FIL SOLLICITÉ PAR DES FORCES PARALLÈLES
1 . Un filjlexible et pesant est attaché par ses extrémités en deux points fixes ; la masse m rapportée à V unité de longueur varie d'un point à un autre y suivront une loi donnée, Troui^er V équation de la courbe décrite par le fil. Réciproquement y la courbe étant donnée y déterminer la loi suivront laquelle varie la masse.
Le fil sera tout entier situé dans un plan vertical.
Prenons l'axe des x horizontal, et l'axe desj^ vertical dirigé de bas en baut^ conservons pour le reste la notation employée dans la section précédente.
I06 MÉCANIQUE RATIOHNELLE.
et les équations (a) se réduisent aux suivantes :
d l dx\
mg.
La première équation donne
dx
(2) £ -7- = const. = C .
' ds
Or, au point le plus bas de la courbe , on a — = i , parconséquent, si Ton nomme t la tension du fil en ce point,
et Féquation (2) devient
/»». dx
Eliminons t entre cette dernière formule et l'équation (1) 5 nous obtenons
d [dy "ds
dy
Au point le plus bas de la courbe , -p = o 5 par conséquent , si l'on nomme a la valeur de s correspondante à ce point , on aura
<^ Va
Telle est Péquaiion difierentielle de la courbe. Pour l'intégrer, il faut connaître l'expression de m en x, j^ s.
Diflerentions cette dernière formule ; il vient
dx
Cette équation fera connaître la masse m, lorsqu'on aura l'équation de la courbe.
La tension est
— ^ dx
iiLkV Bernoulli, Lcctiones mathematicœ , lect. 38, 89, 4o» Opéra , t. III.
2. Un fil flexible et pesant est attaché par ses extrémités en deux points fixes ; la masse rapportée à V unité de longueur est en chaque point int^ersement proportionnelle à la racine carrée de l'arc qui sépare ce point du point le plus bas. Déterminer la courbe décrite parle fil.
Conservons la notation du problème précédent, et comptons les arcs à partir du point le plus bas , lequel sera pris pour origine des coordonnées.
Soit [k la masse correspondante à l'extrémité de l'arc c. On a
Posons , pour abréger,
108 MÉCANIQUE BÀTIONNELLE.
Alors
difTérentiant,
^dx\dx)
= 1, d'où ap
V dx'
C est une constante que l'on détermine par la condition que Ton ait à la fois
X == o et — -= o.
dx
Il vient -
ou
et par intégration ,
C -h 2 P7 = - (a- -h 2 P) V^x'-h 4 P-*^ — 2 p'iog [a: + 2 p -^ (X» -h 4 P-^)' ] •
On détermine la constante C par la condition que la courbe passe à l'origine 5 cela donne
d ou
Telle est l'cqualion de la courbe.
STATIQtE. 109
Corollaire. — L'équation (i) donne
ds JT-h 2 p
dx 2^
par conséquent la tension a pour valeur
Jeaw Bericoulli, Lect. mat hem. Opéra , t. III, p. 497.
3. Un fil flexible y dont les extrémités sont fixées sur une même ligne horizontale, prend la forme d'une demicirconférence y sous V influence de la gravité. Déterminer la loi suit^ant laquelle la masse du fil rapportée à l'unité de longueur varie d'un point à un autre.
Conservons la notation du problème précédent, et soit a le rayon de la circonférence.
L'équation de cette courbe est
x^=z lay — x^.
On en tire
dy X d'^y a'
ds a
dx'^ ^a'^x''
et, d'après le problème I, équation (4) ,
d'y T dx"^ T a T û
g ds^ ga'—x' g[a—yY dx
Ainsi la masse varie en raison inverse du carré de la distance au diamètre horizontal.
IIO MÉCANtQDË RATIONNELLE.
Corollaire. — La tension est
Jean Bernoulli, Opéra, t. III, p. 5o2.
4. Un fil homogène y d'épaisseur constante y est atta-' chéparses extrémités en deux points situés sur une même ligne horizontale y la tension aux deux extrémités est égale au poids de tout le fil. Déterminer la longueur du fil, la distance "verticale des deux extrémités au point le plus bas de la courbe déente , et la direction des tan^ gentes extrêmes.
Prenons Taxe des y vertical , à égale distance des deux points d'attache , et l'origine à une telle hauteur, que la tension, au point le plus bas delà courbe, soit mesurée par le poids d'une longueur de fil égale à l'ordonnée de ce point. Soient m la masse du fil rapportée à l'unité de longueur, 2 a la distance des extrémités, c l'ordonnée du point le plus bas , d la distance verticale de ce point à la droite qui joint les deux extrémités, / la longueur du fil, et (f l'inclinaison des tangentes extrêmes sur l'axe des x.
L'équation de la courbe est, comme Ton sait,
On en tire
Il nous faut éliminer Tinconnue c de cette- expression . Au point (x, y) la tension est
mgy
— -mcgye ■+ e J.
À rextrémité , cette valeur devient
Or, par hypothèse , cette tension doit être égale à mgl*^ donc
-^mcg\e*''^c *" Jz=z mcg Xe'^ — e ^ I , et, par suite,
^^ = 3, f = ilog3,
ï%'3\ / v^31og3
Telle est la longueur du fil.
L'ordonnée des points d'attache est
Cette ordonnée est aussi représentée par c -\- d\ donc . ^ l c ""c \ ^^ 2 — i/3
Telle est la distance du point le plus bas à la droite qui joint les extrémités.
On a généralement
lia MÉCAMIQCE KATIONNELLË.
à rextrémité du fil
d'où
|=ungr = ^(.^-. ')=^,
8. Un fil homogène , d^ épaisseur constante y repose en équilibre sur deux chevilles très-nunces, situées à la même hauteur, et qui n'exercent aucun frottement. On connaît la dislance na des deux supports, et F on demande la' moindre longueur du fil qui puisse permettre l'équilibre; on propose encore de déterminer, pour une longueur donnée du fil , la courbe quil affecte , et la pression P qu'il exerce sur chacun des deux supports.
Nommons L la longueur totale du fil, T sa tension aux points d'appui , et conservons pour le reste la notation du problème précédent 5 l sera la longueur du fil courbé en chaînette.
D'après ce qui précède, F équation de cette courbe est
où c représente l'ordonnée du point le plus bas , et mcg la tension en ce point.
Nous avons aussi [Probl, -4)
' = lmig\e' + e A;
d'ailleurs , il est clair que, en vertu des données.
STATIQUE. Il3
par conséquent ,
Si , dans cette équation , on remplace / par sa valeur il vient
(3) L=ac^*^;
d'où Ton voit, que la plus petite valeur que L puisse admettre, correspond à la racine positive de l'équation
laquelle est
Ainsi la plus petite longueur du fil est L = ^ae.
Supposons maintenant que la longueur L soit donnée, et supérieure k lae.
L'équation (3) aura deux racines positives, c, etCg, Tune supérieure à a, l'autre inférieure-, la plus grande correspond à un état d'équilibre stable , et la plus petite à un état d'équilibre instable. Considérons l'une d'elles Cj. L'équation de la courbe sera
et nous aurons
P = 2 T ces
Il4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
OÙ (Prob, 4)
tangtp
