II. 3i
482 MI^.CAMQUK nATiOUMELLE.
Les expériences les plus célèbres sur les ajutages sont celles (le Venturî. Ce physicien a constaté que Taugmentation de dépense produite parles ajutages cylindriques est due à la différence des pressions qui s'exercent sur la section contractée de la veine liquide et sur la section de sortie. En effet, il a reconnu, d'une part, que Taugmentation de la dépense cesse quand on pratique une petite ouverture dans la paroi de Tajutage qui entoure la veine contractée ; et d'autre part, que si Ton adapte sur Tajutage un lube de verre recourbé, débouchant dans la cavité annulaire qui entoure la veine contractée , et plongeant son extrémité inférieure dans une cuve d'eau colorée, l'eau de la cuve s'élèj^e dans le lube et s'y^maintient à une certaine hauteur.
Dans l'une de ses expériences , où la hauteur du niveau au-dessus de l'ajutage était de o", 88, l'eau colorée s'est élevée à o",65.
Cette hauteur est précisément celle qu'indique le calcul. Car, si l'on nomme
Pq la pression atmosphérique ; i^ la vitesse à la sortie de l'ajutage*, p la pression sur la section de la veine contractée ; ^ la vitesse sur cette même section ; z^ la hauteur du niveau au-dessus du centre de gravité de la même section^
On a , d'après le principe des forces vives ,
D'un autre côté, on a
ou bien, posant X = 0,62 et remplaçant v^ par la valeur
hVdrodynamiQie. 483
observée 0,82 V2g^«05
Cétle valeur, reportée dans F équation précédente, donne
d'où Ton voit que la hauteur de la colonne d^eau soulevée dans le tube sera 0,75^0- Or, si l'on fait -2(^= o"*,88 , oïl trouve la hauteur o"* , 66, qui s'accorde très-bien avec l'expérience de Venturi.
3. Influence d'an ajutage conique dwergent sur la dépense d'un orifice. — Nous supposons un ajutage divergent ABB'A', dont la plus petite section AB est raccordée avec les parois du vase par une surface continue. L'expérience montre que le liquide ne se sépare point de la paroi de Tajutage, quand il mouille la substance dont cette paroi est formée, à moins que Tévasement ne soit très-considérable. Ainsi, nous admettrons que la veine liquide remplit exactement l'ajutage, et nous nous placerons dans les mêmes circonstances que quand il s'agissait d'un ajutage cylindrique. La notation restera la même 5 les quantités &>, p, j^ se rapporteront à la plus petite section , et les quantités tù\ \^ se rapporteront à l'ouverture de sortie.
Quoiqu'il y ait un changement de vitesse assez rapide entre les sections AB, A'B', néanmoins, comme la veine coule sans agitation, il n'y a pas lieu de lenir compte des actions moléculaires.
484 MÉCAMQLE RATIONNELLE.
La vitesse à la sortie de Tajutage sera donc et le volume du liquide écoulé dans Tunité de temps sera
La dépense V de Tajutage augmente quand on accroît l'ouverture de sortie w'^ mais elle ne peut pas augmenter indéfiniment, si la charge ^o ^^ 1^ plus petite section (ù restent constantes. En effet, la pression p devant rester positive, la relation
montre que la vitesse k^ ne peut surpasser 4 / 'igz^-\ — —] par suite, la dépense wi^ ne peut pas être supérieure à
la quantité w K/ igz^ -| — —-
La dépense atteint cette limite, quand les sections extrêmes vérifient la relation
ou bien
gpz.
Si le rapport - était supérieur au second membre de
cette dernière équation, la veine liquide se briserait ou cesserait de remplir T ajutage.
L'ajutage divergent jouit de cette propriété remarquable, qu'il peut fournir uiie dépense supérieure à celle qui aurait lieu par l'ouverture de la plus petite section, n la veine liquide traversait cette ouverture sans contraction sous la charge donnée. Ce résultat s'explique en observant que la pression moyenne /?, dans la plus petite
IIYDHODYKAMIQUF. 485
seclioli de Tajulage, peut être inférieure à la pression atmosphérique Pq.
On a peu d'expériences sur les ajutages divergents à forme continue \ de sorte qu on ne saurait dire avec quelque certitude , de combien la limite réelle de la dépense est inférieure à celle que donne le calcul en négligeant les frottements et supposant tous les filets de la veine liquide animés d'une même vitesse.
4. Effet du frottement dans les tuyaux d'une grande longueur. — On peut se figurer la colonne liquide qui coule dans un tuyau, comme formée de couches concentriques. La couche extérieure est ralentie par son frottement contre la paroi du tuyau; cette couche ralentit à son tour la couche intérieure qui lui est contiguë, et celleci la couche suivante, en sorte que chaque couche est ralentie parla couche extérieure et accélérée par la couche intérieure. Ainsi, la vitesse n'est point la même sur tous les points d'unemême section. Néanmoins, dans les calculs que nous avons en vue, nous pourrons supposer à toutes les molécules situées sur une même section une vitesse commune f^, égale au Quotient du volume d'eau qui traverse la section dans l'unité de temps par l'aire de cette section. Pour déterminer cette vitesse, dans le cas où le tuyau a une section constante et n'est point coudé brusquement, on peut considérer la colonne liquide comme une tîge flexible , glissant dans l'intérieur du tube, et retardée sans cesse par le frottement des parois; mais l'intensité de cette force de frottement ne sera pas régie par les mcmes lois que dans le cas de deux corps solides glissant l'un sur l'autre.
Prony (*) a fait voir qu'on arrive à des résultats satis-
(' ) Cette loi du frottement des liquides avait été signalée par Coulomb dès Tannée 1800, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences y t. III, p. 240 j mais ce physicien n'avait point montré l'applicatidh qu'on peut on faire à récoulement des liquides.
486 MÉCANIQUE UATIOWWELLE.
faisants, si Ton suppose cette force égale au produit de la densité du liquide, de la surface du tuyau baignée par le liquide, et d^une certaine fonction de la vitesse. Cette fonction est de la forme (XI^4-(3p'*j a et (3 représentent des coefficients dépendants de la nature du liquide, mais indépendants de la vitesse, indépendants de la section du tuyau et même de la nature des parois, du moins pour les substances communément employées.
Lorsque le liquide considéré est de F eau, si Ton prend le mètre pour unité de longueur, et la seconde pour unité de temps, on a, suivant Prony,
Soient
p la densité du liquide^
b) Taire de la section constante du tuyau, qiie nous supposerons circulaire;
P le diamètre de cette section;
/ la longueur du tuyau ;
p la pression moyenne qui s'exerce sur la section supérieure ;
p^ la pression moyenne qui s'exerce sur la section inférieure ;
z la distance du centre de gravité de cette dernière section au plan horizontal qui passe par le centre de gravité de la section supérieure.
La vitesse étant la même sur toutes les sections, la somme des travaux des forces qui agissent sur la colonne liquide considérée est nulle pendant un instant inGniment petit de. Or celte somme se compose du travail des pressions sur les sections extrêmes , (ùK^dt. [p — p') ; du travail de la pesanteur, iù\fdt,gpz\ et enfin du travail de la
force de frollemeut, — vdt>-~~ («^' -H P*')-
HYDRODYNAMIQUE.
D'après cela, si Ton pose
OD a Féquation
Z' — y-*-5^p(»-^J) = o• La quantité J mesure la perte de charge due au froltenient par unité de longueur.
Comme application de cette théorie , nous résoudrons le problème suivant :
Un réseîvoir à large section , où le liquide est maintenu à un nii^eau constant , se décharge par un tuyau cylindrique et sans coudes^ dans un résen^oir inférieur qui contient une certaine quantité de liquide également maintenu à un niueau constant. La surface libre du li^ quide est soumise de part et d^ autre à la pression atmosphérique. On demande de déterminer le volume du liquide qui arrivée dans le réservoir inférieur pendant r unité de temps.
Nous partagerons la masse liquide en trois parties : la première sera le liquide contenu dans le réservoir supérieur et dans une petite longueur du tuyau égale à deux fois le diamètre ; la seconde sera le liquide renfermé dans le tuyau, sauf la petite portion déjà considérée et une portion égale prise à l'autre extrémité^ la troisième sera
488 MÉCAKIQLE batioshelle.
le liquide contenu dans le réservoir inférieur et dans la petite longueur du tuyau égale à deux fois le diamètre qui lui est adjacente.
La notation précédente sera conservée pour ce qui regarde la colonne liquide renfermée dans le tuyau et qui forme la seconde partie du liquide considéré. De plus, nous nommerons
z^ la distance du centre de gravité de la section supérieure de cette colonne liquide au-dessous du niveau du réservoir supérieur;
z\ la quantité analogue pour la section inférieure et le niveau du second réservoir-,
tù\ Taire delà surface de niveau dans ce second réservoir;
1^^ la vitesse verticale du liquide sur cette surface ;
t^ la vitesse du liquide sur la section contractée de la veine qui arrive du tuyau dans le réservoir inférieur 5
i le coefficient de contraction ;
p^ la pression atmosphérique.
Pour le mouvement de la première partie du liquide, nous avons , d'après le n" 2 ,
2,' — 2grao=: O.
Pour la seconde partie du liquide , nous avons ^ d'après la théorie actuelle,
Elnfin , pour la troisième partie du liquide, nous avons, d'après le n° 1 , équation (3) ,
(4) •'/' - •'^ 4- (•'' - •'.? - 2 ^LZII + 2^3/ = o.
En outre ,
Ajoutant les équations (2) et (4), retranchant du rë-
HYDRODYNAMIQUE. 4^9
sultat le produit de Téqualion (3) par -^ et ayant égard aux valeurs (i) el (5) , il vient finalement
-+- ^ —^ ^g (Zo + Z— zj = o.
Telle est l'équation qui donne la vitesse ^ et, par suite, la dépense w p».
Dans lès cas ordinaires de la pratique, la section du réservoir inférieur est très-grande par rapport à la section
d^u tuyau. Alors on peut négliger le rapport -y 9 et l'équa-
jîpn se simplifie.
Si le tuyau débouclie dans l'atmosphère, on n'a pas à considérer Téquation (4), et l'on a p'=po; l'équation qui détermine u est alors
r /i y 8/ûl 8/a
h désignant la distance Zo-\~ z du centre de gravité de l'ouverture de sortie au-^dessous du niveau du réservoir. Quand la longueur du tuyau est très-grande par rapport au diamètre, la quantité i-H (t -*i ) devient négli-
geable vis-à-vis de -^9 et l'on a sensiblement
6 P' H- a P — ^-yj- = o.
Cette dernière formule est celle dont Prony s'est servi pour déterminer expérimentalement les valeurs des coefficients a el j3.
5. Mouvement de F eau dans les canaux décoiii^e/ts. — Moyens pratiques de jaugeage, — Nous nous borrie-
rons à considérer un canal où, dans dans- une longueur considérable, tout est identique sur chaque section. C'est ce qu'on exprime d'un seul mot, en disant que le régime est établi dans l'étendue que Ton considère. Ceci suppose que la section et la pente du lit sont invariables, ainsi que la direction et la vitesse de chaque filet liquide.
La vitesse varie d'un point à un autre sur chaque section, à cause du frottement des parois qui retarde les couches adjacentes et , par elles , influe sur le mouvement des couches plus éloignées. Néanmoins, dans les calculs que nous avons en vue, il sera permis de supposer à tous les points d'une même section une vitesse commune, égale au quotient que l'on obtient en divisant le Volume d'eau qui traverse la section dans l'unité de temps par l'aire de la section.
La vitesse fictive ainsi définie se nomme la "vitesse moyenne du canal.
Considérons, à une époque quelconque, la colonne liquide qui est comprise entre les deux sections extrêmes de la portion du canal où le régime est établi.
Soient / la longueur de cette colonne;
h la différence de niveau du liquide aux deux extrémités de la colonne ;
0) l'aire de la section ;
c la longueur développée du contour de la section qui est baigné par le liquide ;
V la vitesse moyenne.
La somme des travaux des forces qui agissent sur cette ^nasse liquide pendant l'instant infiniment petit dt^ doit être nulle, puisque F accroissement de force vive est nul pendant le même temps. Or cette somme contient le travail de la pesanteur, w i^dt.gph , et en outre le travail résistant de la force de frottement. Si nous admettons avec Prony que, dans le cas actuel , la force de frottement soit
HYDRODYNAMIQUE. 49"^
régie par les lois qui conviennent au frottement des tuyaux de conduite, celte force aura pour expression
p/c(a(>-f-pt>'), * et son travail sera
Il en résulte Féquation suivante, donnée par Prony,
(j) pp'+ac' — g^ - - = o.
Cet ingénieur s'est servi de cette formule pour déterminer les coefficients a et (3. Il a reconnu par plusieurs expériences que, dans le cas dont il s'agit, si l'on prend le mètre pour unité de longueur et la seconde pour unité de temps, on a
a =0,000436, p = o,oo3o34.
Ces valeurs étant différentes de celles qui conviennent au frottement dans les tuyaux , on doit en conclure que les coefficients a et j3 ne sont point tout à fait indépendants de la grandeur de la section et peut-être même de sa forme*, mais les expériences manquent pour assigner la loi de leurs variations.
Pour jauger un canal, on mesurera les quantités «, cet
le rapport - > qui n'est autre que la pente par mètre courant 5 puis on calculera i^ par la formule (i) : le produit co t' sera le volume d'eau qui traverse la section dans une seconde, ou le débit du canal.
On peut encore calculer la vitesse moyenne u et, par suite, le débit du canal w ^', à l'aide d'une formule déduite par Prony d'expériences faites par Dubuat sur de petits canaux en bois, tels que ceux qui alimentent les usines.
Si l'on nomme v^la vitesse de l'eau mesurée à la surface au milieu du courant , on a sensiblement
49^ MÉCANIQUE RATIOft^ELLE.
Cette formule donne des résultats assez satisfaisants, même pour des canaux de grandes dimensions. La vitesse \^ se mesure sans peine à l'aide d'un petit flotteur offrant peu de prise à la résistance de l'air.
Enfin un troisième moyen de jaugeage, qui s'applique spécialement aux cours d'eau peu considérables , consiste à faire déboucher le canal par un orifice régulier, dont on puisse calculer la dépense par quelqu'une des formules les mieux vérifiées.
On pourra, par exemple, construire un barrage en travers du canal , et faire passer Teau sous une vanne, ou bien la forcer à couler par-dessus la crête du barrage , qui alors prend le nom de déversoir.
Dans le cas d'une vanne dont la levée excède i décimètre, on obtiendra assez exactement le débit du canal, en multipliant l'aire de l'ouverture par la vitesse due à la hauteur du niveau au-dessus du centre de gravité de l'ouverture, et prenant les 0,60 du résultat.
Dans le cas d'un déversoir , on mesurera la surface du rectangle qui a pour base la longueur du déversoir et pour hauteur la hauteur du niveau du canal en amont du déversoir au-dessus de la crête du barrage-, on multipliera cette surface par la vitesse due à la hauteur du rectangle, et on prendra les o,4o5 du résultat. Le nombre ainsi obtenu mesurera approximativement le débit du canal.
On trouvera dans le tome XIII du Recueil des Savants étrangers ( Académie des Sciences; prix de i85o) le détail de nombreuses expériences faites par M. Lesbros sur la dépense des grands orifices ; c'est peut-être le travail le plus complet et le plus important qui ait été fait sur cette question.
HYDRODYNAMIQUE. 49^
