L cos. 9.356389 76° 5a1 io"33 i

Ainsi 1a distance angulaire du signal au centre du soleil , comptée sur l'horizon , est de i53° 44' *ow, 66 : pour la réduire au centre de la station , il faut effectuer le calcul suivant.

Calcul de la réduction de la distance précédente au centre de la station. oleil étant à gauche du sign; ta rédaction cherchée , se réduira à

Le soleil étant à gauche du signal , la formule de la page 268 , servant à donner

r sin. ( O + y )

U sin. 1"

Distance du centre de l’instrument an centre de la station , ou r s

Distance angulaire do centre du signal au Centre de la station , ou 0 + / r Logarithme de la distance itinéraire du signal au centre .ou L D =z

log. r a.lÿ-tfa

e. In*. lin. i" 5.3i44j5

Ing. lin. ( 0 + j ) S-yîltr;*

«• log. D 5.8393i5

a36* 4o* ta" 8 4.iûo6S5

Rédaction — 29" ,76 1.473622

L» réduction est négative , parce que le sinus de 0 + jr est négatif.

Des Problèmes.’ 401

Calcul de l'azimulh du lignai.

Différence d’axunuth Aximuth du soleil

Atimulli approché du signal Réduction au centre

Aiiznuth du signal du Nord vers l'Est du Sud h l'Ouest du Nord à l'Ouest

Pour connaître un azimulh avec précision , il faut multiplier les observations , les répéter plusieurs jours , et quoique le soleil soit plus commode , il est bon d'employer aussi à cette recherche une etoile; le procédé est à peu près le même, mais il faut, pour les observations , avoir un réverbère placé au signal dont on veut connaître l'asimulh.

Calcul des différences de niveau.

La méthode la plus directe et la plus simple pour déterminer les différences de niveau est de rapporter les élévations ou les dépressions des objets à des lignes horizontales données, soit par le rayon visuel rasant la surface d'un liquide contenu d us un cylindre recourbé et ouvert à ses extrémités , soit par une ligue parallèle à l’axe d’un tube cylindrique de verre rempli eu partie d'alcool ou d'ellier, et dispose de manière que la bulle d’air dont la pesanteur spécifique e»l moindre que cette liqueur , et qui par cette raisou, tend toujours à occuper le poiut le plus haut de ce tube, soit placée exactement eu son milieu.

Un instrument qui donne une ligne horizontale , s’appelle niveau : en général on en distingue de deux espèces , les niveaux d'eau et les niveaux à bulle d'air.

Deux ou plusieurs poiuts sont de niveau entre eux, lorsqu'ils sont également éloi“nés du centre de la terre. La surface des eaux tranquilles est une surface de niveau; telle est la surface des mers, des lacs, des étangs, lorsque leurs eaux ne sont pas agitées • une ligne horizontale ou perpendiculaire au fil à plomb est une ligne de niveau apparent ' parce qu’il semble en effet que tous les points de celte droite soûl de niveau entre eux' tandis qu’ils ne le sout pas. Toute ligne courbe concentrique à la courbure de la terre ’ supposée sphérique, est au contraire une ligne de niveau vrai. Une ligne de niveau apparent est donc uue ligne droite, et une ligne de niveau vrai, une courbe qui devient un arc de cercle dans l’hypothèse que la terre est sphérique. On admet celte supposition dans le nivellement , parce que l’aplatissement de la terre est trop petit pour donner une erreur sensible dans la détermination des différences de niveau.

Si au point A d’un arc terrestre AU on conçoit une tangente AC, la partie UC de la sécante Cl) sera la différence de niveau des deux points A et U, ou la hauteur du niveau apparent AC au-dessus du niveau vrai AU; on peut au moyeu de la distance des deux points , déterminer en mètres la hauteur UC par la formule suffisamment approchée

le dénominateur exprime la longueur du rayon de la terre. De cette formule on peut conclure que les différentes hauteurs du niveau apparent au-dessus du niveau vrai , sont entre elles à très-peu près comme les quarrés des distances, si doue le rayon visuel déterminé par l’instrument provenait du point C , il serait facile de trouver le point U qui est de niveau avec le point A ; mais le point de visée ou point de mire paraît dans un lieu autre que celui qu’il occupe réellement ; cette dév dation de l'image de l'objet , qui est l’effet de la réfraction , se manifeste dans le sens vertical et fait paraître cet objet pins élevé qu'il ne l’est, alors le point qui parait eu U provient d’un point O compris entre C et U. On a fait un grand nombre d’observations pour déterminer le rapport de l’angle de réfraction CAC avec l’angle formé par les deux rayons menés au centre de la terre des extrémités de la distance AU. Mais la réfraction terrestre est si variable près de la surface de la terre , si inconstante dans un meme lieu , que l’on ne peut établir aucune règle bien précise ; la valeur moyenne de eet angle , qui peut différer plu* 0u moins

£oa Des Phoblêbes.

de la valeur exacte , est les huit-centièmes de l'angle au centre. Lorsqu’on pourra placer son instrument à égale distance des deux points qu’on nivèle , on sera dispensé d'avoir égard à la différence du niveau apparent au niveau réel.

La Table LXXVIll donne l’élévation du niveau apparent au-dessus du niveau vrai , ainsi que l’abaissement causé par la réfraction pour une distance donuée.

Supposons que l’on veuille connaître la différence de niveau des deux points A et B , situés à 4oo mètres l’un de l'autre , et qu’on ait placé son niveau en M à une distance égale des points donnés : si le rayon visuel de l’observateur passe à i"a5 au-dessus du point A et à i ”85 au-dessus du point B , il n’est pas nécessaire de faire aucune correction à ces deux nombres ; ou soustrait le plus petit du plus grand , et le reste , Go centimètres, indique que le point B est de cette quantité plus bas que le point A.

Supposons maintenant qu’on ait placé l’instrument au point A , que la hauteur de l'oeil à ce point soit égale à et que le rayon visuel passe à i"',oo au-dtssus du point B:

cherchant dans la Table LXXVIll les nombres qui correspondent à la distance de 4oo mètres , ou trouvera 0,0126 et 0,0020 dont la difléreuee est de 0,0106 ; retranchant cette différence de la côte i“,6o, ou aura pour reste i'n,58y4 ; retranchant ensuite i“,o5, hauteur de l’œil au point A de cette dernière côte , le résultat o”,5394 fera connaître que le point A est élevé de cette quantité au-dessus du point R. Supposons enfin que si au lieu d’avoir placé l’iustrnmenl au point A , on l'ait établi au point M' situé à 100 mètres du point A , et par conséquent à 3<x> mètres du point II ; le rayon visuel passe à i^Soj au-dessus du point A, et à 2™,5o5 au-dessus du point B. On prendra la différence 0,0007 des deux nombres de la Table , correspoudaiis à 100 mètres ; puis 0,0060 qui est celle des deux nombres correspondais à 3oo mètres : retranchant la première de la seconde , on aura o,oo53 que l’on soustraira de 2'",5o5 , hauteur du rayon visuel au-dessas du point B; le reste 2,4997 > diminué de i,8o5 . côte du point A, donnera o,6g4? pour la quantité que le point B est plus bas que le point A.

De ces exemples il en résulte la règle suivante : 1.° Lorsqu’on place l’ instrument à une distance égale des deux points A et B qu ’on veut niveler , et que le rayon visuel passe au-dessus de ces deux points , on n’a d'abord aucune correction à faire aux deux côtes trouvées; si l’on soustrait ensuite la plus petite de la plus grande , le reste apprendra de combien le point auquel correspond la plus grande cite est plus bas que t autre.

2. ° Lorsqu’on place son niveau sur un des points extrêmes de la ligne qu’on veut niveler , par exemple sur le point A , on retranchera de la cite correspondante au point B la différence des deux nombres donnés par la Table pour la distance AB, avant de soustraire la plus petite côte de la plus grande.

3. " Enfin , si Ton place T instrument au point M' , situé à une distance inégale des deux points A et B , mais plus pris du point A que du point B , il faudia avant de soustraire la plus petite côte de la plus grande , retrancher de la côte correspondante au point B le plus éloigné du niveau , la différence des corrections données par la Table pour les distances de M' à A cl de M' à B.

On remarquera qu’il est préférable de diminuer la longueur des rayons visuels , afin d’éviter les effets de la réfraction et de rendre le pointé plus srtr. L’expérience peut seule éclairer à cet égard : par exemple , si après avoir dirigé et fixé une lunette sur nn objet ou une mire dont la distance au lieu de l’observation est connut , il arrive que cet objet reste à l’intersection des fils du réticule , quel que soit l’état de l’atmosphère , ce sera une preuve que la réfraction , à celle distance est nulle , et que par conséquent le rayon visuel n’est pas trop long ; mais si l’objet parait tantôt à droite , tantôt à gauche du fil vertical, ou s’il est vu tantôt au-dessus, tantôt au dessous du fil horizontal , ce sera un signe certain qu’il existe dans le premier cas une réfraction latérale , et dans le second une réfraction verticale : alors , pour que ces deux réfractions n’aient aucune influence sur le pointé , il faudra rapprocher suffisamment la mire du lieu où est placé l'instrument ; les effets de la réfraction seront toujours insensibles à la distance de 600 mètres.

Lorsque la différence de haulcnr de deux points peut , comme dans les exemples précédai» , se déterminer par une seule station on par deux coups de niveau , l’opération prend le nom de nivellement simple-, niais, lorsque les deux points sont placés à nne si grande distance l’un de l’autre , ou bien quand le terraiu présente des ipégalités ou

Des Problèmes.

une penlc considérable , on est obligé de lier ces deux points entre eux par une suite de nivellemens simples ; l’opération s'appelle alors nivellement compost.

Supposons qu'il s’agisse d'assigner la différence de niveau des deux points extrêmes d’une ligne ABC. ..Il , dont la distance est trop grande pour qu'ou puisse faire celte opération d’un seul coup de niveau , on placera successivement son instrument entre tous les points A , li , C. . . Il , et à chaque station on donuera un coup de niveau d’arrière et un coup d'avant ; par cette manière d’opérer, on établira une relation de position enlre tous les points A , B , C. . . II , de laquelle il sera facile d’obtenir U différence de niveau des deux points extrêmes A et //.

Dans les triangulations primaires et secondaires , les différences de niveau se déterminent de plusieurs manières par des procédés trigonométriques.

La méthode préférable est celle dans laquelle on emploie les distances moyennes et réciproques , résultantes d’observations faites simultanément dans les deux stations aux époques du jour les plus couvenablcs.

Avant d'entreprendre le calcul de la différence de niveau , on remarquera qu’en observant les distances au îénith des objets on vise au sommet du signal de la station éloignée , tandis que l'observation se fait dans chaque station au centre du cercle , ainsi toutes les distances zénithales observées doivent être réduites aux sommets ou aux

Ï lieds des signaux , et afin d’éviter ces réductions trop fortes , à celui de ces deux points e plus près du centre du cercle.

Lorsque le rentre dn cercle est placé entre le sommet et le pied du signal , la réduction est additive à la distance observée pour le premier de ces points , et elle est soustractive pour le second ; on la détermine par fa formule suivante :

dü =

h sin. I) K sio. l“

dans laquelle A exprime en mètres ou en pieds la distance du centre du cercle au sommet ou au pied du signal.

I) la distance zénithale observée.

K la distance linéaire , exprimée en imité* de même espèce que A , entre l’observateur et le point observé.

Maintenant pour calculer les différences de niveau , on fera usage de l’une des deux formules suivantes : *

// = TT-/nr— ~ K — “ü, ou avec une précision suffisante // = A tang. % {D' - D)

cos. % (W - D + f ) r

dans lesquelles K exprime , comme précédemment , la distance linéaire des deux stations, U' et l) les deux distances au zénith , observées et réduites aux sommets ou aux pieds des signaux.

S l’angle formé au ceBtre de la terre , ou l’arc terrestre K réduit en minutes ou en secondes par la formule donnée page 386.

Soit par exemple , la différence de niveau Je deux points A et B à déterminer , sachant qu’au point A , D — 8q° 3a’ 4* A = 7“ 6o

que la distance du point A au poiut fl ou A = 37003 mètres et que la latitude approche de 45*,

Réduction des dislances au zénith , observées aux sommets des signaux.

Au point A.

log. A log. «in. D C. log. sio. l" e. log. K

log. d D dD +

Ad poini B.

log. lia. D*

c. log. lia. 1"