FORGES VIVES

L*expression de force vwe a été introduite en mécanique par Leibnitz , qui s^en est servi pour la première fois dans son Mémoire : a Spécimen dynamicum pro admirandis naturœ legibus circa corporum vires, et mutuas actiones detegendis , et ad suas causas revocandis [Acta eruditorum, i y go ) . » Il avait en vue de distinguer la force d'un corps en mouvement de celle d'un corps immobile qui presse un obstacle. Cette dernière force, qui n'est en effet qu'une tendance au mouvement , fut nommée par opposition ybrce morte.

La mesure de la force vive, nommée aussi à cette époque force motrice ou force moui^ante, fut le sujet d'un débat mémorable dans les annales des sciences entre Leibnitz et les disciples de Descartes.

Leibnitz considérait la force vive comme une puissance inhérente au corps en mouvement, par laquelle il est capable de vaincre une certaine somme de résistance. Pour trouver la mesure de la force vive , il regardait tout corps animé d'un mouvement comme ayant reçu ce mouvement par l'action de la gravité, en tombant d'une hauteur convenable. Or, disait-il, si un corps de masse m est animé d'une vitesse i^, il est capable de remonter à une hauteur

égale à — 9 en surmontant la résistance produite par la

DYNAMIQUE. Sp

gravîlé. Si le corps étaît animé d^une vitesse double, triple, etc., il serait capable de remonter à une hauteur quatre fois, neuf fois, etc., égale à la précédente; doue il serait capable de vaincre une résistance quatre fois , neuf fois y etc. , égale. De là il suit que la force vive est proportionnelle au carré de la vitesse v; elle est d* ailleurs évidemment proportionnelle à la masse m, comme la résistance de la gravité-, donc la vraie mesure de la force vive est le produit de la masse par le carré de la vitesse ou mi^'.

Les disciples de Descartes répondaient que si le corps possède utie vitesse double, il peut à la vérité remonter à une hauteur quadruple 5 mais cela dans uti temps double. Or produire un effet quadruple dans un temps double , c'est avoir une puissance double et non une puissance quadruple •, donc la puissance ou la force vive d'un corps en mouvement est simplement proportionnelle à la vitesse, et sa mesure naturelle est le produit de la masse parla vitesse ou mi^. Et d'ailleurs, ajoutaient-ils, si Ton ne faisait pas entrer la durée de l'effwt dans l'estimation de la force , il s'ensuivrait qu'un enfant aurait la même force qu'un homme^ puisqu'un enfant peut faire en deux jours le travail qu'un homme fait en un seul jour.

Du côté de Leibnitz se rangèrent Jean et Daniel Bernoulli, Wolff, s'Gravesande , Camus, Muschenbroeck , Papin, Hermann, etc. Les principaux adversaires furent Maclaurin, Clarke, Stirling, Désaguliers, Robjns et Mairan. Malgré leurs défini tioiis opposées, les deux partis arrivaient aux mêmes résultats dans la plupart des problèmes.

Cette discussion dura trente années. Enfin d'Alembert fil voir, dans la préface de sa Dynamique j que la dispute portait principalement sur les termes, sans avoir aucun rapport nécessaire avec les principes fondamentaux de la mécanique. Depuis cette époque, on est convenu de

6o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

nommer quantité de mous^ement d'un corps le produit de sa masse par sa vitesse, d* appeler /orcc vi\>e le produit de la masse par le carré de la vitesse, et de conserver au Tsxox. force motrice la signification que lui attribue Newton dans les Principes ^ savoir le produit de la masse du corps par Taccélération que la force communiquerait au corps s'il était libre. U accélération dont il s'agit ici est la dérivée par rapport au temps de la vitesse estimée dans le sens de la force 5 on la nomme aussi ybrce accélératrice. Ces dénominations sont indépendantes de toute théorie sur la nature intime des forces^ elles doivent être considérées comme des conventions , faites pour simplifier le langage.

Le principe des forces vives consiste dans l'existence d'une intégrale commune à tous les problèmes de dynamique ou les liaisons s'expriment par des équations indépendantes du temps. Si l'on représente par X, Y, Z les forces motrices qui sollicitent la molécule m dans le sens des axes coordonnés , par i^ la vitesse de cette molécule à l'époque t , par f^o sa vitesse à l'époque t^ , et si l'on

convient que le signe sommatoire ^l s'étend à toutes les

molécules du système, l'intégrale dont il s'agit peut s'écrire

Dans le cas où la somme V(Xrfr -}- Ydy -H Tjdz) est

la diflérentielle exacte d'une fonction des coordonnées a:, y, z^ etc., considérées comme variables indépendantes, l'accroissement de la force vive de tout le système,

niu],

DYNAMIQUE. 6l

est la somme des accroissements de force vive que recevraient les différentes molécules si , étant toujours sollicitées par les forces dont les expressions en fonction des coordonnées sont X, Y, Z, etc., on les forçait., par des liaisons convenables , à passer de la première position à la seconde, en suivant im chemin choisi à volonté.

Dans le cas où la somme ^^ (ILdx -+- Ydy ■+- Zdz) est

la différentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées X, j^, z, etc., considérées comme variables assujetties à vérifier quelques-unes des équations de liaisons , par exemple L = o, M=o,..., R = o, l'accroissement de force vive de tout le système est la somme des accroissements de force vive que recevraient les différentes molécules si, étant toujours sollicitées par les forces X, Y, Z, elles étaient forcées, par des liaisons convenables, de passer par un chemin quelconque de la première position à la seconde, en vérifiant toutefois les conditions L=o, M = o,..., R=o pendant toute la durée du mouvement.

Enfin lorsque la somme ^(XJx -f- Y J)^ -f- Zdz) n'est

point la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées x^ y, z , etc. 5 considérées comme des variables assujetties à vérifier les équations de liaisons, Tintégrale

Ydx-{-Zdz]

ne peut s'obtenir qu'en substituant à x,^, z, etc., leurs valeurs en fonction du temps fournies par l'intégration des équations du mouvement ] en sorte que , dans ce cas , le théorème des forces vives n'est d'aucune utilité pour trouver les intégrales du problème.

Quand plusieurs molécules sont liées entre elles de manière à former un système solide, les actions mutuelles

62 MÉGA NIQUE ItATIOlTlfELLE.

qui naissent de ces liaisons n'entrent pour rien dans Taccroissement des forces vives.

La force vive d^un système se décompose toujours en deux parties dont Tune est la force vive due au mouvement du système relativement à son centre de gravité considéré comme fixe, et l'autre est la force vive qu'aurait le système s'il était tout entier concentré à son centre de gravité, sans que le mouvement de ce point soit altéré. Quand le système est libre ou que les liaisons se réduisent à des relations entre les distances mutuelles des molécules, l'équation des forces vives s'applique séparément au mouvement relatif du système autour de son centre de gravité.

Le théorème des forces vives suffit pour déterminer le mouvement des systèmes à liaisons complètes. On nomme ainsi les systèmes de molécules où les équations de liaisons sont en nombre égal aux coordonnées moins une. C'est le cas de presque toutes les machines employées dans l'industrie.

On trouve la première trace du principe des forces Vives dans un postulatum dont Huyghens s'est servi pour déterminer le centre d'oscillation (*) -, mais ce fut Jean Ber^ nouUi (•) qui le premier soupçonna une loi générale de la nature dans la conservation des forces vives. Daniel Bemoulli (') appliqua les idées de son père au cas de

(*) Si pendulum è pluribus ponderibus compositum , atque è quiète dimissum, partem quamcumque oscillationis integrse confecerit, atque inde porro intelli^autur pondéra ejus singula, relicto communi vinculo, celeritates acquisitas sursum convertere, ac quousque possunt ascendere; hoc facto, centrum gravitaiis ex omnibus compositse , ad eamdem altitudinem reversum eril, quam ante inceptam oscîllationem obtinebat (Horoïogium oscillatorium, P. IV, prop, 4)-

(') Opéra f passim.

(•) Mém. de VAcad. des Se. de Berlin, 1748, p. 356.

plusieurs corps qui s'attirent avec une intensité fonction quelconque de la distance. D'Alembert ( * ) démontra le théorème pour plusieurs cas particuliers , à Taide de son principe général de dynamique , et il ne fut point difficile de reconnaître que sa démonstration s'applique à tous les cas où le théorème subsiste-, aussi peut-on regarder le théorème général comme démontré dès cette époque.

j^ X 1 . Déterminer le mouvement du

l /! c / pendule formé par un corps mifa- -^ — noblement lié as^ec un axe cylindrique qui roule sans glisser sur deux portions d'un même plan horizontal.

Considérons la section faite par un plan perpendiculaire à l'axe, mené par le centre de gravité de tout le système 5 les oscillations seront parallèles à ce plan.

Soient

, c le rayon du cylindre 5

a la distance de l'axe du cylindre au centre de gravité du système -,

m la masse du système \

k son rayon de gyration autour d'une parallèle à Taxe menée par le centre de gravité.

Prenons l'origine au point où la section du cylindre touche la trace du plan horii&ontal lorsque le pendule est en équilibre , dirigeons l'axe des y dans le sens de^ la pesanteur, et nommons

x^y les coordonnées du centre de gravité 5

y Tangle que la droite a fait avec l'axe des;^-,

(*) Traité de Dynamique, part. lï, chap. iv.

64 MÉCANIQUE RATIONHELLE.

a la valeur initiale de Tangle o correspondante à une vitesse nulle.

Le principe des forces vives nous donne

Or

x = asiDf — cç, ^ = €icosç — c; dx , ^dff dy . dfD

substituant ces valeurs, et déterminant la constante par les données initiales , il vient

do^ (^*-hû*4-c* — lac co%ff) -j^ =:2g:fl(cosç — cosa).

Telle est l'équation qui nous fait connaître la vitesse angulaire du pendule pour une position quelconque.

Si nous représentons par T la durée d'une oscillation, nous aurons

/a j (^»4-û»4-c»— aflrccos©)* .

1 ^^ (cosç — cosa)'

Cette intégrale ne peut s'obtenir sous forme finie 5 mais, si nous supposons les oscillations fort petites , il sera facile de calculer sa valeur approchée.

En effet, posons

nous aurons approximativement, en négligeant les puissances de ip et de ^ supérieures à la seconde,

c6S(j) =1 — 2>|/' , cosa =

OU , posant pour abréger

Dans notre ordre d'approximation , nous pouvons remplacer y/ —--^~L par A (^ i -h ^ ^^, tj;« j ; alors 1 mtégration peut s'eflfectuer , et il vient

Eu LEE, Nova Acta Acad, Petrop.y 1788, p. i45.

2. Un filjlexible , très-mincc et sans poids , attaché à un point fixe par son extrémité supérieure, s'enroule sur la circonférence d'un cercle vertical, lequel fait corps avec un solide dont le centre de grai^àé coïncide a\fec le centre du cercle. Une partie du fil étant déroulée et tendue verticalement , on abandonne le coips à son poids. Déterminer le mouvement quû prendra.

Il est clair que la partie rectiligne du fil sera toujours verticale, car toutes les forces qui sollicitent le corps sont verticales.

Soient

y la longueur de cette partie rectiligne \

j^o la valeur initiale de y 5

ôTangle dont le corps a tourné autour de son centre de gravité 5

a le rayon du cercle 5

m la niasse du corps ^

k son rayon de gyration autour d'une perpendiculaire au plan du cercle, menée par le centre.