ÉQUILIBRE
1 . Un point matériel P éprouve de la part de deux centres fixes A e« B des attractions constantes aet^. Déterminer sa position d^ équilibre.
Soient
AP=r, BP = /, AB = a.
Prenons le point A pour origine des coordonnées, et la droite AB pour axe des x.
Écartons un peu le point P de sa position d'équilibre 5 et soient dr\ dr les variations des distances r, r'.
Nous devons avoir
<xdr -h pé/r' = o, où
xdx-h ydf
' = V^M-/, dr = •
sjx^-^y-
n r. ; , / — (^ — x) dx -^ rdr
^[a-xY-^-y^ Substituant ces valeurs , il vient
xdx-\-YdY ^ — (a — x)dX'\-YdY yjx^ H- j» \J{a — xy -h y*
Ici dx et dj sont arbitraires , comme le déplacement imprimé 5 par conséquent, leurs coefficients doivent être séparément nuls,
CLX p (a — x)
^y I Pr
^x'^r^ s/{a -^xY-^-X'
STATfQDE. 145
La dernière équation donne j)^ = o, et la première exige que j3 soît égal à a.
Ainsi réquilibre n'est possible qu'autant que les attractions sont égales*, et, dans ce cas, le point attiré peut être placé partout où Ton voudra sur la ligne qui joint les centres d'attraction.
EuLER, Mèm, de VAcaiL de Berlin \ i^Si ; p. i84»
2. UriG tige rigide et sans poids AOB appuie son extrémité inférieure A con- ^ tre une rainure verticale , porte sur un clou horizontal O, et soutient un poids connu P à son extrémité supérieure.
Déterminer la position d^ équilibre, ainsi que les pressions exercées par le clou et par la rainure.
Soient a la longueur de la lige AB5 b la distance horizontale du clou à la rainure 5 X la longueur de la partie AO ^
r la distance de Textrémité B à l'horizontale du support O ;
R la pression supportée par la rainure \ S la pression supportée par le clou.
La pression R est horizontale et la pression S est perpendiculaire à la tige.
Supposons que l'extrémité A glisse un peu le long de la rainure sans que la tige abandonne le clou 5 alors le nxoment virtuel de la force R est nul, celui de la force S est un infiniment petit du second ordre, et Ton a simplement
P rf/ = o , dy = 0.
Or
rtZ»^ — x^
l46 MÉCANIQUE RATIONNELLE.-
donc
ab^- — x^ = o, x=z\Jab^.
Cette valeur de x détermine la position d équilibre.
Déterminons les pressions ; pour cela, faisons glisser la tige le long de la rainure, de manière qu'elle reste parallèle à elle-mt^me. Soit a le chemin parcouru. Il vient
h — - Pa-^S-a = o;
d*où
Nous obtiendrons la pression R , si nous déplaçons la tige dans le sens de sa longueur. Soit j3 le chemin parcouru. Nous avons
R- P — Pp ^- = o;
d*où
EuLER, Mém. de VAcad, de Berlin; 1751; p. 196
3. Un point pesant, placé sur un plan incliné, est sol^ licite par une force F de direction connue. Déterminer, dans le cas d'équilibre, V intensité de la force F et la pression exercée par le plan.
Soient P le poids du point, a Tinclinaison du plan sur Thorizon , a -h £ celle de la force F, et R la pression exercée par le plan sur le point.
Déplaçons le point sur le plan incliné et nommons /3 le chemin parcouru. Il vient
Ffcosï — Ppsina = o;
d'où
„ « sina
coss
Déplaçons le point horizontalement d'une quantité â. Il vient
R ^ sin a — FS cos (a H- e) = o ; d'où
j^ . p cos (g -h g) __ p cos (g -h sing cosc
EuLER, Mém. de VAcad. de Berlin; lySi ; p. 191.
4. Une tige rigide et sans poids AOB peut tourner librement dans un plan vertical autour de son extrémité A, qui est fixe y et porte un poids P à son extrémité inférieure B, La tige est soutenue au point O par un ressort disposé suii^ant un arc de cercle décrit de A comme centre, et dont la force de contraction est proportionnelle à l'inclinaison de la tige sur V horizon. Déterminer la position d'équilibre.
Soient a la longueur de la tige, b la distance AO de l'extréinité fixe au point d'application du ressort, y l'inclinaison de la tige sur l'horizon, E la force de contraction du ressort lorsque l'angle y a la valeur a. La force de contraction correspondante à un angle quelconque y
£0 sera — ï-
Faisons tourner la tige d'un angle très-petît autour de son extrémité fixe. Il vient
P a cosç rftp ' bd(f = o •
d'où
ces ^ E ^
(j> VaoL
l48 MÉCANIQUE RATlORBrELLE.
Telle est Téquadon qui détermine Taiigle f , dans Télat d^équilibre.
ErLES, iâém. fie V Acad, de Berlin; 1751; p. ig6.
5. Une barre pesante kh! A'' B B pose son exirémàé inférieure A sur un plan horizontal, et s* appuie en A', A'^ sur deux chevilles horizontales perpendiculaires à sa longueur; la première chei^dle A' est au-dessus de la barre y la seconde est au-dessous. Déterminer les pressions R , R', R'' exercées par le plan et les deux chenilles A', A".
Soient a Tinclinaison de la barre sur Thorizon , P son poids , G son centre de gravité , A' G = a , A A' = A, A'A''=c.
Faisons glisser la barre dans le sens de sa longueur et d'une quantité quelconque j3. Il vient
RBsina — P^sina = o,
Pour trouver la pression R', faisons glisser la barre sur le plan d'une quantité très-petite, en même temps qu elle tourne autour de la cbeville A^ et s'éloigne de la cheville A'« Ce mouvement peut se décomposer en deuic autres : l'un de glissement dans le sens de la longueur de la barre, l'autre de rotation autour de A'^. Le premier mouvement a déjà été considéré , et le second nous donne
— R (^ -H r)cosa^a H- R'crfa -|- P(c — a) cosar/a =r o;
d'où
R' = ^^Pcosa.
Nous obtiendrons R^^ si nous faisons glisser légèrement la barre le long du plan , en même temps qu'elle tourne au-
STATIQIJE. * l49
tour de A' et s'éloigne de A". 11 vient
- R^ coSa</a — Pa cosada •+- R" cda. = o;
d'où
R"==l±^Pcosa = R'
6. Un fil de longueur donnée, situé dans un plan vev^ ticaly passe sur une très-petite poulie fixe A , et porte à ses extrémités deux poids P et P' qui reposent sur deux courbes S etS\ La première courbe est connue, et r équilibre du système subsiste, quel que soit le point de cette courbe sur lequel ou place le poids P. On demande de déterminer la seconde courbe S', Le poids du fils peut être négligé*
Soient / la longueur du fil PAP', p et p' les longueurs des parties AP et A'P', 9 et y' les inclinaisons de ces fils sur la verticale, et y (p, ç) = o Téquation de la courbe donnée.
Faisons glisser légèrement le poids P sur sa courbe-,
nous aurons
Pr/.p cosç -f- P'f/.p'cos^' = o.
Cette relation subsiste en tout point des courbes S et S' 5 on peut donc Tintégrer, et il vient
Pp coS(p -{- P'p' cos<p' = const. = C; d'ailleurs
Si Ton élimine les quantités p et (p entre ces deux relations et Téquation
/(>, ?) = o, Téquation finale
représentera la courbe cherchée.
Jean Beenoulli, Jeta eruclU.\ lôgS, Ffbr., p. 59; Leibnitz; ib,y Apr., p. 184.
L'HospiTAL; ib,j Suppl., l. II, secl. vi, p. 289.
l3o MÉCAJNIQUE RATIOJNNELLE-
7. Quatre barres homogènes AB , BC , CD , DE réunies bout à bout par des charnières sont en ^ équilibre dans un plan vertical.
Les extrémités A , E sont engagées dans deux charnières fixes situées sur une même horizontale. Les barres inférieures AB, DE sont égales entre elles; les deux barres supérieures sont pareillement égales. Déterminer la relation qui existe entre les angles que les barres inférieures et les barres supérieures forment auec l'horizon. Soient 2 a la longueur des barres inférieures , a b celle des barres supérieures, P le poids des premières barres, Q celui des secondes, a l'inclinaison des premières sur rhorizon , |3 celle des secondes, et h la hauteur du centre de gravité du système au-dessus de l'horizontale AE.
(P-h Q) A = Pasina H- Q(2asina H- bsmp).
Puisque l'équilibre a lieu, h est un maximum ou un minimum , et , par conséquent ,
(F) 0= (P 4- 2Q)ûCOSa^/a H- Q^cosp</p.
D'ailleurs, la distance AE étant invariable, sa di/Térenlielle est nulle , c'est-à-dire que Ton a
G =r fl?.(4«cosa-|- 4^cosp) = asinadcx. -|- bsin^dp. Multiplions l'équation (F) par sina sin|3, et lirons de l'équation résultante la valeur de tanga-, ayant égard à notre dernière formule , nous trouvons
PH-2Q tanga = — ^Stangp.
C'est la relation cherchée.
Si P = Q, il vient
tanga = 3 tangp (').
f ) Voir page 98, prob. /|.
STATIQUE. IJI
8. Une harre pesante AB repose langentiellement sur une courbe dont le plan est vertical y et appuie son extrémité A contre un autre plan X vertical perpendiculaire au premier^ la courbe est de telle nature, que la barre reste en équilibre, quelque soit son point de contact. On demande de troui^er l'équation de cette courbe.
Soient G le centre de gravité de la barre et a la distance du point G à l'extréniité A. Prenons la verticale du point A pour axe desj^^ désignons par x^yles coordonnées du point de contact sur la courbe, et par y' l'ordonnée du centre de gravité de la barre.
La Géométrie nous donne l'équation
/ ds\ dy dr dy
Puisque l'équilibre a lieu, la dérivée de j' par rapport à X est nulle,
^ d'y d'y ^ dx'
Mm
et puisque l'équilibre a lieu quel que soit le point de contact , cette équation convient à tous les points de la courbe cherchée. Cette même équation se partage en deux autres: Tune ,
l52 MÉCÂSIÇUE RATtOAUbELLE.
représente une ligne droite quelconque ; l'autre ,
a pour intégrale
jr-i-^a*— a*j zzrconst.
sa Ton prend pour axe des x la position que la barre occupe lorsqu'elle est horizontale, la constante est nulle, et l'équation de la courbe cbercbée se réduit à celle-ci , i. i '
Cette courbe est l'enveloppe d'une droite de longueur constante a, dont les eTstrémités se meuvent sur deux droites rectangulaires.
9. Un point matériel O est sollicité par plusieurs forces; chaque force est représentée par une droite de
même direction et proportionnelle à son intensité; à l'extrémité de chaque droite sont fixés des points matériels de poids égaux. Démontrer que, pour que le point O soit en équilibre, il faut et il suffit que ce point coïncide avec le centre de gravité des poids placés aux extréhtités des droites.
Ce théorème est dû à Leibnilz (*)5 M. Chasles (') Ta beaucoup généralisé.
10. Une barre AB appuie l'une de ses extrémités A contre un plan vertical, tandis que l'autre extrémité B repose sur une courbe; la barre reste en équilibre y quel
(*) Journal des Savants ; 1693. — Opéra , t. III, p. 383.
(') Bulletin de V Académie des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles; i84o; II* partie ; p. 261. — Correspondance mathématique ^ t. V, p. io6> loSj 1829.
STATIQUE. " l53
que soit. le point de la courbe sur lequel elle repose, Troui^er l'équation de la courbe.
Soient a la longueur de la barre et c la distance de son «entre de gravité à l'extrémité B.
Si Ton prend la verticale du point A pour axe des f^ et que Ton dispose l'origine de manière que Taxe des x coïncide avec la barre, lorsque celle-ci est horizontale,
équation d'une ellipse.
1 1 . Une barre homogène appuie son extrémité injé^ rieure sur un plan horizontal y et son extrémité supérieure contre un plan vertical^ à l'extrémité inférieure est attaché un fil horizontal y qui s'enroule sur une très-petite poulie située sous la barre , et supporte un poids Q. Dé~ terminer la position d'équilibre.
Si l'on nomme P le poids de la barre et B l'inclinaison de la barre sur l'horizon , on trouve
tango = ^.
Cette équation détermine la position d'équilibre.
12. Un point matériel est attiré par deux centres fixes en raison inverse du carré de la distance. Trouv^er Inéquation de la surface sur laquelle il faut placer le point, pour qu'il reste en équilibre.
Soient [i et fx' les attractions des deux centres à Tunité de distance , /* et r' les distances de ces centres à un point quelconque de la surface cherchée.
On trouve l'équation
a II
- -f- S = const.
l54 MÉCANIQUE RATIONWELLE.
13. Une barre homogène AB peut tourner librement autour de son extrémité A comme charnière *j à Vautre extrémité est attaché un fil qui s^ enroule sur une trèspetite poulie, et supporte un poids Q. La poulie est située verticalement au-dessus de V extrémité fixe A, à une distance connue b^ on connaît aussi la longueur du fil l. Trouver une courbe de telle nature , quil suffise de poser le poids Q sur cette courbe, partout ou Von voudra^ pour que le système soit en équilibre. On néglige le poids du fil.
Soient 2a la longueur de la barre, P son poids, p la distance de la poulie à un point quelconque de la courbe cherchée, et l'angle que ce rayon fait avec la verticale.
L'équation de la courbe est en coordonnées polaires
Pp'-h 2p (2 6Qcosd — P/) = const.
Sauveur proposa ce problème à FHospital, et celui-ci en donna la solution dans les Acta eruditorum, 1695, Febr., p. 56. Jean Bernoulli fit observer que la courbe est du genre épicycloïde («è., p, Sp).
Supposons, par exemple, les données telles, que la constante arbitraire soit nulle. Alors, si nous posons, pour abréger.
Inéquation de la courbe devient
p =: 2/ — 2p ces ô.
C'est Féquation de l'épicycloïde qu'engendre un cercle de rayon /, roulant extérieurement sur un cercle égal, lorsque la distance du point décrivant au centre du cercle mobile, auqueHlest invariablement lié, est égale kp.
Ce problème peut être utile pour la construction des ponts-levis.
STATIQUE. l55
SECTION II
STABILITÉ DE l' ÉQUILIBRE.
i . Une barre AGB, mobile autour de son extrémité A , est soutenue par un fil qui est attaché à son centre de grauitéG^ passe sur une très-petite poulie C, et porte un poids Q. La poulie est située sur la veiticale de l'extrémité A , à une distance AC égale à celle du centre de gratuité AG. Déterminer la position d* équilibre stable et celle d^ équilibre instable. On néglige le poids du fil.
Soient a la distance AC ou AG , / la longueur totale du fil GCQ, P le poids de la barre, et Q l'angle ACG ou AGC.
La dislance du centre de gravité du système à l'horizontale menée par la poulie C est égale à la fraction
P(a H- ÛCOS2 0) +Q(/— 2acosd)
Cette distance sera maximum ou minimum en même temps que la quantité
Pcos2 6 — 2Q cosô.
Si nous représentons cette quantité par w, nous avons
— ==— 2P8in2e H- 2Qsin0.
Cette dérivée doit être nulle pour que l'équilibre ait lieu \ par conséquent, dans les positions d'équilibre,
= 0, ou COSÔ = -T=;- ' 2 P
Examinons laquelle de ces deux valeurs de l'angle 6 correspond à l'équilibre stable, laquelle à l'équilibre instable.
l56 MÉC4MQUE RATIOMMELLE.
On a
— — = — 4Pcos20 -h 2QCOSÔ,
et, si l'on pose 6=0,
de là il résulte que , pour fl = o, l'équilibre sera stable ou instable, suivant que Ton aura
Q<2P ou Q>2P.
Si dans la valeur générale de -—y mise sous la forme
fi* Il
-— = — 4P(2cos*G — 1)4- 2QC0SÉ
on pose
2P il vient
fTju 4 P> — Q« €ie^ " P
Cette quantité est positive lorsque Ton a Q <^ aP ou, ce qui est la même chose , lorsque l'angle 9 déterminé par l'équation
COS ô = -7; 2P
est réel 5 d'où il résulte que cette- seconde valeur de Tangle 6 ne saurait correspondre qu'à un état d'équilibre instable.
2. Une barre homogène AB s'appuie par ses extrémités sur deux plans inclinés y et est en équilibre. Dire si Vé- — -^!::^„.I — qidlibre est stable ^ ou s^il est instable.
Soient 20 la longueur de la barre , 6 son inclinaison sur
rhorizon, a, a' les inclinaisons des deux plans CA, CB, et supposons que a! soit plus grand que a.
La distance du centre de gravité de la barre, au plan horizontal qui contient l'intersection des deux plans inclinés , a pour expression
a sine
sin(a' — 6) .
2 a . \ , — T sm a
sin (a -h a) '
= -: — ;-- : [sin (a' — a) sin -4- 2 sin a' sin a ces 1.
sin(a-4-a)'- ^ ^ -•
Cette distance sera maximum ou minimum, en même temps que la quantité
Or
sin (a' — a) sin ô -h 2 sin a' sin a ces ô =r a.
--- = sin (a' — a ) cosO — a sin a' sin a sin 6 ,
et celte dérivée doit être nulle pour que l'équilibre ait
lieu ; par conséquent,
sin ( a' — a ) tango = — H^ — 7—, — - • 2 sm a sm a
Puisque le second membre est positif, Q est plus petit que
— Ceci posé , la dérivée seconde
== — sin (a — a) sinô — 2 smasma' cosô
est négative pour une valeur de 9 inférieure à -; donc
l'équilibre est instable.
3. Une lame carrée et homogène KLMN est soutenue par un fil qui est attaché en deux points K', U situés sur une arête de la lame y à égale distance ^** des extrémités; tout le système est supporté par un crochet C qui s^engage
l58 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
dans le fil. Déterminer les circonstances de V équilibre. On néglige le poids du fil.
Soient G le centre de la lame \
GH une perpendiculaire à ¥11] \
u le double de la distance du point G à l'horizontale qui passe au crochet ;
ô Tangle que cette perpendiculaire fait avec la verticale 5
(f et y' les inclinaisons des fils CK' et CL' sur la verticale;
c le côté du carré 5
a la distance K'L' des deux points d'attache;
/ la longueur totale du fil ;
/ et y les longueurs des parties CK' et CL'.
La Géométrie nous donne
uz=z c ces 4- X CCS ç 4- V ces f ',
a cosô == > sin® 4-X'sincp',
fl sin ô = X cos(j) — V ces (p',
