LIVRE CINQUIÈME
DE LA IHESimE DES SOLIDES.
PROBLÈME I
Mesurer un Prisme ou un Cylindre.
On multipliera la base par la hauteur, le produit sera la solidité du prisme ou du cylindre. Soient b la base, a la hauteur et la solidité, on aura
s =. ab,
et cette formule sera encore vraie, quelle que soit l’inclinaison mutuelle des plans des deux bases, pourvu que par a on entende la portion de l’axe du cylindre comprise entre les deux plans, et par b l’aire de la section faite perpendiculairement aux arêtes.
PROBLÈME II
Mesurer une Pyramide ou un Cône.
On multipliera la base par le tiers de la hauteur, le produit sera la solidité cherchée. Ainsi, en désignant la base par 6, la hauteur par a et la solidité par s, on aura
J = ^ ab.
PROBLÈME III
Mesurer un Tronc de Pyramide ou de Cône.
A. la somme des deux bases parallèles, on ajoutera une base moyenne proportionnelle entre les deux premières , et le tiers du produit du résultat par la hauteur du tronc de pyramide ou de cône en sera la solidité. Soient B la base inférieure , h la base supérieure , et a la hauteur du tronc ; on aura pour la solidité cherchée
PROBLÈME IV
Trouver la Solidité d'une Sphère.
La solidité d’une sphère s’obtiendra en multipliant sa surface par le tiers du rayon. Soient r ' le rayon de la sphère, c la circonférence d’un de ses grands cercles, ^ sa surface, le rapport de la circonférence au diamètre Ï=^=ff|= 3 ,i 4 i 59 a 653 6 , la solidité de la sphère sera
PROBLÈME V
Mesurer la solidité d’un Secteur de sphère.
On multipliera la surface du secteur par le tiers du rayon de la sphère, le produit sera la solidité cherchée.
Soient R le rayon de la sphère , r celui du cercle qui sert de base au secteur, c=2'nrla circonférence de ce cercle , la solidité du secteur sera
§»Rs(i —y/i— )r=|,rR5(i
PROBLÈME VI
Mesurer la solidité d’un Segment de sphère.
On multipliera la surfece du segment par le tiers du rayon de la sphère, et on retranchera de ce produit la solidité du cône qui a pour base celle du segment et pour sommet le centre de la sphère ; la différence de ces deux solidités sera la solidité cherchée.
^ient R le rayon de la sphère, r celui de la base
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POUR LES ARPENTEURS. to3
du segment et a sa hauteur, on aura pour l’expression de sa solidité
PROBLÈME VIL
Mesurer une Pyramide au moyen de ses arêtes.
Soit ABCD la pyramide proposée ; en posant
AB = b‘ BC = /,
AC = c , CD = g ,
AD = d,. BD =ï k,
on aura pour solidité de la pyramide,
) ' + (c’ + rf* + /* + A* — 6» — g‘)
__ A«c»/» — &*ri*A* — c’dV — Pe*k*.
G)R0LLIURE I.
Si l’on avait AB=AC, DB=DC, cette expression de la solidité se réduirait à
io4 ou à
en nommant A i’aîre du triangle ABD = ADC.
G>kollaibe U.
Si l’on avait AB = AC =± DB = DC , la solidité serait
COROLLi.IRE III.
Si l’on avait
AB SS AC = AD, BC = BD = CD, la solidité serait
CoROLUaRE IV.
Enfin , si toutes les arêtes étaient égales , la solidité serait seulement
rî(AB)V2. ,
Scolie.
On peut se servir des formules précédentes
POUR LES ARPENTEURS. io5
pour avoir promptement la solidité de certains polyèdres à faces triangulaires. Supposons, par exemple, qu’autour de AD comme autour d’un axe, on place des pyramides toutes semblables à . la pyramide ABCD qui a les conditions du corollaire I ; on aura sur-le-champ la solidité de ce polyèdre en multipliant la formule du corollaire I par le nombre des pyramides.
PROBLÈME VIII
Trouver V expression de la solidité d’une Pyramide au moyen des trois arêtes et des trois angles plans qui forment un de ses angles solides.
SOLOTIOK (l).
Soit ABCD la pyramide donnée, et faisons 9*-
AB = b.
BAC = j9,
AC = c,
BAD — ÿ/
AD s= <f,
CAD = r.
(i) On peut Toir les de'tails de cette solution et de celle du problème précédent , dans les notes que M. Legendre a placées à la suite de ses Éléments de Géométrie.
la solidilé cherchée sera
5 bcd\/{i — cos*^— cos’ÿ— cos’r+i cos^cosycosr)
= {bcd\/ [cos (r— />)— cosy][co83’— co8(r+^)]
= j*c<^V'sinS8in(S — />)sin(S— j)sin(S — r),
en représentant par S la demi-somme ^-±-i-±T.
CoROLLAIHE.
Si p=sqz=zr,la solidité sera
g bcd \/(i — 3 cos* P -f. a cos^p)
= g bcd ^/(I — cosp) (cosp — cos 3 y>)
= 3 bcd v/sin —
PROBLÈME IX
Mesurer la solidité d'un corps qui a deux bases opposées ABCD^ abcd parallèles, dont tous les angles sont saillans et dont les quatre faces latérales ASïîâ , BCcb, CDdc, DAad sont planes et placées d'une manière quelconque.
Fio. 99. 1 . On mesurera dans la base deux angles op-
posés B et D qui seront respectivement égaux aux
angles h et on mesurera aussi tous les côtés des deux bases et la hauteur du corps^ c’est-àdire , la distance des deux bases parallèles , et en l’appelant P, on aura pour la solidité cherchée
I P sin ABC [AB(BC -f- i bc) + ab {bc + i BC)]
-f ^ P sin ADC [CD (D A -f ^ da) + cd {da i DA)] .
Scolie I.
Si l’on conçoit que la diagonale qui passe par les points a et c se meuve en s’appuyant sur les droites a A et cC, et en restant toujours dans un plan parallèle à celui des bases jusqu’à ce qu’elle soit arrivée dans la position AC, elle divisera le solide en deux parties ABCabc, ADCadc qui auront pour mesure de leur solidité:
La première ,
^ P sin ABC [AB (BC -f i 6 c) 4- ab (bc i BC)] , et la seconde,
' P sin ADC [CD (D A + ^ da) -{- cd (da -f- \ DA)] .
Si les droites Aa, Ce, ne sont pas dans un même plan, la surface décrite par le mouvement de la diagonale ac ne pourra pas être contenue dans un plan, et sera du genre de celles qu’on appelle ç/ies. Cette solution nous donne donc le moyen de
io8 PROBLÈMES
mesurer la solidité d’une espèce de pyramide triangulaire tronquée qui a deux bases ABC, abc parallèles, deux faces planes AB6a, CB&c, et une troisième &ce ACca plane ou gauche, mais telle que les plans parallèles aux deux bases la coupent toujours suivant une ligne droite : la solidité de cette espèce de pyramide a pour expression la première des deux formules précédentes.
Scolie IL
Si deux angles solides tels que a e\. h coïncident, et par conséquent si les deux faces AB^a, dcha deviennent des triangles , il suffira pour avoir l’expression du solide de faire dans l’expression générale ab = o, ce qui la réduira à
^P6mÀBC.4B(BC + i6c).
Scolie III.
Si les trois angles a, 6, c se réunissent, auquel cas toutes les faces du solide ABCabc deviennent des triangles et le solide une pyramide triangulaire ayant la ligne P pour hauteur et le triangle ABC pour base , il faudra , dans l’expression générale trouvée plus haut , faire
ab = 0, bc = O,
ce qui donnera , pour l’expression du solide dans ce cas particulier,
g PsinABC.ÀB.BD,
ou, comme l’a déjà enseigné le problème II,
B étant égal à
g BC. AB.sin ABC,
et désignant l’aire du triangle ABC.
