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66 MÉCAKCQLE HÀTIOMUELLE.

On a

et d'ailleurs

dO I dr

A Taide de cette dernière relation réquation des forces vives peut s'écrire

/i» -h /' dy

Elle a pour intégrale

X^Xo ou Af —

Cet exemple est l'un des Theoremafa selecta donnés par Jean BernouUi pro consetvatione vîrium vivarum demonstranda et experimentis confirmanda.

Comment, Àcad. Petrop , 1727 , p. 200. — Opéra , t. ÏII , p. 127.

3. Un pilon y maintenu vertical à l'aide d*un collier, est pressé ai^ec une force connue contre un plan incliné^ surface supérieure d'un corps qui est libre de glisser dans une rainure horizontale. Déterminer le mouvement communiqué à ce corps ^ en négligeant Jes frottements .

Prenons Taxe des j dirigé suivant le pilon en sens contraire de la pesanteur, et l'axe des x dirigé en sens contraire du mouvement dans le plan horizontal de la rainure.

Nommons a l'angle que la trace du plan incliné sur le plan des 3cy fait avec la verticale ;

jretx^ les distances à l'origine des points où celle trace coupe les axes \

f(y) la force appliquée au pilon ;

m la masse du pilon \

ni celle du corps \ j'o la valeur de j^ lorsque le mouvement commence.

i*yo

Nous avons

Eliminant x! par la relation x' =zj tanga il vient dxs/m-hm'tain^^oi

df.

^J Ar)<ir

Si Ion suppose, en particulier, que la force agissant sur le pilon soit la pesanteur seule, alors on a

et l'intégration de l'équation du mouvement peut s'effectuer. On trouve

m -H m' tang' a

j^'=jro tanga

- mgt^ tanga

m 4-/w'tang*a A 4. Un poids P est suspendu à un anneau D; dans cet anneau passe une corde qui, d'une part, est attachée à un point fixe A, et qui y d^ autre part, après auoir passé sur une poulie de rem^oi B , va s'enrouler sur un cylindre homogène horizontal C, mobile autour de son axe, et soutient enfin un poids P'. On fait abstraction du poids , de la raideur et de V épaisseur de la corde, ainsi que des frottements sur

les anneaux. La poulie de refwoi B est supposée infiniment petite et à la même hauteur que le point fixe A. La corde ne glisse point sur le cylindre C , mais elle r entraine dans son moui^ement. Troui^er le moui^ement du système y en supposant quil ny ail pas de ^vitesse initiale.

Soient

2 a la distance A6;

M la masse du cylindre C \

r le rayon du cylindre \

0 Tangle dont ce cylindre a tourné depuis l'origine du mouvement 5

y et y' les distances de l'anneau D et du poids P' à rhorizoDtale AB;

/o et j^'o les valeurs initiales de y et de j^,

Nous supposerons qu'à Tinstant où le mouvement commence, les cordes qui portent les poids sont verticales et l'anneau D est à égale distance de A et de B. Dans cette hypothèse, chacun des deux poids restera constamment sur une même verticale, puisque rien ne tend à le dévier ni à droite ni à gauche.

L'équation des forces vives est donc la suivante :

Nous avons d'ailleurs

j' H- 2 ^a^ -h y' = const., rô — 7' = const. ;

d'où

dy* iy dy dQ i dy'

dt '"" ^^rijfrp dt dt "^ r dt

Substituant ces valeurs dans l'équation des forces vives

DYÏNAMlQtK. 69

vl posant , pour abréger,

Va'

P-h4P'4- ^Mg ■" ^''

il vient

0^-"/«- ^ (\/«'-Hr'~ \/«'+:^ :)

Cette équation ne peut s'intégrer sous forme finie 5 néanmoins il nous est facile de reconnaître quelle est la nature du mouvement dans les différents cas qui peuvent se présenter.

1°. Observons d'abord que le système reste en équilibre si l'on a

2^. Soit

Alors le poids P l'emporte dans l'état initial, j^ augmente, et , par suite, il faut prendre le signe -h dans l'équation (A)

tant que — ne devient point infini.

Or le radical qui divise dy s'annule, non-seulement pour j = j^oî naais encore pour

y = >'o -h 2 / p \., ~ ji

Ceci nous conduit à faire successivement deux hypothèses dans le cas que nous examinons.

Si -— >> 1 ;/i est plus petit que /o> -7- ne devient point

infini , et par conséquent — reste toujours positif, c'està-dire que le poids P descend autant que la longueur de la corde le permet. Si la corde avait une longueur indéfinie, la vitesse du poids croîtrait au delà de toute limite;

car — converge vers o lorsque^ augmente indéfiniment.

p Si -Tp7 < 1 5 y, est plus grand que yo ^ et par conséquent Panneau arrive en descendant jusqu^à la distance /i pour laquelle — devient infini. Là sa vitesse est nulle,

mais les poids ne se font point équilibre, le poids P l'emporte. L'anneau s'élève donc jusqu'à la distance j^o ^t^ repassant aux mêmes points avec la même vitesse, puis redescend, et ainsi de suite. Dans l'équation (A) le signe -frépond toujours à la descente, et le signe — à la montée. 3^. Supposons maintenant

Alors le poids P' l'emporte dans l'état initial, le point D monte jusqu'à la distance yi , laquelle est inférieure à ja] puis il descend jusqu'à la distance /o^ remonte, et oscille ainsi tant qu'on ne met pas d'obstacle au mouvement.

Question proposée au concours d'agrégation y année i85i.

Nous engagerons à reprendre le même problème, en supposant que la poulie de renvoi B ne soit pas située à la même hauteur que le point d'attache A. Dans ce cas, l'anneau D décrit une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont l'horizontale et la verticale qui se coupent au milieu de la ligne AB.

5. Une chaîne pesante^ infiniment mince ^ mais (T épaisseur variable^ se meut sur une cjcloïde dont l'axe est ^wrtical et la concavité tournée en haut. Démontrer que

le point qui est le centre de grauité de la chaîne lorsquelle est tendue en ligne droite, se meut comme un point pesant isolé.

Prenons Torigine au sommet de la cycloïde el Taxe des y dirigé en sens contraire de la pesanteur. Soient

G le point considéré, centre de gravité de la chaîne tendue en ligne droite -,

s Tare compris entre l'origine el le point G j

d Tare compris entre le point G et un point quelconque de la chaîne;

dm la masse de l'élément flîff ;

X el y les coordonnées de cet élément ;

a le diamètre du cercle générateur de la cycloïde.

On a , par le principe des forces vives ,

—^Jdm = — igfydm -h const. ,

les intégrales qui figurent ici s'étendant à tous les éléments de la chaîne.

Or, d'après le nature de la cycloïde ,