X-hV
d'où, si Ton élimine X',
(i ) « = c ces ô -h X (ces «p — cos ^' ) -f- / ces <p%
(2) rtcosô = X(sin(p — sin/) -h /siny',
(3) « sinO = X(cosf -f-cos«p')— /cosy'.
Telles sont les trois équations qui lient la fonction u et les quatre variables ç, y', 9 et X.
On peut considérer 9, ç' comme des fonctions de et de A , et regarder u comme une fonction des deux variables indépendantes 6 et X; alors, dans la position d'équilibre, les dérivées totales de u par rapport à X et par rapport à 6 seront séparément nulles.
Occupons-nous d'abord de la variable X. Si nous difle-
STATIQUE. l59
leutions les équations (i), (2), (3) par rapport à celte variable , il vient
, du dm ^J
^^^ o = — =r cosy - cosf — :x sm (p ^ — (/ — >)sin/ -^,
(5) o = sin (p — sin (p'-t- X cosy --| + (/ — X)cos(p' ^ ,
(6) . o = cos«p-hcos(p'— Xsinç-|4-(/ — X)sin(p' -?-.
Ajoutons les équations (4) et (6) , puis retranchons les mêmes équations. Il vient
d^ >siny — -=r cos»,
ou
(/ — X)sin<p' -^ = — cos^'.
),- = coty,
Reportons ces valeurs dans l'équation (5) , et nous trouverons
sin 9 =: sin cp', <j) = y' ;
c'est l'une des conditions de l'équilibre.
Considérons maintenant la variable 0. Si dans les équations (1), (2), (3) nous introduisons la condition y = y', ces équations deviennent
« = c cos -f- / ces ^ ,
^ cos 9 = /sin^ ,
Il sin ô = ( 2 X — /) cos ç j
on en tire aisément la valeur de u en, fonction de la seule variable 6 ,
M = c cos 9 H- v'^' — à^ cos' 9 ,
l6o MÉCANIQUE KATIONNELLE.
et , par suite ,
du a' sin G cos G'
0=:-rr=--rSinô-|- - ==.9
G = o ou G = ± arc cos •
De là il résulte que, si l'on a l<C-^a* — c', il existe
trois positions d'équilibre :
G = o, <p=r <j>':= arcsin^ï X = V;
cl c
G r=: arc cos — ==== 9 ^ = ç' =r arc sin
cl ; . 6-
> =r — arc cos — — » y = y' = arc sin -
a sjti^ -\- c^ sin} -+- c^
Si l'inégalité / <^ - \/a* — c* n'est pas satisfaite, la première position d'équilibre existe seule.
Premier cas. / < - \/a' — c'.
Lorsque = o , les dérivées -— ? ■— sont positives, et
leur produit surpasse ( j ^ par conséquent , l'équi-
libre est instable. D'ailleurs u est une fonction continue de 9 ; d'où il suit que , si l'on fait croître la variable 9 d'une manière continue , on rencontrera alternativement un maximum et un minimum de la fonction. Les positions
déterminées par les valeurs 6 = zh arc cos — . sont
donc des positions d'équilibre stable.
SïATI<^l]E. 161
Deuxième cas. / "> - si a} -f- c' .
Lorsque = o, les dérivées yr-,' ;tt^ sont négatives, et
leur produit surpasse ( -jr-^ j ; par conséquent, l'équilibre est stable.
4. Deux points pesants P, P', réunis parun Jil sans poids, sont placés sur la surface com^cxe d'un cylindre horizontal. Déterminer la position d^équilibre, et dire si réquilibre est stable, ou s'il est instable.
Il est clair que tout le système doit être situé sur un même cercle vertical.
Soient P et P' les poids des deux points , ç et y' les angles que les rayons menés à ces points font avec la verticale, et a l'angle sous-tendu par le fil.
La position d'équilibre est définie par l'équation
«--,' P' — p a tangl-^ = pr— ptang-,
et l'équilibre est instable.
5. Un point matériel est attiré "vers deux centres fixes, par des forces proportionnelles à la m'*'"* puissance de sa distance à chacun de ces centres. Dire dans quel cas r équilibre est stable, et dans quel cas il est instable.
L'équilibre est stable si m est positif, il est instable si m est négatif.
