Roue de côté à aubes planes emboîtées dans un cour

sier circulaire.

HYDRODYWAMIQtJE. 529

La théorie de cette roue est semblable à

celle de la roue à augets. Les espaces fertiiés, compris entre les aubes et le coursier, tiennent lieu des augets \ mais, comme l'eau ne s'échappe qu'au bas de la roue, on doit s'en tenir à la première formule

T„=g-pQA-

Les mêmes considérations relatives aux vitesses et à

Tangle [v^^ v') s'appliquent ici. Il convient donc que l'angle

(j^, ^) soit le plus petit possible, et que les vitesses i^ et v' soient peu considérables. On observera, en outre, que l'ori ficepar lequel Peau débouche du bief supérieur, étant pé riodiquement obstrué par le passage des aubes, il en résulte une perte de force vive qu'il importe de diminuer autant que posèible. On atteindra ce but en dirigeant la vitesse relative w vers le centre de la roue parallèlement aux aubes.

Le jeu qui existe toujours entre les aubes et le coursier, et le frottement du liquide contre les parois du coursier, IL 34

53o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

font que la formule précédente donne un travail trop considérable. Pour la faire concorder avec les résultats de l'expérience , il faut multiplier le second membre par un coefficient de correction qui , dans le cas d'un orifice en déversoir, est égal à 0,799.

Ainsi» quand on exprime Q en mètres cubes, h en mètres , i^ et 1^ en mètres par seconde et T« en kilogrammètres , on a sensiblement

T-.= 799QJ^'-^^[^cos{.,p')~p']] •

4. Roue en dessous à aubes planes embotlées dans un coursier. — Nous suivrons ici une marche un peu dîfiérente. Considérons la colonne liquide qui se trouve comprise, à une époque donnée, entre deux sections AB, A'B' perpendiculaires au courant, l'une en amont de la roue , Tautre en aval.

Soient

V la vitesse moyenne sur la section AB 5 if' la vitesse moyenne sur la section A' B'; / la hauteur du niveau au-dessus du fond du coursier sur la section d'amont;

P la hauteur analogue sur la section d'aval 5

HYDÏIODYNAMIQUÊ. 53 1

Q le volume de l'eau qui traverse chaque action dans l'unité de temps 5

F la composaute des actions de la roue sur la colonne liquide en sens contraire du courant ,

P la somme des composantes parallèles au courant de toutes les autres pressions que supporte la colonne liquide ;

p la densité du liquide ;

m la masse de l'une de ses molécules ;

X la distance dç cette molécule à un plan fixe parallèle à l'une des sections extrêmes, cette distance étant comptée positive dans le sens du courant.

Exprimant que les composantes horizontales des forces perdues se font équilibre sur la colonne considérée, il vient

La somme ^ m -— est la dérivée de la quantité de

mouvement de la colonne liquide, prise par rapport au temps. Puisque le mouvement est permanent, l'accroissement de la quantité de mouvement, pendant l'instant infiniment petit dt qui suit Tépoque considérée, se réduit à la différence entre les quantités de mouvement des deux petites parties du liquide qui traversent les plans fixes A' B', AB pendant le même instant, savoir pQdtx^ — pQdtXr, La dérivée est donc pQ{^ — ^).

Par suite, ^m -^ = pQ (v/—i^).

La somme P comprend la pression atmosphérique , la résistance due au frottement contre les parois du coursier, et enfin les pressions exercées par le liquide adjacent aux extrémités de la colonne. Les composantes horizontales des pressions qui proviennent de l'atmosphère

532 MÉCANIQUE RATIOM»ELLE.

font évidemment une somme nulle. La résistance qui naît du frottement est peu considérable, vu la petite longueur de la colonne -, on peut la négliger. Ainsi P se réduit à la somme algébrique des pressions exercées aux extrémités de la colonne. Si l'on observe que les aires des

sections AB, A'B' sont respectivement -? ~î il vient

OU bien, puisque / V = /^^,

La pression F mesure l'effort horizontal que supporte la i'oue. On peut, sans erreur considérable , supposer cette force appliquée sur la circonférence extérieure, laquelle possède à peu près la vitesse u\ et négliger le travail utile provenant des actions verticales^ alors on aura

Substituant ces valeurs dans l'équation (i) , il vient

T„=pQ/(.-i>)^ Lgpqi(l^-.'iy

Lorsque les quantités ^', Q , / sont données , la vitesse i^ qui rend un maximum l'expression précédente du travail moteur, vérifie l'équation dérivée,

ce qui donne une valeur du rapport - un peu supérieure

HYDllODYMÀMIQUE. 533

Quand en exprime Q en mètres cubes, / en mètres, i^ et i^' en mètres par seconde et T,„ en kilogrammètres , la formule devient

T« = 1 02Qp' {i' - P') - 5oo Q/ (^, - ^y

Cette formule est due à M. Bélanger. Avant cet auteur, on négligeait la différence du niveau en amont et en aval de la roue*, en sorte que le second terme de la formule disparaissait, bien qu'il ne soit nullement négligeable vis-à-*vis du premier.

Les roues en dessous à aubes planes n'utilisent qu'une faible fraction de la puissance absolue de la chute •, sous ce rapport elles sont bien inférieures aux roues dont nous avons parlé ou dont nous parlerons dans la suite. Ce défaut vient en grande partie de ce que Teau est forcée de changer brusquement sa vitesse pour prendre celle des aubes.

5. Boue en dessous à aubes courbes emboîtées dans un coursier, — M. Poncelet (*) évite Tinconvénient que nous

(*) Mémoire sut les roues à aubes courbes; 1827.

534 MÉCANIQUE RATIOKNELLE.

venons de signaler, en remplaçant les aubes planes par des aubes cylindriques présentant leur concavilë au courant. La courbure de ces aubes est k volonté, pourvu qu'elle soit continue; on fait ordinairement la section circulaire.

Admettons que les molécules liquides arrivent sur l'aube avec une vitesse i^, dirigée dans le plan tangent au pr^ier élément de la surface , et que, pendant le temps peu considérable que chaque molécule reste en contact avec l'aube , cette surface puisse être considérée comme se mouvant parallèlement à elle-même dans la direction de la vitesse ^^ avec une vitesse constante ^'',' égale à celle de la circonférence extérieure de la roue. Calculons dans cette hypothèse le travail qu'une molécule liquide de masse m transmettrait à la roue, si le mouvement de cette molécule n'était nullement gêné par le liquide affluent, et que le frottement contre la surface de l'aube fût négligeable.

Le mouvement de translation commun à l'aube et à la molécule liquide, pendant qu'elles sont en contact, n'aura pas d'influence sur leur mouvement relatif; de sorte que la molécule liquide, après s'être élevée sur l'aube, acquerra, en descendant au bas de la surface, une vitesse relative égale et contraire à la vitesse relative p» — ^' qu'elle possédait à son arrivée. La vitesse absolue de la molécule liquide à sa sortie de l'aube sera donc

La force vive perdue pendant son action sur l'aube sera

/w [p' — ( 2 (/ — py] = 4 rnf/ (v — p'), et le travail communiqué à la roue ,

inw' [v — v').

iiYDRODYNAMIQUE. 535

Il en résulte que, en représentant par Q le volume d'eau admis dans la roue pendant F uni té de temps , le travail moteur serait donné par la formule

T«= apQp'{p — P'),

si nos hypothèses étaient réalisées. Le maximum du travail moteur répondrait à -= -i et serait égal à la puissance absolue de la chute.

Mais les suppositions sur lesquelles se fonde cette théorie sont trop éloignées de la réalité , pour qu'on doive regarder la formule obtenue comme représentant avec quelque exactitude le travail de la roue à aubes courbes. Il paraît fort diflScile de donner à ce sujet une théorie complètement satisfaisante.

Les expériences ont appris que le maximum de Teffet utile répond à - r= o,55 , et ne dépasse pas les 0,70 de la

puissance absolue de la chute.

Quand on exprime Q en mètres cubes, 1^ et ^'^ en mètres par seconde, et T,„ en kilogrammètres , on a sensiblement :

Pour des chutes de 2" et au-dessus ,

Pour des chutes de i"*,5o à 2'",

T„=i32Qp'(p-i;'); Pour des chutes au-dessous de i'",5o,

6. Roue à aubes pla^ nés pendantes dans un courant à grande section, — On n'a pas encore une théorie exacte de la roue à aubes planes • pen dantes dans un courant à grande section.

^^^On connaît trop peu T^ les lois du mouve - ^^ ment des fluides pour être à même de calculer directement Faction du courant sur les aubes. Les premiers géomètres (*) qui ont traité cette question ont admis que. la pression est proportionnelle au carré de la vitesse relative, conformément à l'bypo thèse étudiée dans la Section précédente. Mais les formules auxquelles ils sont parvenus ne s'accordant point avec les résultats de Texpérience, l'hypothèse a été rejetée. M. Poncelet a reconnu que le travail transmis est représenté assez exactement par la formule

T«=8ooApp'(f> — t^'),

dans laquelle A est Taire de la partie immerçée de l'aube verticale, exprimée en mètres carrés 5 u' la vitesse du centre de gravité de cette aire, exprimée en mètres par seconde; v^ la vitesse du courant, mesurée à la surface 5 T,„ le nombre de kilogrammètres fournis en une seconde.

Cette formule exprime que le travail moteur est égal à celui qui serait transmis, si Feau agissait constamment sur une seule aube placée dans une position verticale, en exerçant une pression proportionnelle à la vitesse i^ du

(') FoiV Bossut, Hydrodynamique, t. Il, p ^\\ ^^ '^99

HYDRODYNAMIQUE. 537

courant et à la différence u — u^ entre la vitesse du courant et celle de Taube.

D'après la formule, le maximum du travail répondrait

à - = - 5 mais l'expérience a montré qu'il est préférable de prendre - = o,4o-

7. ^iles des moulins à vent. — Nous supposerons l'arbre qui porte les ailes parallèle à la direction du vent, et la surface des ailes engendrée par une ligne droite de longueur constante , qui glisse sur un bras perpendiculaire à l'arbre, en restant elle-même perpendiculaire à ce bras. C'est la disposition la plus ordinaire, et aussi celle qui paraît susceptible de donner les meilleurs résultats.

Nous partagerons la surface de l'aile en éléments compris entre deux génératrices consécutives, et nous considérerons chacun de ces éléments comme situé dans le plan déterminé par le bras et par l'une des deux génératrices; Taire de cet élément aura pour mesure le produit de la largeur de l'aile par la plus courte distance des deux génératrices.

Soient

/ la largeur constante de l'aile ;

rla distance de l'axe à l'un des éléments de la surface-,

^0 et Ti les valeurs extrêmes de r 5

<p l'angle que le plan de l'élément considéré fait avec la direction d*u vent 5

i^ la vitesse du vent;

w la vitesse angulaire de l'arbre qui porte les ailes;

p la densité de l'air, ou le poids d'un volume d'air égal a Tunîté divisé par le nombre g ;

k un coefficient constant ([ue Tobservation déterminera.

538 MéCAMQUE KATIONSELLE.

D'après rhypothèse admise dans la Sectix)n précédente, la pression exercée par le vent sur Félément de l'aile sera le produit des constantes k et p par la surface Idr et par le carré de la vitesse relative estimée suivant la normale à l'élément. Or la projection de la vitesse du vent sur la direction de la normale est t^ sin y , et la projection de la vitesse de l'élément lui-même est corcosç-, donc la pression sera

kpl(v sin ff — wr cos^)' dr.

Il en résulte que le travail moteur élémentaire aura pour valeur

Apl(osinff — «r cos (^Y dr\ u r cosy dt\

et, si le mouvement est uniforme, le travail moteur développé pendant Tunité de temps sur l'aile entière sera

I (psinç — wrcoS(p)' wrcos^c/r.

Supposant données la largeur des ailes et les distances de leurs extrémités à Taxe, on peut déterminer la courbure de la surface des ailes, de manière que le travail moteur ait la plus grande valeur possible, quelle que soit la vitesse angulaire. Ceci revient à trouver la fonction de r qui, substituée à f , rend un maximum l'intégrale (i).

Puisque chaque élément de l'intégrale ne dépend que d'un seul élément de la surface, et en aucune façon des éléments voisins, la somme sera, un maximum, si le travail exercé sur chaque élément de la surface est séparément un maximum. Or, pour qu'il en soit ainsi, il faut

que la fonction comprise sous le signe I ait une dérivée

nulle relativement à la variable <p. Egalant la dérivée à zéro, après avoir supprimé le fadeur [\' sinç — o)r cosç),

HYDRODYNAMfQUE. SSp

qui ne saurait être nul sans que le travail ne soit nul lui-même, il vient

(2) a (pcosy + ursinip) cosy — sinç (i^ sinf — wrcosip) =;o;

d'où Ton tire

(3) tan6, = :^^+t/U^ + ..

Celte dernière équation détermine la forme la plus avantageuse des ailes, pour une vitesse angulaire qui est dans un rapport donné avec la vitesse du vent. Le radical y est pris avec le signe -h-, car autrement tangç serait négatif, et le vent frappant les ailes par derrière , le travail ne serait plus moteur.

Pour épuiser complètement la question du maximum d'effet, il faut encore trouver quel est le rapport de la vitesse angulaire des ailes à la vitesse du vent qui assure le plus grand travail, quand la surface des ailes vérifie l'équation (3).

Cette valeur du rapport - annule la dérivée de l'intégrale ( I ) , prise par rapport à w en y considérant (f comme unefonction de w donnée par l'équation (3). Ainsi, nommant Via fonction comprise sous le signe / 5 on a l'équation

dans laquelle on doit substituer sous le signe / la valeur (3) de l'angle ç, après avoir formé les dérivées,

dY Mais, dans cette substitution, la dérivée -7— disparaîtra

complètement (2), en sorte qu'on n'aura pas à tenir

54o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

compte du terme -7— -r?- Profitant des autres simplifica-

tions que l'équation (2) peut apporter dans la valeur de

-r— > on arrive à la formule a 0)

r cos' fl) «'fpsincp — wrcosç) — ; dr=zo.

L'intégration devient facile quand on prend pour variable l'angle ©. En effet, les valeurs à substituer sous le

signe I sont (2)

V I— Scos^cp , V l-hCOS*(P ,

r = -5 : 1 , dr= ^-' T-z r^- a <f ;

3 «>> sin «p ces tf 3 &> sm^ (p cos^ <p

elles changent l'équation précédente en celle-ci ,

*?»(! — 3cos>) (l + COS>)

JÇ9

sm'ç

drf = Oy

où <po et ^1 représentent les valeurs de (f correspondantes aux distances To et r^ , exprimées en fonction de ces distances par la formule (3). Or, sous cette forme, on trouve aisément l'intégrale indéfinie

^, . 5cos=*<p-- 3cos(p I, /^ I \ L'équation qui. détermine le rapport - est donc

Malheureusement cette équation est trop compliquée pour qu'on puisse s'en servir commodément dans la pratique. Il suffira de savoir que Coriolis (*), auquel est dû

' ) Du calcul de Veffet des machines, p. 210; 1 829.

HYDRODYNAMIQUE. 54 l

ce calcul, a comparé les résultais de Tanalyse avec ceux de l'observation, et a trouvé un accord satisfaisant en prenant le coefficient h égal à —

D'autre part , les expériences de Coulomb (*) et de Smeaton (*) ont montré que la valeur la plus avanta-

geuse du rapport - est comprise entre et — -*

Dans ces conditions, si l'on nomme A la surface de Tune des quatre ailes exprimée en mètres carrés , et \* la vitesse du vent exprimée en mètres par seconde, le travail moteur T^ transmis par les ailes peut se calculer par la formule empirique

8. Calcul du tray^ail développé par la vapeur dans les machines. — Nous considérerons une machine à détente , et nous supposerons que la vapeur agissant sur le piston conserve une même température pendant toute la durée de son action -, en sorte qu'il faudra concevoir que les parois du cylindre restituent à la vapeur la température qu'elle perd nécessairement , lorsqu'elle change de volume en agissant par détente. Cette température constante de la vapeur sera celle de la chaudière.

Soient

îl la surface du piston , exprimée en mètres carrés ;

H la hauteur du cylindre diminuée de l'épaisseur du piston , exprimée en mètres 5

A la portion de la hauteur H que parcourt le piston pendant que la vapeur agit à pleine pression ;

( * ) Théorie des machines simples.

(') Recherches expérimentales sur l'eau et le vent (ouvrage traduit de l'anglais par Girard ).

54^ MÉCArilQtJE RATIONNELLE.

p la pression de la vapeur dans la chaudière sur I centimètre carré, exprimée en kilogrammes;

p' la pression de la vapeur dans le condenseur, ou la pression atmosphérique, s'il n*y a pas de condenseur.

Le travail moteur que produit la vapeur pendant qu'elle agit à pleine pression , est évidemment le produit de la pression par le volume que décrit le piston, c'està-dire loooop îl h kilogramme très.

Si Ton nomme x la hauteur variable de la partie du cylindre que remplit la vapeur lorsqu'elle agit par détente, la pression pendant la détente sur un centimètre

carré de la surface du cylindre est — ^ d'après la loi de

Mariotte; par suite, le travail produit par la détente a pour expression

X^ dx H^" =10000/» û Alog -

Le travail résistant de la vapeur qui se trouve dans le condenseur, pendant toute la course du piston , est égal à

— iQooop' alA^'^.

Réunissant toutes ces parties, on obtient le travail de la vapeur pendant la course entière du piston,

1 oooo/? ah I -4- log <-- — )

Le quotient de cette quantité par le nombre de courses simples du piston en une minute et par le produit 6o X75 , sera le nombre de chevaux qui mesure la force théorique de la machine.

Le travail théorique T,„ peut encore s'écrire

T;„ = ioooo/?p ( i-f-log .^ — ^ )

km

HYDRODYNAMIQUE. 543

en nommant t' le volume engendré par le piston dans sa course pendant l'admission de la vapeur, exprimé en mètres cubes, ctp^ la pression que la vapeur exerce après la délente sur i centimètre carré de la surface du cylindre. On juge communément de la bonté d'une machine par la quantité de travail que lui communique i kilogramme de houille dans sa combustion. Cherchons l'expression de cette quantité de travail.

Si Von nomme n le nombre d'unités de chaleur (*) que Ton peut utiliser dans un bon foyer par kilogramme de , combustible brûlé, le poids cr du combustible nécessaire pour transformer un poids q d'eau à la température f' en vapeur à la température t est donné, suivant M. Regnault (*), par la formule

D'autre part, suivant les lois de Gay-Lussac et de Mariotte, si Ton admet que le litre de vapeur à la température du loo degrés, sous la pression de i atmosphère, pèse o^'jSgi, et que l'on prenne le coeflScient de dilatation de l'air égal à o,oo366, le volume m d'un poids q de vapeur, sous la pression ^, à la température f , est représenté par la formule