CHAPITRE VL
MOMENTS d'inertie.
On nomme moment cTinertie d'un corps par rapport à un axe, la somme des produits que Ton obtient en multipliant la masse de chaque molécule par le carré de sa distance à Taxe.
Si Ton désigne par M la masse du corps entier, et par A une ligne convenablement déterminée, on pourra mettre le moment d'inertie sous la forme MA* 5 alors la ligne A est ce que Ton nomme le rayon de gy ration du corps autour de l'axe considéré.
Euler s'est servi le premier du terme moment d* inertie; voici comment il s'en explique (*) : « Ratio hujus deno- » minationis ex similitudine motus progressivi est de- » sumpta : quemadmodum enîm in motu progressivo, si a » vi secundumsuam direction em sollicitante acceleretur, » est incrementum celeritatis ut vis sollicilans divisa per )) massam seu ineitiam ^ ita in motu gyratorio , quonîam » loco ipsius vis sollicitantis ejus momentum considerari
n oportet, eam expressionem I r'JM, quaeloco inertiœ
» in calculum ingreditur, momentum inertiœ appellemus, » ut incrementum celeritatis angularis simili modo » proportionale fiât momento vis sollicitantis diviso per » momentum inertiae. »
Soient A et V les rayons degyration d'un corps autour de deux droites parallèles L et L', a la distance de ces droites , — ^ • , ,
( •) Theoria motus corporum solidonniy cap. V, p. 1C7.
DYJVAMIQUE. 37
x! la distance d'une molécule d^\ à un plan mené par la droite M perpendiculairement au plan des deux droites L et L', cette distance étant comptée positive du côté de la droite L. On a généralement la relation
IVI(«'~h^'») — 9. « ix'c
mais quand la droite L' passe au centre de gravité, le dernier terme disparait et Ton a simplement
Par un point pris à volonté dans l'intérieur d'un corps , traçons des droites en nombre quelconque, et sur chacune de ces droites portons une longueur égale à la valeur inverse de la racine carrée du moment d'inertie relatif à cet axe. Les extrémités de ces longueurs seronjt toutes sur la surface d'un même ellipsoïde. Si nous prenons l'origine des coordonnées à l'origine dçs droites, et si nous posons
d = ^^JyzdM, e^^jzxdM, /==^JxxdM,
les intégrales s' étendant au corps entier , l'équation de Tellipsoïde sera
(V) {b--^c)x^-^(c'^a)y^'h(a-^b)z^'-2dfz--2ezx^2fxx= — '
Cet ellipsoïde a été nommé par M. Poinsot ellipsoïde central du corps par rapport au point pris pour origine des droites.
Considérons l'un quelconque des axes coordonnés , l'axe des x par exemple. Si l'on a e = o et /= o, on dit que l'axe des x est un axe principal d'inertie relativement au .point pris pour origine des coordonnées , et lé moment d'inertie relatif à cet axe se nommô moment
d'inertie principal. En tout point du corps passent trois axes principaux d'inertie; ces axes sont dirigés suivant les axes de l'ellipsoïde central relatif à ce point, et, par conséquent, ils se coupent à angle droit.
i . Troui^er le rayon de gyration d'une lentille biconi^exe homogène autour d'une parallèle à Vaxe de ré- {solution. On suppose la lentille terminée par deux surfaces sphériques égales .
Il nous suffit de considérer une seule des deux lentilles plan-convexes dont l'ensemble forme la lentille proposée.
Soient
r le rayon de la surface sphérique ^
a la flèche de la lentille plan-convexe ;
h le rayon de la base ;
M la masse *,
p la densité 5
k elV les rayons de gyration autour de l'axe propose et autour de l'axe de révolution;
c la distance de ces deux axes.
Commençons par déterminer le rayon A'*.
Pour cela, considérons d'abord une trancbe infiniment mince et perpendiculaire à l'axe. Si nous nommons y le rayon de cette tranche et x sa distance au sommet de la lentille , le moment d'inertie de la tranche autour de l'axe de révolution sera
De là il résulte
I (ir^a^ ira' a^\
Or
par conséquent,
et, puisqueM = g7r|0 (a*-|-3aft*), on a
I a* -^SaH^ -4- lob* '~Tô a'-h^b~'
Maintenant il est aisé de calculer ft*, car
EuLER , Theoria motus corporum solidorum , cap. VI, prob. 4^.
2. Étant donnés une pyramide homogène à base quelconque et trois axes rectangulaires A OX, OY, OZ passant au sommet y concevons que Von ait joint le centre de grai^ité G de \ Paire de la base à un B sommet A du contour polygonal de cette aire et au milieu B d'un côté adjacent. Si Von nomme m la masse de la pyramide triangulaire qui aurait pour hase le triangle GAB et pour sommet le sommet O de la pyramide donnée^ p, l, a les
4o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
longueurs OG, GB, BA ^ Pxi h» ^x teurs projections sur le plan YOZ5 et que l'on indique par le signe 2 une somme relative à toutes les pyramides triangulaires telles que la pyramide OGAB^ dont l'ensemble constitue la pyramide donnée, le moment d'inertie de ce dernier corps autour de l'axe OX sera représenté par la formule
// s'agit de démontrer ce résultat.
Disons de suite que le moment d'inertie d'un polyèdre homogène de forme quelconque^ autour d'une droite quelconque OX, sera représenté par la même formule y poun^u que l'on étende le signe sommatoire 2 à toutes les pyramides ayant pour sommet un même point de la droite OX et pour bases les différentes faces du polyèdre y et que dans cette somme on regarde comme négatives les masses des pyramides qui, relatii^ement à leur base, sont situées du côté opposé au polyèdrc.
Considérons la pyramide triangulaire 0GB A.
Soient
Ço la perpendiculaire abaissée du sommet O sur la base 5
yIq la perpendiculaire abaissée du point G sur le côté AB5
R un point quelconque du solide ;
H le pied de la droite OK sur le plan de la base ;
I l'intersection de la droite GH avec le côté AB;
Ç la distance BI ^
y) la projection de GH sur la droite n^ ^
Ç la projection de OK sur la droite ^o»
Les valeurs assignées aux quantités Ç, yj, ^ définissent la position du point R.
DYJVÀMIQUE. 4^
Prenons pour élément de la base GAB le petit quadrilatère compris entre la droite GI, une droite infiniment voisine menée par le point G , une parallèle à AB menée par le point H et une parallèle infiniment voisine.
La surface de cet élément sera —d^.dm. Concevons que
cet élément soit la base d'une petite pyramide ayant son sommet au point O, et prenons pour élément de masjse dm la masse du petit solide découpé dans cette pyramide par un plan mené au point K parallèlement à la base, et par un plan parallèle infiniment voisin. En supposant la densité égale à l'unité, nous aurons
Ceci posé, soient x ^ a/, a/' les abscisses des points K, H, I, et pi, /tî «1 les projections des distances p^ l^ a sur Taxe des x.
Nous aurons
et, par conséquent,
D'après cette valeur, et en observant que pour embrasser toute la pyramide triangulaire il faut faire varier les
rapports -? — j — de zéro à l'unité, il vient
42 MÉCANIQUE RATIOMKELLE.
La somme de toutes les équations semblables relatives à toutes les pyramides triangulaires qui composent la pyramide donnée, fera connaître l'expression de l'intégrale
x^dM étendue à tous les éléments de ce dernier corps.
Les trois remarques suivantes permettent de simplifier le résultat.
i*^. Le produit aiJoÇo est égal à six fois la masse de la pyramide triangulaire , on peut donc le remplacer par 6 m.
2®. Pour les deux pyramides triangulaires qui se joignent au milieu B d'une même arête , la quahtité représentée par Ui est égale et de signe contraire , tandis que les autres quantités qui figurent dans la formule sont égales et de même signe ] donc les termes qui contiennent Oi à la première puissance disparaissent dans la somme relative à toutes les pyramides.
3°. Le produit -^ a>3o $o Pi h se décompose en deux facteurs -^'èoPi et -«^îo-^'o dont le premier reste con-
stant quand on passe d'une pyramide triangulaire à une autre, et dont le second représente le moment statique de Taire GAB par rapport à un plan mené par le centre de gravité G perpendiculairement à l'axe OX. Or ces moments, relatifs aux différents triangles qui forment la base de la pyramide donnée, ont une somme nulle; donc le terme ano^oPtli disparaît dans la somme. Il reste finalement
On aura de même, en nommant /^s, /î, ^t et Pi^,h^ ^s
les projections de /?, /, a sur les axes OY et OZ,
La somme de ces deux dernières équations donne précisément la formule qu'il s'agissait de démontrer.
Comme application, nous calculerons le moment d'inertie d'un pofyèdre régulier homogène, autour d'un axe OX passant par le centre de gravité de ce corps , et , par suite, autour d'un axe quelconque.
Il est aisé de reconnaître à Tinspection des polyèdres réguliers, par la considération de Tellipsoïde central, que les moments d'inertie de ces corps autour des axes qui passent au centre de gravité sont tous égaux. Par suite, le moment d'inertie autour de Taxe OX est égal au tiers de la somme des moments d'inertie autour des trois axes OX , OY, OZ ; c'est-à-dire que l'on a
De plus, les quantités p, l^ a sont les mêmes pour toutes les pyramides triangulaires. La masse m de chacune de
ces pyramides est ^ pla. Si l'on nomme [x le nombre des
arêtes sur chaque face du polyèdre , et v le nombre des arêtes qui se réunissent à chaque sommet , le nombre des pyramides triangulaires , quadruple du nombre total des arêtes, sera
8fAV
2(fX + v)— pv
De tout cela résulte la valeur suivante du moment d'inertie 5
f^y>^,^)dyi = ^-^-^ (p' + ll^ + ia]^
L'uDC des longueurs p^l^ a étant donnée, les deux autres s'en déduisent par les relations
(/?'+ P) sin'- = [p^^P-^a-") cos'- (•) ,
ls\n--= a CCS-'
HoppE, Jrchw der Mathematik und Physik, von J. A. Grunert; Greiswald, i855, t. XXIV, p. 204.
3. Démontrer la proposition salivante : Si Von cherche r ellipsoïde central d'un corps pour chacun des points d^une même droite , et que Von mène le plan conjugué •de cette droite dans chacun des ellipsoïdes , tous ces plans se couperont suiv^ant une même ligne.
Prenons la droite considérée pour axe des a:, et représentons par Xi^ yi^ Zj les coordonnées du centre de gravité du corps. L'équation (V) représentera rellipsoïde central relatif au point pris pour origine 5 et pour en déduire l'équation de l'ellipsoïde relatif au point x = d^\\ suffi a de changer
X en X — d'^
aen-~ / [x — df dM. = a -^ à^-^ 2cr,(î;
e en e — <3i J; .
fenf—y^ô.
( * ) On obtient cette relation en considérant le trièdre dont le sommet est au centre de gravité du polyèdre et qui a pour arêtes OA, OB, OG. En effet, les angles dièdres correspondants à ces arêtes sont respectivement
-)-)-; il en resuite que Ion a
cos - — sm - cos { AOB ) ;
et y par conséquent,
Mais il ne sera point nécessaire de former cette seconde équation ; car les substitutions indiquées, faites dans l'équation du plan conjugué de Taxe des x relativement au premier ellipsoïde, donneront l'équation du plan conjugué du même axe relativement au second ellipsoïde.
D'après cela , l'équation du premier plan conjugué est
(i) [b -^ c)x —fy ~ ez = G,
et celle du second ,
L'intersection de ces deux plans est représentée par l'équation (i) jointe à l'équation
Or ces deux équations sont indépendantes de â] par conséquent, Tintersection appartient au plan conjugué de l'axe des x dans l'ellipsoïde central relatif à l'un quelconque des points de cet axe.
Supposons que e et /* soient nuls pour une origine convenablement choisie, c'est-à-dire que la droite donnée soit un axe principal d'inertie relativement à l'un de ses points pris pour origine.
Alors, d'après l'équation (i), l'intersection commune des plans conjugués sera dans le plan des j-z \ d'après l'équation {2) , elle sera située dans un plan perpendiculaire au plan déterminé par l'axe des x et par le centre de gravité, et sa distance à l'axe des x sera le quotient du carré du rayon de gyration autour de cet axe par la distance du centre de gravité au même axe. Il résulte de là et d'une proposition bien connue que, si le corps est libre de tourner autour de la droite considérée, et quune force instantanée vienne aie frapper suivant l'intersection commune des plans conjugués, l'axe néproui^era aucune percussion.
46 MÉCAlilQLE RATIONNELLE.
4. Troui^er pour un corps quelconque le lieu des points O tels que, les axes principaux d'inertie relatifs à ce point étant pris pour axes coordonnés, F une des quantités
a=lf.^dM, b^^fy^dU, c=^J,.rfM
ait une valeur assignée d'aisance H.
IjCS seules données de la question sont les ^valeurs A, B , C que prennent les quantités a^h^ c lorsque Forigine O coïncide a^ec le centre de grauité du corps.
Prenons d'abord, autour du point O, des axes coordonnés rectangulaires de directions quelconques , OX', OY', OZ', et posons
'''=s/^'''«' *'=M.A"''"' ^'=kf'"''''
Représentons encore par h l'une des quantités a^b^ c^ en sorte que M(fl + J-Hc — h) soit l'un des moments d'inertie principaux relatifs à l'origine , et nommons A , fjL, V les cosinus des angles que fait Taxe de ce moment avec nos axes coordonnés.
L'équation de l'ellipsoïde central sera
— 7.e'z'x' — ifx'f = —
M' ou , ce qui revient au même ,
Si Ton applique cette équation au point de la surface
qui est situé sur Taxe principal de direction (X, yi, v), eu observant que l'inverse du carré de la distance de ce point à Torigine est M(a'+i'+</ — h) ou M(a-hb-^c — h), il vient
«'>.• -h ^'fx' -H c'v'-l- nd'yLv + 2e' vX -h 2/'>fA = h.
De plus, puisque Taxe principal d'inertie est normal à la surface de rellipsoïde, les quantités X, fx, v, A doivent vérifier les relations
d'où l'on tire par l'éliminalion des cosinus ,
A'~(«'-h^' + c')/<«-|-(fl'^'-f-^''c' + c'a'— r/'' — e''— /")/< — (fl'^V— «'^"— ô'e'' — cy4-2^e'/')=o• Telle est Téquation qui a pour racines les trois valeurs
de h correspondantes à l'origine O.
Supposons maintenant que les axes OX', OY', OZ'
soient parallèles aux axes principaux d'inertie relatifs au
centre de gravité, et transportons l'origine à ce centre.
Nous aurons , en nommant g , y? , ^ les coordonnées du
point O relativement à la nouvelle origine ,
et, par la substitution de ces valeurs , la dernière équation deviendra
Quand on y donne à h la valeur particulière H, l'équation résultante
représente le lieu chercbé.
Ce lieu est une surface du second ordre , qui a pour
48 méca:<ique hationkelle.
centre le centre Je gravité du corps , et pour axes les axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité. Soit
Pour que la surface soit réelle , il faut que H soit supérieur à A. Suivant que H est eompris entre A et B , B et C , ou que H est supérieur a C -, la surface est un hyperboloïde à deux nappes , un hyperboloide à une nappe , ou un ellipsoïde.
Les surfaces en nombre infini que l'on obtient en faisant varier H sont toutes homo focales. Il en résulte ,* comme l'on sait, que deux surfaces de même famille ne se rencontrent pas et que deux surfaces de familles différentes se coupent à angle droit, suivant leurs lignes de courbure.
Les axes principaux d'inertie relatifs à un point quelconque O , sont dirigés suii^ant les intersections des trois surfaces homofocales qui passent à ce point.
En effet, les cosinus des angles que la normale à l'une des surfaces fait avec les axes coordonnés, sont proportionnels aux quantités
Or, si dans les équations (i) qui définissent les directions des axes principaux, on remplace h par H, X, fz, v par les fractions précédentes, et a, b\ c\ d' ^ e',/' par les valeurs (2) , ces équations sont identiquement vérifiées, eu égard à ce que le point (^, yj? C) se trouve sur la surface représentée par l'équation (3).
En chaque point O, les quantités désignées par a, i, c, rangées par ordre de grandeur, se trouvent comprises respectivement entre A et B, B et C, C et 00 . D'après cela, les moments d'inertie principaux rangés par ordre de grandeur , «-f-J, a-f-c, è-h-c, étant comparés aux
moments d'inertie principaux relatifs au centre de grarité et rangés dans le même ordre, A-f-B, A-hC, B + C, on a les inégalités suivantes :
A4-B<;«-4-6<B-4-C, fl-f-c>AH-C, £'+<:>B-4-C.
Il nous est facile de tromper les points où les trois moments d'inertie ont trois ^valeurs données.
Soient Hi , Ht , Hs les valeurs de a , 2^ , c qui résultent des trois moments donnés , et ^ , r? , (^ les coordonnées des points dont il s'agit.
Pour obtenir ces coordonnées , il nous faut résoudre les trois équations simultanées
Ht — A Hi — B Hi — C
H2 — A Hj — B Hj — C
Hj — A H3 — B H3 — C
Nous y parviendrons facilement comme il suit (*) : Dans l'équation (3) qui comprend chacune des équations proposées, remplaçons H par A — 11 , et considérons alors $ 5 >î 7 Ç comme des quantités connues , et u comme l'inconnue. Sous ce point de vue , l'équation sera du troisième degré, et ses racines seront A — Hj, A — Ht, A — H,.
Cette équation pourra s'écrire
u^u-hB-^A a-hC — A
(*) Le procédé de résolution que nous donnons ici est dû à M. Ghélini; il s'applique à un nombre quelconque d*équations de même forme.
