II
So MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Faisant disparaître les dénominateurs et galant le dernier terme au produit des racines changé de signe , il vient
Ç» (B - A) {C - A) = - (A - HO (A - HO (A - H3). Nous trouverions de même ,
>,'(C-B)(A-B)=~(B-H.)(B-HO(B~H,), i;^(A-C)(B-C)=~(C-H0(C-HO(C~H,).
Ainsi , les équations sont résolues. On voit qu'il existe huit points où les trois moments d'inertie principaux ont les valeurs données. Ces huit points appartiennent tous à un même système de trois surfaces ] ils sont deux à deux aux extrémités d'un même diamètre, et pour chacun de ces couples de points , les axes principaux d'inertie sont parallèles.
J. Biset f Journal de VÉéole Poljrt,^ XVP cahier, p. 4^5 181 1.
5. Étant donnés les axes et les moments d* inertie principaux relatifs au centre de grai^itéy déterminer le lieu des points oii deux des moments d'inertie principaux ont une même valeur.
Conservons la notation du problème précédent, et supposons toujours A < B < C. Il nous faut trouver la relation qui existe entre 1 9 v? , (^ lorsque l'équation en H ,
(I) !!^.Jîl-4.?L.^,
a deux racines égales.
Quand deux racines diifférentes de A , B , C sont égales, l'une d'elles appartient à l'équation dérivée
(H — A)« "*~ (H — BY "*" (H — Cy ~ °*
DVIUÀMIQUË. 5l
Or cette dernière équation n'a que des racines imaginaires ; donc, s*il est des racines doubles , elles ne sont autres que A , B ou C.
Pour reconnaître dans quels cas ces quantités sont effectivement des racines doubles, il convient de faire disparaître les dénominateurs de Téquation (i) avant de prendre sa dérivée. Alors on arrive sans peine aux résultats suivants :
La valeur H = C est racine double quand on a
(2) Ç = o et
La valeur H = B est racine double quand on a
(3) v, = o et ^ ^ — -
La valeur H = A ne peut jamais être racine double.
Par conséquent, l'ellipse et Thyperbole représentées parles équations (a) et (3) contiennent tous les points où deux des moments d'inertie principaux ont une même valeur.
J. Bl28£T, ibîd»
6. Déterminer tous les points oii les axes principaux sont parallèles à ceux qui se coupent en un point donné.
Soient O le point donné, OX', OY', OU les axes principaux qui se coupent à ce point , GX , GY, GZ des axes parallèles menés par le centre de gravité , et x, , j^i , z^ les coordonnées du point O relativement aux derniers axes.
On a , par hypothèse ,
OU bien, en transportant les axes au centre de gravité,
yzdM -h M^,(z, = o, (A) / I zxrfM -h Mz, 47, = o,
xfdM -h Mj7, Xi = 0.
Les intégrales qui figurent dans ces équations (A) conservent la même valeur, lorsqu'on substitue au point donné O un nouveau point où les axes principaux d'inertie soient parallèles. Par conséquent, nous obtiendrons le lieu cherché en résolvant les équations (A) par rapport à ^1 5 j^i , ^1 , et regardant les intégrales comme des constantes.
S^il n'est aucune des intégrales qui ^it nulle , les équations (A) nous donneront deux systèmes de valeurs de a:i ,j^i , Zi égales et de signes contraires. Ainsi, il n'est en général que deux points où les axes principaux soient parallèles. La droite qui unit ces deux points est divisée en deux parties égales par le centre de gravité.
Admettons maintenant que l'une des intégrales soit
nulle; ce sera par exemple l'intégrale i yzdM., Alors
nous aurons
z, = 0, ou Xt = p;
et, par conséquent, Tune des deux autres intégrales sera nulle.
Soient
z, =r G et fzxdM =: o. *
Dans ce cas , le point donné O se trouve sur Tun des plans principaux d'inertie relatifs au centre de gravité 5 l'un des axes principaux d'inertie relatifs au point donné, OZ', est parallèle à l'un des axes principaux d'inertie re-
lalifs au cenlre de gravité^ et le lieu cherché est Thyperbole équilatère représentée par Féquation
Supposons enfin que les trois intégrales soient nulles. Dans ce cas , deux des coordonnées Xj , j^i , z^ sont nulles; c'est-à-dire que le lieu cherché est l'un quelconque des trois axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité.
GuiBE&T,. fourn. de r Ecole Poljt,, XXV* cahier, p. 1 18.
Corollaire. — Le résultat obtenu dans le cas d'une intégrale nulle , comparé à celui du problème 4, nous conduit à ce théorème de géométrie : Sur une série d'ellipses ou d'hyperboles homofocales ^ le lieu des points de contact des tangentes parallèles à une direction donnée est une hyperbole équilatère qui passe aux foyers communs.
7. Étant donnés un coips et un point choisis à volonté^ déterminer^ paimi toutes les lignes qui passent à ce point ^ celles qui sont un axe principal d inertie du corps relatii^ement à l'un de leurs points.
Soient P le point donné; GÇ, Grï, G^ les axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité; $1 , yj^ , ^, les coordonnées du point P par rapport à ces axes; X, fz, v les cosinus des angles qu'une droite menée par le point P forme avec ces axes ; O le point de cette droite par rapport auquel elle est un axe principal d'inertie ; r la distance PO; OX', OY', OZ'des axes parallèles à ceux des Ç, y?, ^ ; et conservons pour le reste la notation du problème 4.
Les cosinus X, fx, v doivent (P^obL 4.) vérifier les équations
a^l ^ff^ ^e'-, h'^^d'', ^f\ __ c'y + e'I -f- r^ >
et
Or on a pour un point quelconque (xf^y^ z!)^ (Ç, >3, Ç) , z' = Ç — (Ç, + rv);
d'où
«' = A + (S, -f- a)% ^' = B 4- (». 4- r^)\ c' = C-h(Ç. + rv)% d'' == (>,, + r^) (Ç, -H rv), i?' = (Ç, -4- rv) (|, -+- r^), /' = (5,-f-r^)(«ï..-+-rf*). '
Substituant ces valeurs dans les équations (A), et éliminant r, ce qui est facile parce que les termes en /'• se détruisent , il vient
pÇ. (B - C) -h v>>i. (C — A) 4- VÇ, ( A - B) = o.
Cette relation nous montre que toutes les droites concourantes qui sont un axe principal d'inertie pour un de leurs points, forment le cône du second degré représenté par Téquation
[(>i-«.)(«-ç.)ç.(B-cn -h«-Ç.)(?-«.)i».{C-A) | = o, -+-(Ç-5i)(«--'ï.)Ç.(A-B)J ou
Ampàrs, Mém, de l^Acad. des Se» de Paris ^ t, V; 1821-1822.
Corollaire. — De là et du résultat du problème 4 nous concluons cette proposition de géométrie : Le lieu de toutes les normales que Von peut abaisser d^un point donné sur trois séries de surfaces homojbcales est un cône du second degrés
8. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que Varéte d'un tétraèdre homogène soit un axe principal d'inertie du corps relatii^ement à Vun de ses
points^ est que cette at^te soit dans un plan perpendiculaiœ à Varêle opposée.
9. Nous proposerons de vérifier quelques-uns des résultats suivants :
n s'agit de corps homogènes , et Ton nomme k le rayon de gy ration.
Pour une droite AB autour d'un axe qui passe à r extrémité A et fait un angle P ai^ec la droite y la longueur de la droite étant /, on a
Pour une droite autour d^un axe perpendiculaire et non situé dans le rnéme plan, sa étant la longueur de la droite et b la perpendiculaire abaissée du milieu de la droite sur l'axe ,
Pour un arc de cercle autour d'un axe perpendiculaire à son plan et passant à son centre de grai^ité, r étant le rayon, c la corde et a la longueur de Tare,
Pour un arc de cercle autour d'un axe perpendiculaire à son plan et passant au milieu de Varc,
Pour la surface d'une ellipse autour du grand axe , aa étant le grand axe et ai le petit axe,
Autour du petit axe, on aurait k} = j«
56 MÉCAHIQUE RATIONNELLE.
Pour la surf ace d^un triangle isocèle autour de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base y la base étant a b ,
Pour la surface d'un triangle ABC autour d'un axe perpendiculaire passant au sommet A , les câtés opposés aux sommets A, B, C étant respectivement a^b^ c^
Pour la surface d'un triangle autour d'un cLxe perpendiculaire passant au centre de gra\^ité ,
Pour la surface d'aune ellipse autour d^un axe perpendiculaire passant au centre, ^a^ :tb étant les axes de la courbe,
Pour la surface d^un parallélogramme autour d'un axe perpendiculaire passant au centre, aa , ab étant les côtés ,
Pour la surface d*un polygone régulier autour d'un axe passant au centre de grai^ité, n étant le nombre des côtés et c la longueur de chacun d^eux ,
. 2 -f- COS
i' = fL ^.
