Nombre K

Exemple 10. La somme algébrique est de 7**786 , la distance apparente d de 5y" $a'* on demande y. L’arguraenl se prend dans l'intérieur de la Table.

Pour 5g° 54’ *rg. sup. et f, 786 arg. inter. / 9' 000

Exemple 12. La somme algébrique est de 40*1896 e| la distance de 96“ 46* , on demande y .

Pour 9G0 46* arg. sup. et 4°' 71® inter. y 41' 000 0.178 0.180

Nous allons donner succinctement les démonstrations des dix méthodes de réduction des distances lunaires , comprises dans les pages ait). . . . 22<j. La première fera connaître les emplois des quantités L ; G; II; etc., calculées par la Table L.

Les effets de la réfraction et de la parallaxe ne se produisant que dans les plans verticaux des deux astres , il eu résultera que le triangle Zsl , iig. 5|, dont les sommets de scs angles sont placés au zénith Z du lieu et aux centres apparents s et / des deux astres, aura I angle Z de commun avec le triangle ZSL dont les sommets de scs angles sont situés au même zénith Z et aux centres vrais S et L des mêmes astres.

Pour la lune ,

Représentons sa hauteur apparente III par a

sa hauteur vraie IIL par a + c = a '

Pour le second astre ,

sa hauteur apparente Os par b

sa hauteur vraie OS par b — c' = b'

la somme des haut, appar. a + b par II leur différence a - b par h

la somme des haut, vraies a' + b' par II' leur différence a' - b' par h'

la distance apparente si par d

vraie SL par d +jr = x et la distance Ls par d'

"Première méthode , page 319. Le triangle LS s donnera

r<M. ( d +/) = CO». 1 lin. r’ «in. <t + coi. c’ co». d —cci. i lia. c’ lio. tf + roi. d - c «in.» •/, c' co«. d

Pour éliminer l’angle s, on aura recours au triangle ZsL dans lequel son angle a est le supplément du premier , il donne

fin. o* — fin. h co». tf

CQS. S = — 11 ; — :

co*. b fin. tf

La substitution donnera

fin. o* — fin. b eo«. tf

COI. (d + r) 7^4

col. d — • 7 un. a

cul. b

b ' 3 ui .

tin. c * + co*. tf — a iis.1 '/• ** tos‘ ^

(»in. c' co*. b

tin. b — 2 *Jn.» '/, c'^ cos. d '

4go Explication et usage

En opérant d’ime manière analogue sur le triangle Lis, on trouvera

cok d — co*. d — sin. i+ | un. a 5 *in.» */- c J co*. d

eu*, a \ co*. a * J

Retranchant (i) de (2) , en remarquant que

l° co», d - co». (d+y) = a lia. ,/,y Cm..(d + »/.jr) = »in. / «in. ( rf + »/,j ) a“ co». d' = co». d — ( co». d — co». d' ) = co». d — «in. ( </— </' ) »io. '/,{.d + d')

Nous obtiendrons pour reste

(»<■• t . . . , cil», à . \

c~o ° + 1 '/*C " cô».'î‘m' * + 3

lîn. c' . *irt. c .

jin. r rin. ( d 4- '/»/ £ 1 n. o - — - — tm. & +

^ ' ' roi o ru*, a

CO*, d

lin. (<*-</’) tin. ’/.td+d') ( »in. A-s «in • »/,r'l V co». b ' )

qui , pour abréger , tout en donnant y , 'pourra s’écrire

. E— G + (/f + C— /)) co*. d E — G 4- f co», d

. un. r = . — -j -7- ■+■ X= +x

*in. ( d + '/,jr ) un. ( d + ■/» j J

E — G •¥ JC »om. »tsSbr.

__________ jf — F ^

«in. ( d -*• ■/,/ ) »in. < d + yîjr)

C’est sur cette formule rigoureuse, très -facile à mettre en Tables, que repose la première méthode, et dans laquelle on a négligé le terme X, parce que le maximum de sa valeur ne surpasse pas une seconde.

Pour s’en convaincre il suffit de remarquer

x° que dan* le triangle J.lt , un a d — d' <£c a° que dan* le triangle LS s, d' 4^d + y+c' on d + d’ <ît/ + / + c‘ et pet conséquent */* (d*f d' ) < d + •/*/ + •/, e'

3° que D < t'

ainsi le terme A n’atteindra jamais

»in. c «in. ( f d+ •/. r ) + c" 1 X i* .... ,

. 1 . — — — ^ — - = »»n. 50' ( i + col. ( d+ ■ ./ ) sm. î’)*i'

un. { d + ’/./ )

le maximum de c étant de 5G' et celui de c' de io' ( voj\ Tab. XL1I et XLU1 ) ; de plus, la plus grande valeur de cot(d-<- ‘À/l correspond à la plus petite des distances lunaires, qui est d'environ ao°; nous aurous doue , après la substitution des valeurs numériques , 0.01G28 ( 1 + a, 74748 X o, ooi45 ) X t' = o",g8.

11 est donc démontré que la suppression du terme A abrège la méthode sans altérer l’exactitude de son résultat.

Avant de passer aux démonstrations des méthodes suivantes , nous allons donner quelques formules qui serviront d’introduction.

Du triangle ZSL on tire co*. x — co*. Z cos. a' cot, b' + sin. a ' sin. b' (3)

Pour éliminée cû*. Z , nous ob»erreron» que le triangle Z si donne

CO*. 2 = 3 co*.* */, Z — 1 :

co*. d — *in. n sin. b co». ( a ■+• b ) + i

co t. a cas. b

cot. a cot. b

, sin. a *tn. b - cos. d co*. f a — b ) — co*. d

et co*. Z = t — a *>»•* V* 2 = * 7 = » —

co*. a cos. b co*. a co*. b

Substituant successivement ces valeurs de cos. Z dans Téquation (3) , nous aurons

(co*. ( a 4- b ) 4* co*. d \

— — i I co*. o' co». b ' + »m. o' *in. b' •

tôt, a co*. b J

. ^ co*. a' co*. b'

= ( CO*, (a + b) + co». d ) — — ; Co*. a co». b' •+■ *tn. a' *in. S'

eus. a co*. t

co*. a ' co*. b '

= ( co*. H 4* edi. d) -

co*. a co*. b

co*. ( a' b' )

co*. f a — b) — co*. d'

co*. a cot,

- co*. d\

co*. a' co*. b' -b sin. a* rin. b'

« n , , coa. o' cos. b'

sz co*. a co*. o — ( co*. (a — b ) — co*. d ) — - — - - -t- rio. a' sin. b'

« co*. (o' — b') — (cO*.A - co*. d )

co». a cot. b eus. c' co*. b 1 eu*, a co*. b

DES Tabi.es.

(Dorénavant la fraction COSl ° r0:*- ^ dont |e |0.gri|),me sc nomme différences lotos. a cos. b

garithmiques , sera représentée par </./.)

Seconde méthode , page 222. La formule (4) donne

1 — co*. x = a »in.* '/, x = 1 -f- cos. ( **' + A' ) — ( co». // + coi. d) d t,

— a eos.» »/, //• — a co». Il + d) co*. */, ( // — «/ ) d. L

divisant par a et représentant le dernier terme du second membre par L

un.* x = co» * IP - 1= co».* •/. U ( - )

' \ cd*.» •/, //y

=s co*.» •/* /T ( 1 — s:o.* .i ) = co*.* •/> //' co».* A

el enfin »io. •/, X = co», »/, If cos. A (7)

Troisième méthode , page 2î4* Faisons dans* Tune des formules (G) sin.* A^L

on aura »in.» '/, x = cos.* '/, AT - «in * A = co*. ( '/f If + A ) çu». ( '/* If - J) d’où sia. '/* je s y/ co». ( •/, IT + A ) co». ( '/, U' - A)

Quatrième méthode , page 225. La formule (5) donne

t + co». x = 2 co*.» */B xsi*f co«. ( a’ — 5* ) — ( co». A — co». d) A L

zz a co«.» */, À' — a siu. '/■ ( A + «/) sin. */» ( ^ ” «0 à. t. on co*.* x = co».* '/* A' — *in.* A = co*. ( »/a A' + A ) co*. ('/,A'-vO

donc co». '(l x = / co». ( «/, h' + A ) cou ( »/# A* — ,f )

Cinquième méthode , page 226. J.a formule (7) donne

*'i». ^ , Vl —Vi>

sin. '/, x = co*. »/, /T ■

scot.*/. /T

Ung. .f ~ /- eu*. */a Zi* Uwg. la«£. ai

Sixième méthode , page 2aG. La formule (5) donne

i — co*. x = a *in.* '/,x = i — - co*. ( a' — A* ) + ( cos. A — cos. d) d. l.

= a sin.3 •/* A’ -4- a sin. •/»( A + rf) *in. */, (A - d) A /.

ta »in.* '/« x = »in.a '/.A' + Z = *in.» '/« U' ( i •¥ ■;■■■ — —1 =»i«.* '/* A' (a — t

\ un: </,!, )

mais gcncrslemcni on x sin.* =

fanp.»

1 + Ung.*

et par conséquent j -f- laog.’

tm p , \

*;nj» /

... I»ng.» >i

donc »in.* •/. x = «n.* »/a A’ — ; — - — — -

d'où siu. */, x = —7

Septième méthode , page *27. La démonstration de la seconde mélhodc a donné

s — co*. x = sin. ». x = a co*.» ÿa If — a co*. '/a ( // -f- d ) coa. '/,(//— «Z j <A 4 = *usia. v# /T — aV,

Huitième méthode , page 228. La formule (8) peut s’écrire

sin. v. x — sin. r. A' + A’.

Neuvième méthode , page 228. De la formule (4) ou tire

j -f- eos. x = susin. r. x = 1 — co*. (a* ■+■ A' ) *- ( co*. AT -f- co*. d ) — ( co*. II 4-xo*. */) ( I = sin. ». H' ( susin. r. // -f- susin v. <Z — a ) — ( *n»in. ». II -4- *u*in. v. d — 2 j A'.

Dixième méthode , page 229. La formule (5) donne

x — co*. x = sin. ». x = 1 — cos. ( a' — A' ) *f ( ooi. A — co*. d ) — ( co». A — co*. J) ( 1 — A )

= »in. v. A' + ( »u»in. ». A + sin. ». d — a ) — ( susin. ». A -4- sin. ». d — 2) F.

Nous avons donué dans la remarque 2 de la page , une méthode approximative , mais suffisamment exacte de détcrniiuer la distance vraie dans les cas ou les sommes des quantités apparentes difïcrcu'. peu de 180’ , les principes sur lesquels repose cette méthode , soûl les suivauts :

4ga Explication et usage

Représentons par y et par A les différences entre les sommes des quantités Traies et apparentes à 180“ ; c’est-à-dire

Soient jr 4- a' 4- b' 4- y s: i8o° on aur* co*. jf = — cos. ( a' 4» b' 4- y ) d+a+b+A— 180° roi. d = — coi. ( a + i +./)

ainsi en», x 4- co». { a* 4- b' = co». ( a* 4- b' ) — cos. (a* 4- b" + y) = y sin. ( a' 4- b' 4 *fmy )

«t cos. d 4- eus. [ a + b ) = co*. ( a 4- £ ) — co». (0 + 4 + ^) = ^ sin. ( <* 4 -b 4* '/a ^ )

Substituant les valeurs de ces sommes de cosinus dans la formule (4) , eu observant que Ji y peut être remplace par % A , ou obtiendra

fin. (a + 4 •*■’/, A ) fin. B

un. [o +o 4- A ) sin. 6

Remarque sur la première méthode qui sert à trouver la distance vraie. Comme il est d’une nécessité absolue d’exercer les éléves à de nombreux calculs d’astronomie nautique , et par conséquent à celui de la longitude par les distances lunaires , nous pensons que parmi les diverses méthodes qui pensent être employées a la préparation deq exemples , celle qui dérive de la première l’abrège beaucoup en donnant la réduction y' à faire à la distance vraie , pour obtenir la distance apparente , par la formule suivante : ,

, ■ G-£+(D + C-//)cos.rf'

r ~ sin. («*'+54/')

dans laquelle la distance vraie est exprimée par d'.

Règle i. Pour l’heure T. M. de Paris correspondante à l’heure du lieu , détermine* la distance vraie des deux astres et la parallaxe horizontale de la lune , dont vous exprimerez les secondes en décimales de minute.

a. Calculez sur la règle donnée , page 17b , les hauteurs vraies de la lune et du second astre , ainsi que la hauteur apparente du dernier.

3. Ecrivez tes unes au-dessous des autres, la hauteur vraie du second astre, la parallaxe horizontale de la lune , sa hauteur vraie , la hauteur apparente du second astre , et la distance vraie des deux astres. Placez à la suite de la parallaxe horizontale., la différence entre la hauteur vraie de la lune et sa hauteur apparente.

4- Prenez dans la Table XLIV le nombre 11 ou A, et dans la Table XLVII le nombre IJ , toujours positif, correspondants à la hauteur vraie du second astre. Avec la hauteur vraie de la lune , prenez dans la Table XL1V le nombre A, que vous retrancherez de la parallaxe horizontale, cela vous donnera un reste b, avec lequel et cette même hauteur vous trouverez dans la Table L le nombre soustractif II. Prenez dans la Table XLVI le nombre C, toujours positif, correspondant à la différence des deux hauteurs de lune, que vous placerez au-dessous du nombre H; la somme algébrique des nombres IJ, C et //, vous donnera le nombre soustractif I.

5. Prenez dans la Table L un nombre E toujours soustractif, correspondant à la hauteur vraie de la lune , argument supérieur , et au nombre de la Table XL1V relatif au second astre.

Prenez dans cette même Table L le nombre G, toujours additif, correspondant à la hauteur apparente du second astre , argument supérieur , et au reste F.

Prenez toujours dans cette Table , avec la distance vraie , argument inférieur , et la somme I, le nombre K correspondant, qui sera soustractif lorsque la distance vraie sera plus petite que go" , et qui sera positif lorsque celle dislauce surpassera go*.

Déterminez la somme algébrique des nombres E , G et K , avec laquelle, prise dans l’intérieur de la Table L , et la distance vraie , argument supérieur , vous trouverez dans la première colonne la réduction y' de celle distance , qui sera de meme signe que la somme employée.

Pour plus d’exactitude , cherchez de nouveau la quantité y' , avec la distance vraie augmentée ou diminuée de la moitié de sa valeur déjà trouvée.

Celle nouvelle correction y' , ajoutée ou retranchée de la distance vraie, vous donnera la distance apparente demandée.

des Tables.

Exemple i.

Hauteur traie Q

XLIV B

XL VII l) ■+■ 0.864

Parallaxe borix. (£

ou

Hauteur «raie (£

L arg. sup. // — 18.789

Parai. — rcfract.

XLYI C -f o.44o

somme algébrique / — 17.486

Hauteur traie ((

0 et

L or g. sup. E

Hauteur appar. Q

L sup. 0

Distance vraie

L in/. À’

Demi y' —

somme algcùr.

— 11.786 et distance traie sup.br* — a3.3oo

24 et

arg, sup. — 23.45a

Distance ipptr.

Exemple 2.

Hauteur vraie Jt

XLIY A •

XLYII D + 0.970

Parallaxe borix. ([

Go

ou

Hauteur vraie (|

Go

L arg. sup, // — 5i.8ia

Parai. — refract.

XLYI 6*-*- 0.121

somme algébrique / —'50.721

Hauteur vraie (J

0 et

L arg. sup. K

Hauteur appa. *

L sup. C

Dût «raie ou d'

L in/. K

Demi y' 4-

somme aJgcbr.

L arg. sup. y' + 25.117

0 et

L arg. sup. ■+• 26.804

Distance appar.

De quelques autres usages de la Table L.

Comme cette Table donne les valeurs de p de la forme p — m sin. n — m cos. ( no” — n )

et par suite celles de m = — = ;

siu. n cos. ( <jo" — n)

elle peut tire emploie dans l’arpcnt.ige , à trouver deux côtés d'un triangle rectiligne rectangle , dans lequel les données sont : l’un des trois côtés et l'un des angles aigus.

I” Soient /IISC uu triangle rectiligne rectangle; A l’angle droit, l’angle II de Sa0 4a' et rhvpotlicnuse n de 124.S mètres ; trouver les deux côtés b et c. Le second angle aigu C sera de 37“ i&'

Calcul du côte b — a sin. B Argument supérieur 5an 4*' o = 1248 colonne \ droite

Tour 1200 954.600

Pour ia48 b de 992.782

Calcul du côte c — a sin. C Argument supérieur 37° 18' a = 1248 colonne à droite Tour iaoo 727.300

Pour 1248 c de 756.287

2” Soient l’angle B de 33° 7' et le côté b de 4°7 métrés , ou l’angle C de 50* 53' et le coté c de 624 mètres.

Ca.rol de a =

siu. B

Argument supérieur 33°7* b — 4°7 inter de U Tald.

Pour 382.5 700

Pour 4<>7 -o a de

oo ealcu! de a = — — sin. C

Argument supérieur 5fi,% 53* e = 6a4 interralle de la TaLle.

Pour 586.3 700

Pour ôaj.o a de 743

Explication et usage

Le premier Problème de navigation , qui consiste à déterminer le chemin fuit sur la ligne N. et S. , ainsi que celui sur la ligne E. et ü. , connaissant l’angle de route et le chemin parcouru , donnant lieu aux cas précédents , peut se résoudre an moyen de la Table.

L'angle de route se prend au haut dr la page pour trouver le chemin Est ou Ouest , au bas de la page , pour avoir le chemin ÎSord ou Sud.

Proposons-nous de trouver le chemin N. et le chemin O. correspondants h y4-r> milles faits au N. O. % N. i" 3o' O. C’est-à-dire , que la direction de la roule fait avec la ligne N. et S. un angle de 35" i5'.

Chemin O. Chenun N,

Argument supérieur 35° a 5* Pour 900 5 19.400

Argument inferieur 35° i5‘ Pour 900 735.000

Pour 945 545.37a O uesl. Pour g45 771 .749 Nord.

Celle Table donne immédiatement le nombre de milles nautiques ronlenus dans un degré de longitude , sur chaque parallèle à l’équateur de 3' eu 3' de latitude ; elle remplace donc avantageusement la Table XL1V ; tous ces nombres remplissent la dernière ligne de chaque page et correspondent aux latitudes à prendre dans l’argument inférieur.

Quel est le nombre de milles nautiques contenus dans le degré de longitude , sur le parallèle situé par 49° a4* de latitude ?

Pour 49° -i' argument inférieur , on trouve 3y™ c>46.

Le Problème inverse , connaissant le nombre de milles nautiques , parcourus sur un parallèle dont la latitude est connue, trouver le changement correspondant eu longitude, peut être facilement résolu.

Cherchex la latitude daus l’argument inférieur , puis dans la colonne correspondante prenez les milles parcourus , vous trouverez sur la meme ligne et dans la première colonne à gauche , le changement demande.

Quel est le changement en longitude correspondant à 58"’, 45 courus à l’E. sur le parallèle situé par 54" 5i' de latitude ?

Colonne 54° 5 & * argument inférieur *

Milles 58. 45

Pour 34. 543 on a pour changement 6o‘ 00

Premier reste a3. 907

Pour a3. 604 4**oo

Second reste o. 3o3

Pour o. 3o4 o.53

Changement demandé 101. 53

La parallaxe horizontale de la lune est de 58' 25" ou 58' ,417 , et sa hauteur de 46" 4*’ i on demande la parallaxe de hauteur.

Formule. Parallaxe de hmteur = paraît. Iiorix. cos. II.

Cberrhez les degrés de la hauteur au bas de la page, puis avec la parallaxe horizontale, prise dans la colonne argument , vous trouverez la quantité cherchée.

Pour 46° 4a* et 58* ooo U Table, donne 39' 777 Pour 0.410 o.aSi