle dans l’aiimutb de l’étoile , et de diriger la lunette à la hauteur qu’elle doit avoir.

Pour trouver l’azinmth on peut employer la formule

tang. azimuth

séc. L eut, d sin. P tang. L cos. d cos. P + 1

Le signe supérieur est pour les étoiles qu’on observe au méridien au-dessus de l’équateur et du pôle ; le signe inférieur pour celles qu’on observe au-dessous. Au moyen de celte formule , on peut facilement construire une Table qui marque pour différentes déclinaisons et un angle horaire de 10 minutes de temps ou 2° 3o' , l’azimuth de l’étoile ; on en conclura celui qui convient à un nombre quelconque depuis 1“ jusqu’à 20“; car ces azimnths croissent uniformément près du méridien : d ailleurs comme le demi-champ de la lunette est au moins d’un demi-degré en azimuth , une erreur de cette quantité sur l’azimutb n’empêcherait pas de trouver l’astre.

Pour faire usage de cette Table , on remarquera le point où se trouve l’alidade azimuthale quand l’astre est au inéridie.n ; en combinant avec ce point l’azimutb pris dans U Table , ou aura les points où il faudra chercher l’astre 10 minutes avant ou après son passage au méridien ; d’où l’on déduira tant d’autres points qu’011 le jugera à propos : on pourra même, à l’aide de cette Table, faire pour chaque étoile qn’ou voudra observer, une petite Table qui indiquera pour chaque minute de temps de la pendule, les poiuts azimuthaux où il faudra chercher l’astre , tant à l’Est qu’à l’Ouest du méridien.

Cette Table ne sera pas nécessaire à chaque observation ; quand une fois l’astre est dans la lunette, il suffit, pour l’observation suivante, de remarquer i’azimuth sur le cercle et de conduire l’alidade à 180“ de là. Par ce mouvement le plan du cercle se retrouvera dans l'azimutli de l'astre , mais il est très-utile d'avoir la petite Table sous la main pour retrouver l’astre quand ou l’a perdu ; le seul inconvénient de cette méthode est l’embarras de s’éclairer assez bien pour lire facilement la division et son vernier, et celle opération n’est pas inéme très-aisée à faire en plein jour.

L'azimiitii est insuffisant de jour cl même de nuit , quand on observe une étoile qui n'a rien de remarquable, car quoiqu'il soit préférable d employer les passages supérieurs et inférieurs d'uue étoile circompolairc telles que la polaire et /3 de la petite ourse , la saison ou toute autre circonstance oblige d'observer un’c autre étoile seulement à son passage supérieur ; il faut encore savoir à quelle hauteur 011 doit diriger la lunette : ou perrl , à la vérité, calculer d’avance les points du limbe où l'alidade de l’alidade de la huietle supérieure doit se trouier dans toutes les observations paires ; mais il faudrait aussi uuc division à la surface inférieure du limbe ou bien au tambour, pour y voir je chemin que doit faire l’alidade qui porte le nivcan ; mais ce moyen fort bon en lui— même , aurait quelques iucpuvcuieus , tels que U nécessité de calculer d’avance la

Des Problèmes. 397

Table des multiples pairs et celles des multiples impairs de la distance au lénith , pour ajouter les uns et les autres au\ deux points de départ , et surtout l'embarras de lire les divisions , soit pendant la nuit , soit durant le crépuscule. Un moyen simple et qui peut toujours servir, consiste à placer près du cercle une ficelle horizontale dans la direction de l'alidade supérieure, lorsqu’elle sera poiutée sur l’astre; cette ficelle , portée par deux pinces qui glissent le long de deux montants, indiquera la hauteur de l'astre durant l'observation.

Pour placer de jour cette ficelle directrice , on observe la distance au xénilh d’un objet terrestre, l’ayant trouvée de 89° 48' par exemple, on fixe l’alidade sur ce nombre de degrés , et on pointe sa lunette sur l’objet terrestre ; puis , calant le niveau , l'instrument restant dans cette position , si on dégage la lunette supérieure pour la faire mouvoir verticalement, l'alidade marquera, dans chaque position, la distance au xénilh pour le point du ciel sur lequel la lunette sera portée ; et par ce moyeu on placera la ficelle à la hauteur convenable. Ou peut encore abréger ce procédé , eu marquant par trois repères , sur la face inférieure du limbe , la position que doit avoir l'alidade pour que le niveau , étant calé , fasse l'office d'uu fil à plomb qui tomberait sur le premier point de la division , et que le cercle puisse donner des distances au zénith simples ou absolues ; par ce moyen on peut placer la directrice à une hauteur donnée quelconque , pendant la nuit aussi bien que pendant le jour.

Dans l'hémisphère Nord, pour les deux étoiles principales, la polaire et |S de la petite onrsc, on peut aussi se servir d'une ficelle verticale attachée à quelque distance du cercle et dans le plan du méridien , pour amener promptement la lunette dans le vertical de l’étoile; mais une seule ficelle ne suffirait pas, car l’instrumeut prenant dans les observations conjuguées deux positions parallèles et distautes de quelques pouces l’une de l’autre , il faut deux méridiennes verticales pareillement espacées.

Quoique la méthode la plus directe et la plus sflre pour déterminer la latitude d’un lieu soit, sans contredit, celle qui est fondée sur l’observation des distances zénithales vers les passages supérieurs et inférieurs d'une même étoile circompolaire au méridien de ce lieu ; cependant elle peut encore se déterminer avec beaucoup d’exactitude , soit par l’observation d’une étoile dont la position est bien connue , faite seulement à son passage supérieur, suivant la méthode précédente, soit par l’observation de l’étoile polaire , à l'époque de sa plus grande digression orientale ou occidentale , c'est-à-dire au moment de son plus grand éloignement du méridien, surtout lorsque la déclinaison de cette étoile est bien connue ; soit enfin par l'observation des distances zénithales du soleil vers le passage au méridien à l’époque des solstices.

Détermination de la latitude par des digressions de la polaire.

Représentons par N1 la distance -an zénith observée vers la plus grande digressioo ;

N la distance au zénith à l'instant de la plus grande digression ;

n la différence entre ces deux distances , exprimée en secondes ; P l'angle horaire correspondant à la distance observée ;

P l'angle horaire correspondant à la plus grande digression ;

p la différence entre ces deux angles horaires ;

D la distance polaire apparente de la polaire ;

A l'ascension droite apparente de la polaire ;

A' l’asrension droite du demi-méridien supérieur , correspondant ’ à l’observation ;

L la latitude approchée ; r la réfraction à la hauteur du p6Ie ; on aura les formules suivantes :

« n = ± p sin. D H- j- p3 sin. D cos.’ D sin.’ î" (1)

Les signes supérieurs après 1» digression orientale et avant l’occiclcntalc ; les signes inférieurs avant la digression orientale et après l'occidentale.

Des Problèmes.

cos. P = tan». 1) cot. L p = A - A'- P = P - A + A'

la première valeur de p avant la digression orientale, la seconde après celte digression; la troisième valeur de p avant la digression occidentale , et la quatrième après cette digression.

»in. L = cos. N cos. D (5)

Pour se procurer un résultat numérique plus exact , au lieu de la formule (5) , on déterminera la différence y entre le complément de la latitude et la distance N par cette série , donnée par M. Delambre ;

y = 2 sin.’ % U cot. N - a sin.1 % D cot’ N .

On observera que ZV représente la distance zénithale moyenne entre toutes celles observées à l’époque de la digression , et qu’il est nécessaire , pour compenser les erreurs , de faire à peu près le même nombre d'observations avant et après ta digression.

De la détermination de la latitude par les distances zénithales du soleil , prises près du méridien.

Pour le soleil , la méthode est absolument la même que celle qui nous a servi pour une étoile , seulement il faut tenir rompte de son mouvement propre en déclinaison pendant la durée de l'observation; car la distance méridienne qui se déduit de chaque observation partielle , au moyen tics réductions , est celle qui aurait réellement lieu si la décliuaisou de l’astre restait toujours la même qu’à l’époque de l’observaliou : mais La décliuaisou du soleil varie , alors la distance réduite obteuue différera de la distance zénithale méridienne véritable , d’une quantité égale au changement de la déclinaison , depuis l’instant de l’observation jusqu’à celui du passage au méridien. Ainsi eu supposant le mouvement en décliuaisou uniforme , pendant la durée de la série , et le connaissant pour uue minute de temps , mouvement qui peut être donné par la Connaissance des temps , on muUipliera ce mouvement par le nombre de minutes contenues dans l'angle horaire pour lequel ou veut calculer le changement en déclinaison , le produit sera la correction" de la distance réduite. Ces corrections seront évidemment de signe contraire avant et après le passage au méridien, en supposant, comme cela a l:cn généralement, que le mouvement en déclinaison se fasse dans le même sens pendant toute la série : car ajors , si ce mouvemrut augmente les distances au zénith d’un côté du méridien , il les diminuera de l’autre côté , aiusi la correction sera nulle si l’intervalle des temps avant et après le passage est le même. De là il résulte la règle suivante : faites la somme des angles horaires avant midi et celle des angles horaires après le passage, puis retranchez la première de la seconde, vous aurez une différence positive ou négative que vous diviserez par le nombre des observations ; alors le quotient sera l’angle horaire moyen de même signe que la différence, par lequel vous multiplierez la variation en déclinaison pour une minute , le produit algébrique de ces deux quantités sera la correction cherchée , calculée d’après lensemble de la série, comme si la décliuaison était constante. Il en est du soleil comme des étoiles, qu'il faut faire autant que possible le même nombre d'observations avant et après le passage au méridien et à des temps également éloignés du midi , et que pour le soleil , les époques les plus favorables sont celles des solstices, surtout celle du solstice d’étc. Quoiqu'avcc plusieurs cmlaincs d’obsrrvatiuns de ce genre on puisse être bien sûr d’une latitude, on doit de préférence se servir des observations vers les deux passages de la même étoile, afin d’éviter la petilc incertitude de l'obliquité de l’écliptique. En général , dans la détermination de la latitude , quand les écarts autour de la moyenne de toutes les observations sont très petits , comme d'une seconde , il est probable alors que la latitude a été déterminée à ce degré de précisiou.

Des Problèmes.

Des observations azimulhales.

Les observations azirouthales font connaître dans quelle direction la méridienne traverse les triangles , et quelle est la longueur de cette méridienne. La méthode la plus naturelle et la plus exacte d’orienter une suite de triangles , serait d'avoir une lunette méridienne que l’on placerait exactement dans le méridien de l’une des stations , c’est-à-dire au sommet de l’un des angles d'un triangle : dans la .-direction de la lunette , on placerait une mire pour indiquer la direction de la méridienne du lieu , ce qui permettrait de mesurer ensuite directement l’angle que l'un des côtés de ce triangle fait avec cette méridienne. La difficulté consiste à mettre avec précision , l’axe de la limette dans le méridien , et à placer sur un des points de son prolongement la mire qui doit servir à prendre cet angle de direction. ])ans les observatoires munis d'une bonne lunette des passages , il est facile d’avoir des mires bien placées ; mais pour bien établir de pareilles mires, il faut beaucoup de temps, une lunette bien solidement placée, et une bonne pendule; facilités qu’on ne peut pas toujours se procurer à une station quelconque, on est obligé d’y suppléer par d’autres moyens. à peu près aussi exacts, plus expéditifs et plus faciles à être mis eu pratique avec les instrumens employés communément dans les opérations géodésiques. Etant placé au centre ou près du centre de l’une des stations, on observe alors les aiimuths a’un signal avec le cercle répétiteur ou avec le théodolite , de la manière suivante : lorsque le soleil est près de l'horizon , le matin ou le soir , on prend alternativement plusieurs distances angulaires entre ses deux bords et le sommet du signal , ainsi que les heures correspondantes à une pendule ou à une montre marine bien réglée ; ces observations réunies quatre à quatre donneront des distances moyennes du centre du soleil au signal , et des heures moyennes correspondantes. Si les observations n'ont point été faites au centre de la station , on observe la distauce zénithale du signal , afin de les y ramener par la formule donnée précédemment page 38 1 , qui se réduit alors à un seul terme , celui qui dépend de l’objet terrestre , parce que la distance de l’astre est trop considérable pour que la distance du centre du cercle au centre de la station produise aucun effet sensible.

Pour ces observations, il faut deux observateurs an moins, l’on vise au signal, et l’antre an soleil ; un troisième compte les heures et écrit les résultats. Maintenant avec l’heure vraie de chaque groupe d’observations , on calcule l'azimuth du soleil par le Problème XIII, et sa hauteur vraie parla première méthode du Problème XIX, que l’on rapporte à la surface de la terre, c’est-à-dire qu’on la réduit à la hauteur apparente. Cela posé , avec la distance observée du centre du soleil an signal , la hauteur apparente du soleil et celle du signal, on calrule leur différence d’azimuth et enfin l’azimuth du signal par le moyen du Problème XVI. Le milieu entre tous les résultats donnés

par les séries d’observations , sera l’azimuth le plus approchç ; on remarquera que son

exactitude dépend surtout de celle de l’heure vraie : une seconde d’erreur sur cet élément peut , eu France , produire io“ d’erreur sur l’azimuth.

Exempte. Le as Mars i8o3, an matin , X a® ,4 «tu centre de la station , dont la latitude Nord est de 4a° 3 g' 6” es la longitude de 70 5g1 ao" Est , on a observé l'angle entre les deux bords du soleil levant et un signal, situe' vers l'Ouest ; et par un milieu pris entre quatre observations, cet angle a etc' trouvé de »5l° 37' aa",8, en même temps que le milieu eotre les inslans donnés par la montre était de iS1» 3o“ 4a*,5 comptées astronomiquement.

Le baron, placé près de rinslromenl et b l'ombre , marquait 0*745 , et Le tbermora. de Réaumur 10®, 3.

De plus, la distance du signal an ténith de la station est de 86* i5' 11", 9.

L'angle de direction , ou la distance angulaire du signal au centre de la station , est de a36® 4o’ 22", 8.

Enfin, le logarithme de la distance itinéraire du signal an centre de la station, est de 4<i6o685.

Les hauteurs correspondantes da soleil, prises le ai Mars et le lendemain ont fait connaître que Le ai , la montre était eo retard sur le midi apparent , de ofc 6" 8"3

El le aa, elle retardait de

Ainsi la montre retardait en a4 Heures, temps vrai, de Heure de l'observation , b la montre Retard do ai

Temps écoulé sur la montre somme