Roue à augets, — On peut admettre, avec une
approximation suffisante , que Feau reçue dans les augets prend la vitesse de la roue, et en sort avec la même vitesse.
L'eau arrivant sur la roue avec la vitesse f^ , change donc rapide ment cette vitesse contre la vitesse {*' de la circonférence extérieure de la roue. Ce changement de vitesse accuse un travail résistant Ty, égal à la demi-somme des forces vives dues aux vitesses perdues (voyez p. 4y^). Si Ton nomme w la vitesse perdue , qui n'est autre que la vitesse de Feau affluente relativement à la circonférence extérieure de la roue , on aura
nvp' cos(py),
HYDRODYNAMIQUE. 5 2$
et , par conséquent ,
T^t=:ipQ[p'4- p'^— 2cp'cos(py)].
Si Ton pouvait admettre que les augets se vident instantanément, lorsqu'ils arrivent à l'extrémité de la roue qui touche la surface du bief inférieur, le travail de la pesanteur serait g pQh , et Ton aurait (A)
(i) T,„=rg^pQ)^-f-pQ(''[ccos(p,/)-p'l-
Cette formule n'est applicable qu'aux roues lentes dont les augets ne sont point remplis entièrement 5 encore, pour la faire concorder avec les résultats de l'expérience, fautil multiplier le terme gpQh par uu coeflScient de correction égal à 0,78 si les augets sont remplis à moitié, égal à o,65 si les augets sont remplis aux deux tiers.
Pour construire une formule plus exacte , il est nécessaire de connaître la quantité d'eau que renferme chaque auget dans une position donnée.
Considérons une molécule M, située à la surface du liquide qui est renfermé dans l'auget. La pesanteur g et les forces égales et contraires aux forces accélératrices qui produiraient le mouvement de la molécule, si elle était libre, doivent se faire équilibre sur cette molécule en vertu des liaisons, et, par conséquent, doivent avoir une résultante normale à la surface du liquide. Or le mouvement réel de la molécule diffère peu d'un mouvement circulaire uniforme, égal à celui de la roue, en sorte que les secondes forces se réduisent à peu près à la force centrifuge.
Soient w la vitesse angulaire de la roue , r la distance de l'axe à la molécule considérée, R la résultante de la pesanteur g et de la force centrifuge co* r, et I le point où la direction de cette résultante rencontre le rayon verti-
5^6 MÉGAiriQUE RATIONNELLE.
cal OI qui est situé avec la molécule M dans un même plan perpendiculaire à l'axe de la roue.
n est aisé de voir, par la considération de deux triangles semblables, que Ton a l'égalité
5î=4, d'où 01= £.
La position du point I déterminée par cette dernière relation étant indépendante de la distance r, il s'ensuit que les normales aux différents points de la surface du liquide s'appuient toutes sensiblement sur une même droite horizontale I, située avec l'axe de la roue dans un même plan vertical. La surface de Veau dans chaque auget est donc à peu près celle d*un cylindre circulaire, dont l'axe est parallèle à l'axe de la roue y et situé dans le même plan ^vertical, à une hauteur au-dessus de cette
et
droite égale à —•
D'après cela, il est facile de déterminer la position de l'auget où le déversement commence. A cet effet, on tracera le profil de la roue et lés profils circulaires des surfaces de niveau qui passent au bord de chaque auget; on aura , par cette construction , le profil du plus grand volume d'eau que chaque auget puisse contenir; ce volume pourra se calculer approximativement par la méthode des quadratures. Après quelques tâtonnements, on trouvera la position de Tauget où ce volume est sensiblement égal au volume d'eau reçu , lequel est égal au quotient du volume Q par le nombre des augets qui passent dans l'unité de temps. Cette position sera la position cherchée.
Soient hl la hauteur du bord de l'auget où le dévei^ sèment commence au-dessus du niveau du bief inférieur, q le volume variable de l'eau qui reste dans l'auget lors-
HYDRODYNAMIQUE, Say
qu'îl descend au bas de la roue , et » le nombre des augets qui passent dans l'unité de temps.
Pendant que la roue tourne de Fîntervalle compris entre deux augets consécutifs , l'eau contenue dans les augets qui ont commencé à se vider, produit par son poids un travail égal à celui que produit l'eau contenue dans un seul auget, pendant tout le temps que cet auget met à se vider. Le travail de la pesanteur pendant l'unité de temps est donc
gpQ.(h'^h')'i-gpn J qdh.
L'intégrale i gdh se calculera par la formule de Thomas Simpson. On mesurera sur le profil le volume d'eau qui reste dans l'auget pour cinq positions, correspondantes aux hauteurs du bord o, -7 h\ - h\ -rh^ h\ Nom-
mant ^o ? <7i ? ^s ? ^s ? 9* ces volumes , on aura , avec une approximation suffisante ,
Ainsi, quand on tient compte du temps que les augets mettent à se vider, la formule qui exprime le travail moteur est
A' 4- pQ/[«' cos( Pyç)~- p'].
Si l'on suppose Q 9 ^o ? ^i 9 • • • 9 exprimés en mètres cubes , h et h! en mètres , i^ et p'' en mètres par seconde
528 MÉGÀNIQUE RATIONNELLE.
et T« en kilogrammètres , la formule devient
T„ = ioooQ(A-A')4- ^^^A'[yo + 29,-4-4(^1 4-^3) 4-^4]
-+-ioaQ«/[<'cos(i',«^) — r'].
Le quotient de ce nombre par 7 5 est le nombre de chevaux qui mesure la force de la roue.
Cette dernière formule est entièrement d'accord avec les résultats d'expériences faites dans des circonstances très-variées. Elle est due à M. Poncelet.
On voit que, toutes choses égales, le travail utile augmente à mesure que l'angle (t^, t^) diminue 5 mais cet angle ne sera jamais nul , sinon l'eau n'entrerait pas dans les augets. Il faudra toujours donner aux augets une disposition convenable pour que l'eau s'introduise facilement, sans qu'aucune partie soit rejetée au dehors.
Si l'on admet la relation i^ = ^2 gh^ , la formule (2) peut s'écrire
Vf
f>Q[p*-f- 2/' — 2 w'cos(ï', p'j].
Sous cette forme , on voit que le travail résistant représenté par le dernier terme décroît à mesure que les vitesses j^ et 1/ diminuent \ de plus , à mesure que la vitesse de la roue diminue , la somme des deux premiers termes s'approche d'être égale à la puissance vive de la chute. Donc il y a de l'avantage à amener l'eau avec une petite vitesse et à faire tourner la roue lentement. La vitesse de I mètre à la circonférence donne en général les meilleurs résultats.
