on
pour a"7 ou 0,9
log. contient
log. contient
s de
x de 5° 47' 3t"5
Le logarithme constant est donné dans les litres des pages de la Table XXVII.
Lorsqu’il s'agit de déterminer l'heure de Paris correspondante à une longitude ou h une ascension droite de la lune, ce n'est plus le logarithme constant 58, itx»8 , placé dans le titre de la Table XXVII , qui doit être employé , mais sou complément arithmétique 4-i583üa (ce dernier n’est autre que le logarithme de iau j.
Exempte i. On «appose que 7" o’ 58“ eu le changement en longitude de la lune en iak. On demande le tempe qu'elle mettra pour un changement de 4" 38’ 17".
7° o‘ 58 * : 4° 38* 17“ s: «h s /h Pour 4" 38* 17'.' log. 3*7435 16
7 o 58 c. a. log. 6.0747»
iab log. 4«i3836a
Exemple a. On trouve que 6° 5q' 7", a est le rhangement en .11 de la lune en iïk. On demande le tempe correspondant h an changement de a° 27' 5o",7.
,6° 5^' 7",» : a* 37' 5o",7 ia* : /*»
Pou» a° 37' 5o"7 log. 3.47*>836
6 59 7. a c. a. log. 6.076631 iaW log. 4.1 5836a
Tempe demande
log. 3.978600
7k 55“ 57», 6 Tempe demandé
Du cadre extérieur,
3° Soleil.
lof. U*.
OOOOOO
3oto3o.3aaai9
log. 3.706839 4* »3“ 58*t8
La colonne -verticale de ce cadre contient les nombres de degrés de minutes en minutes , depuis 0° jusqu’à 24° , et sur la droite de chaque colonne verticale , dix colonnes dont les titres sont les nombres de secondes o" , 6" , 12* , 18" .... 54“ la réunion
de ces nombres avec ceux de la colonue verticale , donne de 6* en 6* tous les nombres depuis o* jusqu'à 34* ; ou peut aussi les prendre pour des heures , minutes et secondes d’heure.
Ainsi le nombre ao‘ 8' 4a“ ou ao1* 8” 4a ‘ se trouve dans ce cadre (page 43), en cherchant dans la colonne verticale 20 >• 8' auquel 011 joiut le nombre 42" qui se trouve sur la ligue horizontale contenant les titres des dix colonnes de la page. Quant à son logarithme , il est placé sur la ligue contenant 30" 8' et dans la colonne qui porte en titre 42* < ce logarithme est 4-°5a3iy, sa caractéristique est la meme que celle du logarithme du nombre correspondant <2087.
La colonne des parties proportionnelles contient les quantités qu’il faut ajouter au logarithme d’uu nombre couleuu dans le pourtour du cadre , lorsque les secondes ne sont pas un multiple de G*.
Comme les petites Tables donnent les parties proportionnelles pour les dixièmes des différences des nombres successifs contenus dans les cadres , il faudra pour entrer dans ces petites Tables, convertir l’excédant des secoudcs sur un multiple de G, eu dixièmes, ce qui se fera en prenaut le sixième de cet excédant.
Explication et. usage
D'où il suil que si le nombre précédent avait contenu 45“ au lieu de 4a“ il resterait à ajouter au logarithme trouvé 4-,'8a3ic) la partie proportionnelle relative à 3" ; pour la trouver, preooiis le sixième de 3" et nous aurons o, 5; pour ces 5 dixièmes nous trouverons 18 pour la quantité à ajouter, ainsi le logarithme de no" 8' 45” est 4o8ü3i<j + 18 ou 4‘°8'j337. Réciproquement, lorsqu'un excédant de logarithme est cherché dans une des petites Tables de parties proportionnelles, les dixièmes trouvés doivent être multipliés par 6 pour avoir les secondes correspondantes.
Exemple i. Le changement diurne du soleil en longitude est de i° a* io",7 , on demande de combien il sera en i3h I41' 53*.
: i3k i4« 53» îî i° i* io"7 : x
Exemple a. Le changement diurne du soleH en ascension droite est de 4« a6*,64. On demande la partie proportionnelle pour 9^ 4* *7‘* \ / / /
»4k : 9k 4® >7' ’■ 4m af»»,G4 : x
Vour i3t> 14» 53» lop. 3.900304
1* 1' io"7 log. a. 786595
log. constant 5.84 1 638
x log. a. 528337 Changement demandé o* 33' 46",a
pour 9k 4* *7* l°8* 3.7358a6
o 4 a6.64 log. 1.647774
log. constant 5.84 >638
jr log. i.aa5a38 Part, proportionnelle demandée o1» î™ 4°*»7
Table XXVIII. De la différence ascensionnelle , pour trouver l'heure du lever
et du coucher d'un astre.
La différence ascensionnelle d’un astre , est la différence entre son ascension droite et son ascension oblique , ou l’arc de l’équateur compris entre le cercle de déclinaison et le point de l’équateur qui se lève ou se couche en meme temps que lui : sou calcul s’effectue an moyen de la proportion :
Le rayon est à la tangente de la latitude du lieu , comme la tangente de la déclinaison de l astre est au sinus de la différence ascensionnelle.
Ainsi au logarithme tangente de la latitude , ajoutez le logarithme tançente de la déclinaison , la somme, diminuée de 10, sera le logarithme sinus de la différence ascensionnelle. C’est ainsi que la Table XXVIII a été calculée; elle contient la différence ascensionnelle, exprimée eu temps, pour tous les degrés de déclinaison depuis o* jusqu à 3a “ , correspondait* à tous les degrés de latitude depuis o° jusqu'à G4“.
Lorsque l’astre dont il s’agit est le soleil , la différence ascensionnelle exprime l’intervalle de temps entre six heures du matiu cl l'heure du lever vrai , ou entre six heures du soir et l’heure du coucher vrai.
Pour les applications , voyez le Problème X.
Table XXIX. Des amplitudes.
Cette Table a été calculée au moyen de la proportion suivante : Le rayon est au cosinus de la latitude du lieu , connue le sinus de l'amplitude d'un astre à l instant de son lever ou de son coucher vrai , est au sinus de sa déclinaison ; elle conticut les amplitudes correspondantes aux déclinaisons depuis o° jusqu’à 29" et aux latitudes comprises entre o° et 65" inclusivement. Ces amplitudes sont toujours de même dcnoiuiuation que la déclinaison.
Exemple 1. La déclinaison du soleil étant de i3° 3o' Nord, et la latitude du lieu de a4° , 011 demande l’amplitude orlive correspondante.
Cherche* dans la ligne horixoutale supérieure la latitude 24", l’ayant trouvée f page 49)1 descendez verticalement jusqu’à la ligne commençant par la déclinaison i3° 3o' ; vous trouverez à la reurontre de ces deux ligues i4" 4J)1 pour l'amplitude ortive cherchée, qui sera Nord puisqu’elle doit être de même déiiommaliou que la déclinaison.
Exemple 1. Le soleil, à l'instant de son coucher vrai , avait de déclinaison i5° 5o' Sud dans un lieu dont la latitude était de jju ; ou demande sou amplitude occasc.
des Tables.
La latUtide «Italien et la déclinaison de l'astre n’étant point rontennes dans les deux argumens de la Table , nous opérerons de la manière suivante :
Pour 34" de latitude et i5“ 3o' de déclinaison la Table donne i8° 48'
a" de latitude la différ. est de 29'; pour 1“ elle sera donc o i4.5
3o' de déclinaison la différ. est de 37'; pour ao' elle sera de +0 24.7
Pour 35“ de latit. et i5* 5o' de déclinaison, l’amplitude sera donc de 19 27.2 Cette amplitude occase est Sud ou de même dénomination que la déclinaison.
Table XXX. De la quantité dont l'amplitude varie pour 100' de changement dans la hauteur de l'astre.
Eu représentant par A l’amp, d’un astre à l’instant de son lever ou de son coucher vrai. L la latitude du lieu.
- // de 100' ou d’abaissement de l’astre au dessous de l'horizon vrai, et par dA le changement d’amplitude correspondant à - H de îoo'
on trouvera
dA =
100' tang. L
cos. A
c'est-à-dire que le cosinus de l'amplitude ortive ou occase d'un astre est à la tangente de la latitude du lieu , comme 100' est au changement d'amplitude exprimé en minutes.
D’où il résulte que pour une latitude de 4<>° et pour une amplitude de même dénomination égale a 3o‘ ou aurait log. 100' 2.000000
log. tang. 4o“ 9.923814
c. a. log. cos. 3o* 0.062469
et dA de 96' ,89 1.986283
C’est de cette manière qne la Table XXX a été calculée.
Au moyen de cette Table on trouvera la correction à faire à l’amplitude vraie, pour obtenir l’amplitnde apparente; c’est-à-dire celle qui correspond à l’instant où le bord inférieur du soleil est à l’horizon visuel on apparent.
Pour obtenir l’abaissement de l’horizon visuel, faites une somme de la dépression de l’horizon et de la réfraction horizontale, diminuée de la parallaxe du soleil (33' 37”), à laquelle vous ajouterez le demi-diamètre s’il s’agit du bord supérieur, on dont vous retrancherez le demi-diamètre si c’est du bord inférieur; vous nniltipJirez la somme ou la différence par le nombre de la Table , correspondant à la latitude et à l’amplitude vraie, et le produit sur la droite duquel vous séparerez deux chiffres décimaux, vous donnera la correction demandée, qui, étant ajoutée ou retranchée de l’amplitude vraie, selon que la latitude et la déclinaison de l’astre sont de memes ou de différentes dénominations, donnera l’amplitude apparente cherchée.
Exemple. Quelle est l’amplitude apparente du soleil lorsque son bord inférieur est à l’horizon visuel , sachant que la déclinaison du soleil est de i5” 5o' Sud , la latitude du lieu de 35* Snd , l’élévation de l’œil de 24 pieds , et le demi-diamètre de l’astre de 16' 12".
On commencera par déterminer l’amplitude vraie au moyen de la Table XXIX; cette amplitude est de 19" 27V Sud.
Pour 35“ de latitude et 19° 27' d’amplitude , la Table XXX donne 74'.
Dépréssion pour a4 pied* -4- 4* $7")
Iléfrac. hor. — parallaxe «4» 33 3? > Somme algébrique aa1 ai" ou aa’
Demi- diamètre — 16 n )
Correction demandée 74’ X Mt^7 “ lC55 eu iG 33
Amplitude vraie >9 a7 ,a
Amplitude apparente *9 43 45
47a Explication et usage
Table XXXI. Angle horaire d’un astre et sa hauteur à l'instant faroràble pour déterminer l’heure.
La détermination de l'heure s'obtient, comme on sait, par la résolution d'un triangle sphérique ZSP , formé par le méridien du lieu, le vertical d'un astre et son cercle de déclinaison; les sommets de ses angle* sont donc situés au aénilh de l'observateur, au pôle élevé et au centre de l’astre, faut que la hauteur II n'est pas nulle et qu'elle est positive , nous observerons que ce triangle ne peut avoir qu'un angle obtus et que celui-là peut être l'un quelconque de ses angles ; si la distance polaire l) est plus grande que go% ou ce qui est de meme quand la déclinaison d est d'une dénomination contraire à celle de la latitude L, aucun des angles de ce triangle ne peut être droit ; si L) est égale à jjo", il peut avoir deux angles droits et ceux-là ne peuvent être que les angles Z et S; enfin , si l) est plus petite que ik>° , il 11e peut avoir qu'un angle droit , qui sera le plus grand de ses trois angles.
Cela posé, soit dll le mouvement en hauteur, correspondant à l'instant JP, Z l’angle azimuthal de l’astre , S son angle de variation que l'on nomme aussi parallaclique , on aura
dll = d P sin. Z cos. L dll = d P sin. S sin. D
desquelles on tire dP =
J li dH 1
sin. Z cos. L sin. S sin. U
L'instant le plus favorable pour déterminer l'heure , étant celui où le mouvement de l’astre en hauteur est le plus rapide, ou ce qui revient au meme , lorsque îa valeur de dP est la plus petite possible par rapport à dll ; les formules (1) et ta) font connaître que cet instant a lieu lorsque sin. Z ou sin. 0 est maximum , c'est-à-dire quand ratintulh ou l’angle de variation est de yo“.
1* Si la déclinaison et la latitude sont nulles, les angles Z et S seront droits constamment, et les formules douucnt
dH = dP, d'ailleurs on a cos. P = sin. II
• ,t •> Uni w 1.. v,i .
c’est-à-dire que le changement en hauteur est uniforme , ou en d'autres mots , que l’erreur sur l’angle horaire est égale à l’erreur sur la hauteur. m su,
2.” Si la déclinaison , de même dénomination que la latitude , est en même temps la plus petite; des deux angles Z et ,V il n’y aura qnc le premier qui pourra' être droit, et à cet instant le changement en hauteur sera le plus grand qui soit possible , la formule
du ;";.i
(1) donne alors
dll = dP cos. L et par conséquent dP =
cos. L
ces expressions apprennent d’abord que dll est plus petite que d P ou qu'à l'instant favorable , l’erreur sur l’angle horaire surpasse toujours l’erreur sur la hauteur ; de plus , que dP étant indépendante de la déclinaison, pour une latitude donnée, à une valeur de dll répoudra toujours une même erreur dP; et qu'etilin généralement, d’après la formule (1), pour uu aziinuth et une latitude donnes, pour une valeur dH répondra aussi une même erreur dP. • *'• l'oih 1
3.“ Si In déclinaison de même dénomination que la latitude , est la plus grande de ces deux quantités, l’angle S pourra être droit, et à cet iuslauL le mouvemeut en hauteur sera le plus rapide, la formule (aj donne pour ce cas 1 - • > ;
dll = dP sin. D d'où dP=~ 4r '
1 1.1 . ( 1 - v sin. V
ce qui fait voir qn é dit est plus petite que dP, et qu’à cet instant l'erreur sur l'qngle horaire surpasse aussi l’errenr sur la hauteur ; de plus, que JP étant indépeitdaule dé L 1. pour une déclinaison donnée, à une valeur de dll répondra une mrme érri'pr et
3u’cn générais d’après la formule (2), pour un angle de variation rt une dècüiiaisoji onnés , une même erreur dp correspondra à une valeur constante de dll. , ‘ "
4 ” Sr la déclinaison' est 'd’une dénomination contraire à la latitude , l’uih.ni^ i'auTn des deux angles Z et S ne peut être droit, mais l'instant favorable sera celui ou les
des Tables.
formules (i) et (a) ilonneront la plus grande valeur à dll, indiqué parla plus grande valeur de sm. // et de sin. S. Pour le déterminer , le triangle ZSP donne les équations
générales :
cos. Z —
cos. I) - sin. II sin. I.
cos. Il cos. L
„ sin. L - cos. I) sin. H ...
cos. S = ; y (4)
sm. L) cos. Il
ayant 1) plus grand qne rjo° , cos. I) sera négatif. Cela posé , dans la formule (3) cos. Z est donc négatif et par conséquent l’angle Z est plus grand que go° : cet angle aura un sinus d’autant plus grand que la valeur numérique de son cosinus sera petite , or la moindre
valeur numérique de cos. Z , correspond à celle de II = o qui donne cos Z = c,'s’ ;
cos. L.
d’où il résulte que l’instant favorable est celui du lever et du coucbcr de l’astre.
La formule (4) conduit an même résultat; en effet, les deux termes du numérateur sont positifs , ainsi la plus petite valeur de cos. S aura lieu quand H = o et devient
cos. S = ; et i’instaut favorable sera encore celui du lever ou du coucher,
sin. I)
Comme la plus grande partie des problèmes d’astronomie nautiques dépend des relations qui existent entre les parties du triangle ZSP, ni us allons ajouter quelques dévgioppemens au résumé des résultats précédons.
. sin. Il — ros. I) sin. L
Ce triangle donne aussi cos. F = : — y -. (5)
sm. U cos. L
Lorsque la déclinaison de l’astre est nulle , les formules (3j , (4) et (5) donnent
cos. Z = - tang. II lang. L (3*) ; cos. 5 = (4*) ; et cos. P = (5*)
d'où il résulte que l’angle Z est toujours plus grand que go0 , mais que les angles 5 et P sont aigus.
Quand la déclinaison est moindre que la latitude du lieu et de même dénomination ;
au premier vertical la formule (3) donne sin. II = — y = z (3**)
* sm. L sm. L
celte valeur étant substituée dans les formules (4 et 5), on obtient
cos. S = cot. D cot. II = tang. i cot. Il (4**) et cos. P = col. D cot. L = jan,’~ (5**)
tan^. L
l'angle Z est droit et les deux angles S et P sont aigus ; la formule (3**) fait connaître la hauteur de l’astre situé au premier vertical , en donnant la proportion : le sinus de la latitude est au sinus de la déclinaison , comme te rajon est au sinus de la hauteur; la
formule (5**) sert à déterminer l’angle horaire de l’astre , en donnant la proportion :
la tangente de la latitude est à la tangente de la déclinaison , comme le raj on est au cosinus de l’angle horaire.
Lorsque la déclinaison de l’astre est plus grande que la latitude et de même dénomination ; si le vertical de l’astre est perpendiculaire à son cercle de déclinaison , l’angle S est droit et la formule (4j donne
. sin. L sin. L
sm. II = y. = -. -j t-4 )
» cos. IJ sin. a
la substitution de celte valeur dans les formules (3 et 5) donnera
cos. Z - (3***) et cos. P = tang. L Lang. D = (5***)
tang. H tang. d
les deux angles Z cl P seront aigus ; de la formule (4***) on déduit uue pour avoir la hauteur de l’astre quand son vertical est perpendiculaire au cercle de déclinaison, on a la proportion : le sinus de la déclinaison est au sinus de la latitude , comme le ro y on est au sinus de la hauteur et que l’angle horaire correspondant sera donné par la proportion : la tangente de la déclinaison est A la tangente de la latitude , comme le ra/on est au cosinus de l’angle horaire,
Qo
^4 Explication et usage
La Table XXXI a été construite au moyen d’une partie des formules précédentes , pour les déclinaisons comprises entre o° et ai“ et pour toutes les latitudes qui ne surpassent pas 'o* ; son exactitude est suffisante pour faire connaître l’iustant favorable pour déterminer l’heure du lieu par la hauteur observée d’un astre , pour satisfaire aux cas qui demanderaient plus de précision , ou ceux dans lesquels les déclinaisons surpasseraient la limite de la Table , il faudra recourir aux formules données.
Exemple i. La latitude du lieu éunt de a8‘‘ Nord et la déclinaison du aoleil de 1a0 boréale ; on demande l'instant le plu» convenable pour observer le aoleil , afin d'en conclure l'heure et quelle aéra la hauteur vraie de cet aatre.
Exemple 2. Etanl par 6" de latitude Sud et la déclinaison du aoleil de aa° Sud , on demande l'instant favorable I l'observation de la hauteur aûn d'en conclure l'beure et quelle hauteur aura le soleil.
Pour xa° de déclin et aÈT de Ut. U Table donne
Pour aa° de déclinaisun et 6° de latitude
Pour angle horaire 4'1 26»
Pour hauteur a6° 17*
D'où il résulte que l'observation doit être faite, lorsque l'angle horaire du soleil sera de 4k 26», c'est-à-dire à 12* — 4k 26® = 7k 34“ du matin, ou à 4k 26"» du soir, ▲ l'un ou à l'autre de ces instant la hauteur sera de 26° 17*
La déclinaison étant Dlns petite que U latitude , les Lettres trouvées sont celles du passage du soleil au premier vertical.
La Table donne pour angle horaire 5* O'»
pour hauteur 16* ta'
Ainsi , b l'instant favorable pour l' observation de U hauteur, l'angle horaire sera de o* , c'est-à-dire quü sera ia* — 5‘ = 7h du malin, ou 5» du soir. A ces milans la hauteur du soleil sera de 16* la1.
Comme la déclinaison est plus grande que la latitude, les heures trouvées sont celles ou le vcrliral de l'astre est perpendiculaire à son cercle de déclinaisun.
Lorsque l'astre est une étoile, uoe planète , ou la lune ; ajoutez l'angle horaire donné par la Table XXXI à l'ascension droite de l'astre exprimée eu temps , la somme ( diminuée de a4 heures , si elle surpasse cette quantité ), vous donnera l'ascension droite du méridien, c’est-à-dire le temps sidéral du lieu.
Prenez dans la Connaissance des Temps , partie solaire , le temps sidéral pour le midi du jour proposé ( ce temps n’est autre aue l’ascension droite moyenne du soleil ) , que vous retrancherez de l’ascension droite du méridien (après avoir augmenté celle-ci de a4 heures , s’il est nécessaire ) , le reste sera le T. M. approché du lieu , suffisamment exact pour sc disposer aux observations des hauteurs.
On peut aussi , par le Problème Vil , déterminer l'heure vraie on moyenne dn passge de l’astre au méridien du lieu, puis eu retrancher l'angle horaire trouvé, si l’on veut observer l’astre à l’Est, ou lui ajouter cet angle si l'on veut l’observer à l’Ouest, alors on aura l'instant approché favorable aux observations de la liauteur.
Remarque. L’équation générale (5) , dans l’hypothèse de l'angle horaire P = 90° ou 6k , donne sia. H = cos. Ü sin. L — sin. d sin. L.
Cette formule réduit les équations (3 et 4) à
cos. Z —
tang. H tang. L
— tang. H cot. L et cos. S = tang. H tang. D = tang. Il cot d
d’où il résulte que pour celte valeur de P , z.° La hauteur ne sera positive qu'autaut que la déclinaison de l’astre sera de même dénomination que la latitude : a." Que la hauteur étant positive , les angles Z et S seront toujours plus petits que <jo“.
Nous terminerons par les formules qui expriment l’erreur sur l’angle horaire , provenant des erreurs sur la latitude et sur U distance polaire.
dL dL cos. Z . df) d [) cos. ,9
dP =■= r— s = — — s Ct dP = -
cos. L tang. Z sin. D sin. S
sin. U tang. 6'
cos. L sin. Z
Table XXXII. Changement en hauteur pendant la dernière minute qui précède, et la première minute qui suit le passage au méridien.
La différence a entre la hauteur méridienne du soleil et la hauteur du même astre, correspondante à un angle horaire P d’une minute de temps , est exprimée par la formule
a sin.* % P cos. d cas. L sin. i" * sin. {L - d)
dans laquelle d représente la dëcliuaisou de l'astre et L la latitude du lieu.
des Tables. 4?5
C’est sur cetle formule que U Table XX XII a été calculée , elle sert à trouver la latitude d'un lieu par plusieurs hauteurs du soleil prises à une petite distance du méridien.
Exempte I. Quelle est U différence entre U hauteur du iule il une minute avant ion passage au méridien, et sa hauteur méridienne , sarhant que la latitude est de J 4° 4<J' Nord et la déclinaison de l'astre de 4° 3/' i5" Bor.
Pour 4° de décl. et i4* de laliL la Table donne »»"o Part. prop. de i"a pour 37', 2 de déclin. + 0.7
Part. prop. de 1.1 pour 46' de lalit. — 0.8
Différence demandée somme algébrique 10.9
Exemple a. Quelle est U différence entre la hauteur du soleil h son passage au méridien et sa hauteur observée une minute après , sachant que la latitude est de 3W 4^' Sud et la déclinaison de 4° 6' Nord.
Pour 4^ de déclin, et 3° de lalit. la Table donne i6"o Part. prop. de a"o pour 6* de déclin. - o.l
Pari. prop. de 2.0 pour 4$' de lalit. — *-5
Différence cherchée, tomme algébrique >4-3
Table XXXIII. Multiplicateur pour l’usage de la Table précédente.
Les nombres contenus dans cette Table ne sont que les quarrés des nombres de minutes contenues dans son argument , clic sert , comme la Table précédente , à résoudre le Problème XXI.
Exemple 1. Quel est le multiplicateur correspondant h 7* a8* d'intervalle entre le passage du soleil au méri. dien et l'instant de sa hauteur observée.
Pour 7*» 28» la Table donne 55,8
Le nombre 55,8 est le qoarré de 7" a8* ou plus exactement de 7, 47
Exemple 2. On demande le multiplicateur correspondant à il* 54*, intervalle de temps écoulé entre une hauteur observée et le passage au méridien.
Pour il" 54* la Table donne Le nombre j4>,6 est quraré de iim54* ou pins exactement de 11,9
Table XXXIV. Du changement de hauteur des astres , pendant une minute de temps.
Cette Table sert 1 réduire les hauteurs du soleil , de la luné , d’une étoile ou d’une planète , observées avant ou après les distances lunaires « à celles qu on aurait obtenues si elles avaient été prises à l'instant de la distance moyenne observée.
Pour la construire, on s’est servi de la formule dll = i5* cos. L sin. Z dans laquelle dll exprime le changement en hauteur dans une miuuie de temps ou 13 minutes de degré, L représente la latitude du lieu et Z l’aiimuth de l’astre ou le complément de son amplitude.
Exempte l. Et.nl situé p.r 51** .5' <te latitude Nord . On a observé des hauteurs du soleil dont le moyenne <Uit de I»” 5o' lo"h 8k 4” l5* do mstin, on demande quelle doit être sa hanteur i 8k i3” 4o* . c'esl-à-dire 0» a4‘ plus tard . sachant que l'amplitude de l ettre ou de son vertical était de ay” 56*.
Exempte a. Elan! situé par 48” 38' de latitude Sud, on a observé des hauteurs de loue dont Ia moyenne était de 54“ s6* ta" » 8k 8"’ 36* , ou demande quelle doit être u hauteur h 8k »3» 49“ . sachant que sots amplitude était de ■jV‘ l8‘ et que cet astre aveit déjà passé au méridien.
Pour 270d'emp. et 52° de latit. U Table donne
Part. prop. de — 5" pour 56' d’amplit.
Part. prop. de — u" pour 25' de lalit.
Changement en hauteur dan* i®
Pour 9m on aura
Pour o i5*
Pour o 9
Pour Q 24 +
Hauteur observée
Hauteur demandée
Pour 73k d’amp, et 48" de lalit. la Table donne a' 56"
Part. prop. de — lo” pour i8’ d’amp lit.
Part. prop. de — 3 pour 38’ de latit.
Changement en hauteur dans 1*
Pour 5“ on aura
Pour o 12*
Pour o I
Pour 5 i3 après le passage —
Hauteur observée
Hauteur demandée
4 7& Explication et usage
La Table XXXIV peut servir à résoudre la question inverse, c'est-à-dire à déterminer l'errenr siir l'angle horaire provenant d'une erreur sur la hauteur.
Exemple ». Nom avons «u , page 164, qye l>rrenr Exemple a. F.tani situé par 37“ 5a' de latitude, on t »ur la hauteur liait de — io* 3",3 ; la lalilude du lieu déterminé l'heure du lieu par une hauteur du soleil, deg° 10' a5" ; l'asimulh de 84'’ 3»' 4?' » ce qui revient trop grande de 6' 08“ ; l'amplitude de cet astre liait
à 5° 37* i l" d amplitude ; on demande l'erreur sur de aaf* 17', on demande quelle doit cire l’erreur sus
Sangle horaire. i l'angle horaire. \ , -
Pour b° d'ampl. et et rpde lafcla Table donne »4* '43"5o Pohf aa® d'ampl. et 37° de lai. laTable donne il* 6”oo
Tari. prop. de — a" et 37',» d'impHI. o.{)( Part. prop. de — 5 pour 17' d'amplil. — t.4*
Tart, prop. de — 4.3 pour id',4 4e,La|it. ;• 0.78 Tari. prop. de — 8 pour 5a’ de lalil. t- 6.93
Changement en hauteur dam 1“ 14 43. 81 Changement en hauteur dam im 10 57.65
Le quatrième de la propo^on ,, t I Nous torons la prpportion
â4* 43”. 81 : »o* 3”, 3 u 1» «urs- 4o»,9 lo’ 57”,65 : 6-* a A" i< im îf* a 35*, 4
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Tables XXXV et XXXVI. Equation des hauteurs correspondantes.
Ou appelle hauteurs (orrespondautss , deux hauteurs égales du meme astre, observée» de l'un et de l'autre coté du méridien , pour eu conclure l'iusUut précis du passage de cet astre au méridiea.
Soit PZI1 le méridien du lieu (Jig. 5o), P le pôle élevé , Z le zénith, H(J l'horizon , SnS' le parallèle que décrit l’astre dans son mouvement diurne; on a par observation la distance de l’astre au zénith ZS = ZS' ; la distance polaire n'ayant pas varié, on a PS = PS' ; PZ étant commun aux deux triangles PZS , l'ZS'i ils auront leurs trois cotés égaux et par conséquent leurs trois angles égaux. Ainsi quand on a deux distances égales au zénith, on a deux angles horaires égaux. . <\
Le méridien PZ coupe également l’angle polaire S PS' et le* arcs de l’équateur et des parallèles ; d'où il suit qu’eu supposant a la montre un mouvement uniforme , la demii.omme des heures marquées aux instaus des hauteurs égales , donnera Plieuse de la montre à l'instant du passage ue l’acre au méridien.
Supposons maiutenant que la distance polaire ait varié dans l’intervalle , en désignant par P l'angle horaire du matin , et par P ± dP l'angle horaire du soir, lorsque l'astre est descendu à la même hauteur. La demj somme p de ces deux angles horaires sera
P=% (P+P± dP') = t± %4P donc P=p+\dP.
Pour déterminer d nous observerons que dans le ras des hauteurs correspondantes la distance polaire 1)' et l'angle horaire 1 " du soir , diffèrent très-peu de la distance polaire U et de l’angle horaire P du malin , et que si la différence entre I) el // exprimée par dl), tend à augmenter ou à diminuer l’angle horaire du soir, celle différence sera toujours l’un des côtés de l’angle droit d’uu triangle rectangle S' S" m ou S' a S'", qui peut être regardé comme rectiligne , dont l’autre cote sera l’arc du parallèle à Péquitcur , et Plivpothénusc Parc d’almicantarat correspondant a d P. ,
Ainsi lorsque l'astre s'approche du pôle élevé, c'est-à-dire que 1)' = I) - dl) , l’on aura sans avoir égard à l’angle horaire du soir plus grand ou plus petit que celui du matin , S1 m : kl :: sin. PS' ci, ou S'/n : dP :: sin ,'l) : i (i) mais dans le triangle S'mS" Pon a
mS" : S' m :: i ; col. SuS'm ou col. PS' Z = cot S' , ou dl) ; S' m :: I ; cot. S' (a) en multipliant les proportions (i) cl (a) par ordre, on aura
,W : dP :: sin. I) : cot. S'
«l'oii on tire , en observant que d l) est négative
- dP= - -4^- col. S
MH. L)
•jhî u Vil autre que l’une des formules que nous avons donnée page 4/4.
des Tables.
•Si Von avait supposé que l’astre se soit éloigné du pôle élevé , c'est-à-dire que D' = Ü + dü
on aurait trouvé d P = -7 — j- col. S
on a donc généralement dP =
dl)
cot. S
La correction dP aura le signe de d I) quand l’angle S sera aigu, ce qui arrivera toutes les fois que la distance polaire sera plus grande une le complément de la latitude du lieu , l'angle P ou l’angle Z est égal ou plus grand que 90".
La correction aura un signe contraire à celui de dl), quand l’angle S' sera obtus', cette circonstance aura lieu , lorsque la distance polaire sera plus petite que le complément de la hauteur et celui de la latitude.
Enfin , la correction dP sera nulle quel que soit le signe de <//), quand l'angle S' sera droit , ce qui peut arriver soit quand la distance polaire et le complément de la latitude sont tous deux de 90" , ou Lieu quand la distance polaire sera plus petite que le complément de la latitude , et que l’instant de la hauteur sera celui qui est le plus favorable pour déterminer l’heure. \ • ; / / > i ;
Pour effectuer la correction dP, il ne nous reste plus qu’à substituer , dans son expression , an lieu de eut. S' sa valeur en fonction de quantités connues , telles que L et P ( P n’est connue que par une approximation suffisante ) ; pour y parvenir , abaissons du sommet de l’angle Z l’arc de grand cercle Zx perpendiculaire sur le coté PS' , alors on aura dans le triaugle PZY
cot. S1 cot. P :: sin. S'x : sin. Px :: sin. {PS1 - Px ) i sin. Px
:: sin. ( U-Px ) : sin. Px :: sin. U coÿ. Par -cos. D sin. Px : sin. Px . : : siu. IJ cot. Px - cos. 1) : 1
d’où cot. S' = cot. P ( sin. 1) cot. Px - cos. D )
= cot. P sin. ü cot. Px — cot. P cos. D (J)
mais dans le triangle PZx l’on a
