PROBLÈME GÉNÉRAL

Exprimer immédiatement la solidité d'un corps quelconque qui a deux hases parallèles , et toutes les faces environnantes planes et placées d'une manière quelconque j à l'exception d'une seule qui est gauche , mais qui peut toujours être coupée suivant une ligne droite par les plans menés parallèlement aux bases.

soitJTiorr.

On trouvera par la polygonométrie plane l’expression de l’aire des bases au moyën des côtés et des angles, en n’y faisant entrer ni le côté qui se trouve sur la &ce gauche ni les deux angles qui lui sont adjacens.

A la somme de ces bases, on ajoutera la somme des autres bases planes, en formant chacune d’elles des deux premières, dans l’expression desquelles on substituera dans chaque produit de deux côtés, au lieu du deuxième côté pris dans la même base, la moitié du côté analogue pris dans l’autre base.

On multipliera enfin la somme de toutes ces bases par le tiers de la hauteur du corps, le produit sera l’expression du volume cherché.

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Scolie I.

Si toutes les faces latérales étaient planes, on pourrait rendre le calcul plus simple, en concevant le corps partagé en deux parties par le mouvement d’une diagonale qui divisant les bases parallèles en deux polygones d’un même nombre de côtés, ou de deux nombres de côtés qui ne différeraient entre eux que d’une unité, glisserait le long des deux arêtes qui la rencontrent en restant continuellement dans un plan parallèle aux bases ; on aurait alors deux corps tels que celui que l’on considère dans le problème précédent ; on pourrait donc exprimer séparément leurs volumes, et la somme de ces volumes partiels fournirait pour le volume cherché une expression plus simple que si le corps n’eût pas été ainsi divisé. Nous avons donné plus haut pour les polygones plans une règle sembable.

Scolie IL

Ou peut encore étendre ce problème à un polyèdre quelconque. Pour y parvenir :

On supposera d’abord le polyèdre placé sur une de scs faces comme base.

Par les sommets de tous les angles solides , on mènera des plans parallèles à cette base.

Par là, le polyèdre sera divisé en d’autres polyèdres dont chacun satisfera aux conditions du dernier problème général. Mesurant donc séparément la solidité de chacun d’eux et feisant leur somme, on aura la solidité d’un polyèdre d’un nombre quelconque de faces toutes planes, mais d’une figure quelconque.