MOUVEMENTS QUELCONQUES DES FLUIDES
Les équations générales du mouvement des fluides, telles qu'elles sont données dans tous les Traités de Mécanique, ont été trouvées par Euler (*). Ou ne sait les inté(;rer que dans un très-petit nombre de cas particuliers.
ÉCOULEMENT DES LIQUIDES DANS l'hYPOTHÈSE DU PARALLÉLISME DES TRANCHES.
Lorsqu'un' liquide renfermé dans un vase s'écoule par un petit orifice, on admet souvent que les molécules qui se trouvent sur une même tranche horizontale y restent pendant toute la durée du mouvement, tant que la tranche n'est pas très-voisine de l'orifice 5 de plus, on néglige les vitesses horizontales des molécules , quand la section horizontale du vase varie peu avec la hauteur du plan sécant.
Ces suppositions constituent V hypothèse du parallélisme des tranches. Elles conduisent à des formules qui , pour toute époque tant soit peu éloignée de celle où l'écoulement commence, se réduisent aux formules du mouvement permanent, avec cette différence toutefois, que la
(') Mém. de l'Àcad, de Cerlin, 1755, p. 27/1 et siiiv.
494 MÉCAMQtE KAT10ft>RLLE.
hauteur du niveau au-dessus de rorifice est variable avec le temps.
Ainsi, nommant o) Taire de Torifice, (^ la vitesse de sortie, p la pression qui s'exerce à l'orifice du dehors au dedans sur Tunité de surface, coo, (^o? ^o I^s quantités analogues pour la surface de niveau, z la hauteur du niveau au-dessus de l'orifice , p la densité du liquide , et
supposant le rapport — assez petit pour qu on puisse ne-
gliger son carré dans le calcul de la vitesse i^, on obtient les formules
(A) ,= yJo.l^^-^i8Z,
{ B ) w p = «, r'o ou bien «> vdt = — &>« dz.
L'hypothèse du parallélisme des tranches a été introduite dans la théorie des fluides par Daniel Bernoulli (*).
\ . Un vase contenant un liquide est uni à un poids P par un fil sans masse qui passe sur une poulie fixe ; tout le système est en mouvement sous Paction de la pesanteur y pendant que le liquide s'écoule à trai^ers un petit onfice pratiqué dans la paroi du vase* On connaît la forme du vase y et la somme Qg de son propre poids et du poids du liquide quil contient à une époque donnée /q* Déterminer , dans ces circonstances j la loi de r écoulement.
On peut considérer le vase comme immobile, pourvu que Ton regarde chaque molécule liquide comme sollicitée, non^seulement par la pesanteur, mai^ encore par une force accélératrice égale et contraire à Faccéléra-
(') Uydroffynamique \ 1738.
HYDKODTfNAMIQUE. 49^
lion du système. Sî l'on nomme Q la somme du poids du vase et du poids du liquide qu'il contient à une époque quelconques, la force accélératrice additionnelle, pour cette époque, estimée dans le sens de la pesanteur, sera sensiblement
On remplacera donc dans la formule (A), l'accéléralion g par la somme
P-hQ '^ P+Q Alors , si les pressions p et po sont égales, il vient
et, par suite, (B)
(2) ,.,dz = -^2o>^^^dt.
D'ailleurs, si Ton nomme Zq la valeur de z à l'époque /o5 on a
(3) QzrrQ.H-^pjT «,.
idz.
Les équations (i), (2), (3), jointes à l'équation de la surface du vase qui fait connaître Wq en fonction de z , suffisent pour déterminer toutes les circonstances de l'écoulement.
Lorsque Q = P, on a
en sorte que l'écoulement est le même à cet instant que si le vase était immobile.
Si Ton avait P = o, la vitesse i* serait nulle ^ le liquide ne s'écoulerait point,
Si Ton suppose P = 00 , il vient
c'est-à-dire que la vitesse d'écoulement est à celle qui aurait lieu à l'état de repos dans le rapport de v^a à l'unité.
Daniel Bernoulli , Hydrodynamique y sect. XI , § ig.
2. Démontrer qiCun vase cylindrique y rempli de liquide et percé à sa base d*un petit orifice^ emploie pour se vider un temps double de celui qui suffirait à récoulement du liquide renfermé primitii^ement dans le vase, si le ni\^eau itait maintenu constariiment à la même hauteur par V introduction d^un liquide de même densité.
On suppose que le liquide éproui^e une même pression du dehors au dedans au niv^eau supérieur et à V orifice.
3. Troui^er tous les vases de résolution oii le niy^eau s'abaisse de quantités égales dans des temps égaux ^ lorsque le liquide s'échappe par un petit orifice et que Vaxe de figure est vertical.
Si l'on prend l'axe des z dirigé suivant l'axe de révolution en sens contraire de la pesanteur^ l'équation de la courbe méridienne en coordonnées rectangulaires est de la forme
a el b étant deux cotistantes, dont la dernière est nulle quand les pressions qui s'exercent du dehors au dedans au niveau supérieur et à Torifice sont égales.
Jean Bernoulli , Opéra , t. IV , p. 480.
A. Un vase formé d'une demi-sphère et d'un plan diamétral est percé de deux petits orifices égaux y l'un
HYDRODYNAMIQUE. 497
situé au sommet de la surface courbe^ Vautre situé sur la base. Ce vase, étant exactement rempli d'un liquide et placé dans V atmosphère ^ peut se vider entièrement y soit par lé premier orifice y soit par le second, suivant la position fixe qu'on lui donne. On demande le rapport des temps nécessaires à l'écoulement complet dans ces deux hypothèses.
Soient A le temps nécessaire à l'écoulement complet par Torifice pratiqué au sommet, et B le temps nécessaire à l'écoulement complet par l'orifice pratiqué dans la base.
On trouve
B 12 EncycL Metrop. Mix, Se, t. I, p. 204.
OSCILLATIONS d'uN LIQUIDE RENFERMÉ DAWS UN TUBE.
Nous négligerons ici le frottement du fluide contre les parois du tube, et nous supposerons que le mouvement a lieu par tranches perpendiculaires à l'axe du tube, de manière que chaque tranche reste composée des m^es molécules pendant toute la durée du mouvement.
1 . Trouver la loi des oscillatio ns d'une colonne liquide pesante, qui est renfermée dans un siphon formé de deux tubes verticaux réunis par un tube horizontal de même diamètre . .
Soient p la densité du liquide , o) l'aire de la section du tube , / la longueur de la colonne oscillante , et 2 la hauteur du liquide dans Tune des branches verticales audessus du niveau qui convient à l'équilibre.
La force motrice effective est po) /-tt' 1^ force moljrîce
49^ MÉGÂÏ^IQUE RATIONNELLE.
appliquée est — ^ptù gz. Donc
df
^"vT -+-25^2=0;
2 = ^ CCS
 et B désignant deux constantes arbitraires»
Si l'on compte le temps à partir de l'instant où une oscillation commence, et que Ton nomme z^ la valeur initiale de -z , il vient
: Zo cos
La durée de l'oscillation est tt 4 / — ; elle est la même
TT 4/ — ;i V 2ê^
que pour un pendule simple dont la longueur serait égale à ]|i demi-longueur de la colonne liquide.
Newton donne cette loi dans ses Principes (lib. Il, prop. 44 9 4^ ^l 46) \ puis^' assimilant les oscillations de la mer à celles de Teau renfermée dans un siphon^ il en conclut qu'une vague parcourt la distance qui la sépare de la vague suivante, à peu près dans le même temps qu'un pendule d'une longueur égale à cette distance accomplit une oscillation \ d'où il suit que, si Ton nomme l la distance de deux vagues consécutifs, la vitesse des vagues
est sensiblement - sj^l^
TT
2. Trouver la loi-des oscillations d'un liquide pesant renfermé dans un tube de sectioji variable.
Soient •
p la densité du liquide^
p la pression rapportée à l'unité de surfiacc sur une section de la colonne liquide 5
HYDRODYNAMIQUE. 499
tu) l'aire de cette section ;
i^ la vitesse du liquide suivant la normale à cette sec-^ tion;
s l'arc de la courbe que forme Taxe du tube, compté de* puis un point fixe jusqu'à la section considérée ]
z la hauteur de l'extrémité de l'arc s au-dessus d'un plan borizonial fixe.
Considérons la petite portion du liquide qui est corn* prise entre les sections faites aux extrémités des arcs s et 5 -4- ds.
Les forces appliquées doivent faire écpiilibre aux forces efiectives prises en sens contraire. Or la somme des forces appliquées, projetées sur la tangente à l'axe, est
dp ^ dz ^
la force effective , estimée- suivant la même direction , est le produit de la masse ponds par la dérivée totale de la vitesse prise relativement au temps, savoir
dv ds dv d(f du
ds dt di ds dt
Nous avons donc l'équation
dp dz dp dp
Si nous intégrons dans l'étendue de toute la colonne liquide, en nommant p', if', «^', s\ &>' et p^^ z"^ u"^ s"^ w" les valeurs des quantités p, z^ %^^ s^ waux deux extrémités de la colonne, il vient
/>'-/'"+ srp (^' - »") - ^ P ( "" - -"') - ^£ j, * = o ,
SOO MÉCANIilinS UATIONHBLLE.
OU bien, d'après les relations
ds' «P = w'p' =: «"p*' et p' = -T-»
ai
Les pressions extrêmes^', pf'^ la forme du tute et le volume du liquide étant connus, les quantités ^^ z!'^ («>', tù"
et l'intégrale I — pourront s'exprimeren fonction de la
seule vtriable*'; alors Téquatiou différentielle ne contiendra plus que les variables y et t ; il suffira de l'intégrer pour connaître le mouvement.
Supposons, comme exemple, <|u'il s'agisse des oscillations du mercure dan^ un baromètre à siphon. Prenons l'origine des £s tances z et des arcs ^, à la hauteur où s'élève le mercure dans le tube scellé quand l'équilibre a lieu, ces distances et ces arcs étant comptés positifs lorsqu'on s'élève sur ce tube. Nommons /' la longueur de la colonne à petit diamètre et /'' celle de la colonne à grand diamètre dans l'état d'équilibre, et supposons en général que les lettres simplement accentuées se rapportent au niveau supérieur et les lettres doublement accentuées au niveau inférieur.
H vient
Js" <" ~~
HYDRODYNAMIQUE. 5oi
d'où résulte l'équatioa
Si le» oscillations sont très-petites , nous pouvons négliger les termes du second degré par rapport à 2' et à ses dérivées 5 l'intégrale est alors
A, B désignant des constantes arbitraires.
Si , de plus , la section w' est beaucoup plus petite que la section w", la valeur de z' se réduit approximativement à
z' — Acosii/p-^Bj'
Dans ce cas , la durée des oscillations est sensiblemi^nt la même que pour un pendule simple de mémo longueur que la colonne au petit diamètre.
Cette dernière formule convient encore au cas où le t\ibe aurait partout même section, quelle que soit d'ailleurs l'amplitude des oscillations.
ËujLERy Novi Comment, Jcad^Petrop,^ 1770, p. 219.
3. Troux^er la loi des petites oscillations de la aolonne liquide, dans le thermomètre différentiel de Leslieetdans le thermoscope de Rumford.
Soient
w Faire de la section du tube ;
/ la longueur de la colonne oscillante;
V le volume d'air renfermé dans l'appareil de chaque
5o2 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
côté de la colonne liquide , quand cette colonne est en équilibre 5
h la hauteur de la colonne liquide qui produirait une pression égale à celle qu'exerce Tair intérieur dans l'état d'équilibre ;
5 le chemin parcouru par la colonne liquide à partir de sa position d'équilibre.
Pour le thermomètre de Leslie, on a Féquation
Si l'on suppose les oscillations très-petites, leur durée est celle des oscillations du pendule sigiple dont la longueur serait
Pour le thermoscope de Rumford, on a l'équation
SI Ton suppose les oscillations très-petites, on trouve que la longueur du pendule synchrone est
HYDRODYaîAMIQUE. 5o3
