ÉQUILIBRE D*UN FIL FLEXIBLE
Galilée (*) chercha le premier à déterminer la forme qu'affecte un fil flexible et pesant, lorsqu'il est soutenu par ses extrémités. Il crut pouvoir annoncer que la courbe est une parabole ^ c'est qu'en effet , dans le voisinage du point le plus bas , la courbure du fil ressemble à celle d'une parabole. La méprise de Galilée ne tarda pas à être signalée. Joachim Jungius (') fit d'abord des expériences qui mirent en relief Terreur du célèbre physicien 5 puis Jacques Bernoulli (') traita la question par l'analyse avec un entier succès. Ce dernier porta le défi aux géomètres de son temps de résoudre le problème de la chaînette; c'est ainsi qu'il nommait la courbe décrite par le fil. Trois des concurrents trouvèrent la solution : ce furent Jean BernouUi , Leibnitz et Huyghens5 Jacques BernouUi prouva de son côté qu'il avait lui-même résolu la question. Ces solutions furent données sans calculs dans les Acta eruditorum pour l'année 1691 (juin, pages 273-282). La première démonstration ne parut que six ans plus tard dans les Philosopliical Transactions; elle est de David Gregory.
Après avoir discuté la forme de la chaînette décrite par un fil homogène et d'épaisseur constante, Jacques Ber-
(*) Mechanica; dialogo II, p. i3i.
{^) Geometrica empirica.
(') Âcla eruditorum; Lips., 1690; mai, p. 217. -— Opéra, t. I, p. /124.
nouUi (*) dirigea ses efforts sur des cas plus compliqués. Il se donna à volonté la loi suivant laquelle varie l'épaisseur d'un fil, et détermina la courbe décrite par ce fil-, réciproquement, il se donna la courbe, et chercha la loi suivant laquelle varie l'épaisseur 5 puis il considéra un fil pesant et extensible , en admettant la loi expérimentale de Hooke ('), savoir, que la dilatation linéaire d'un fil est proportionnelle à sa tension. Toutefois Jacques Bernoulli ne publia pas les démonstrations des résultats auxquels il parvint 5 son frère Jean (') dut y suppléer.
Quant aux conditions générales de l'équilibre d'un fil flexible, Herman (*) fut le premier à s'en occuper 5 mais ses travaux ne sont point exempts d'erreurs. Plus tard, Jean Bernoulli (^) traita cette question avec sa supériorité habituelle^ il s'attacha principalement à considérer un fil soumis à des forces qui sont dirigées vers un centre fixe.
Parmi les nombreux géomètres qui se sont occupés de l'équilibre d'un fil flexible, nous devons citer Euler (*), Clairaul C'), Krafit («), Legendre («), Fuss (*^), Venturoli(**) et Poisson (**).
(') Acta eruditorum; Lips., 1691 ; juin, p. 289. — Opéra, t. I, p. 449-
{■) De potentia restitutiva,
(') Lectiones mathematicœ in usum Hospitalii. Opéra, t. lit, p. 887.
{*) Phoronomia, lib. I, cap. m, el Appendice, § V.
(*) Opéra, t. IW, p. 234.
(') Comment. Pelrop,, t. IH. — iVora comment. Peirop., t. XV et t. XX-
C) Hfiscellanea BeroUnensia, t. VII, p. 270; 1743.
(') Nova comment. Petrop., t. V, p. i43; 1754 et 1755.
(*) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris; 1786, p. 20.
(»») Noi'a acta Petrop., t. XII, p. i45; 1794.
('*) Eléments of Mechanics, by Cresswell; part. I, p. 62.
(") Traité de Mécanique, t. I, p. 564 J 2^ édit.
STATIQUE. Io3
SECTION I
CONDITIONS GÉNÉKÀLES DE l'ÉQUILIBRE d'uN FIL FLEXIBLE ET INEXTENSIBLE.
Soient APpB un fil parfaitement flexible, x, y, z les coordonnées du point P, a:-h âxj j-\- dy, z-{- ôz les coordonnées du point infiniment rapproché p, s Ia longueur du fil AP comptée à partir d'un point fixe A j as la, longueur de l'élément P/?.
Concevons que l'on isole l'élément P;?, en supprimant les portions de fil AP,Bp. Alors, pour maintenir l'élément Pp en équilibre, il faudra appliquer en P une force que nous désignerons par f , et en p une force représentée par t -i- dt. Ces forces sont les tensions du fil aux points considérés.
La première tension a pour composantes suivant les
axes
dx dy dz
ds ds ds
et les composantes de la seconde sont
dx d, ( dx\ ^ dy d. ( djrX .
dz <^:( ^\ ^
ds ds \ ds )
Soient X , Y, Z les composantes parallèles aux axes de la force rapportée à l'unité de masse , qui est directement appliquée à la molécule P. Nommons m la masse du fil au point P rapportée à l'unité de longueur, ou, ce qui est la même chose , le produit de la section du fil en P par la densité qui existe en ce point.
Les composantes des forces directement appliquées à
I04 MÉCi^IQVE RATIONNELLE.
Télément de P/; seront
X mds , Y mds , Z mds.
Dès lors nous aurons trois équations d'équilibre, si nous écrivons que la somme des projections sur chaque axe de toutes les forces qui sollicitent Télément T?p est nulle. II vient
Id, [ dx\
\d. [ dz\
Si l'on élimine f , on trouve
dx j mY ds = djr j m'S. dsy
tly 1 mZds =i{lz j mYds,
dz i m^ds = dx j mZ ds.
Deux quelconques de ces dernières équations représentent la courbe décrite par le fil.
Corollaire I. — Intégrons les équations (a) par rapport à 5, et ajoutons les carrés des résultats, en ayant égard à la relation
dx^ dr^ dz^
nous trouvons
t'=i ÇmXds\\ ( CmYds\\ (^ ÇmZdsY^ Cette formule nous fait connaître la tension
On peut encore obtenir la tension sous une autre forme. En effet , multiplions les équations (a) respectivement par dx, djy ds^ et ajoutons les produits, en observant que l'équation [b) nous donne par différentiation
dx d^ X dy d^y dz d' z
ds ds^ ds ds^ ds ds^ '
il vient
^dx + l[dx-hZdz)-^coiiSX,
Ces deux formules ont été données pour la première fois par Fuss dans les Mémoires de Saint-Pétersbourg (1794? pages iSo, i5i).
Corollaire IL — Quand le fil entier sera situé dans un même plan , nous prendrons ce plan pour celui des oy , et la courbe sera représentée par la seule équation
dx I mY ds = djr j mlLds .
SECTION II
