CHAPITRE PREMIER

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE MOUVEMENT d'uN SYSTÈME DE FORME INVARIABLE.

M. Chasles a montré le premier que tout mouvement infiniment petit d'une figure dans un plan , se réduit à une rotation autour d'un point fixe de ce plan •, le même géomètre a publié, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences pour i853 , les énoncés d'un grand nombre de théorèmes remarquables sur le mouvement infiniment petit d'un corps solide. Ce sont ces théorèmes, joints à quelques propositions éparses dans les différents écrits de cet auteur, qui feront l'objet de ce chapitre.

Nous ne considérerons en général que les mouvements infiniment petits d'un système de forme invariable. Toutes nos démonstrations seront fondées sur le principe des in-

( ' ) Essai sur la classification des sciences. (•) Théorie nouvelle de la rotation des corps.

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finiment petits, que nous supposerons toujours présent à Tesprît du lecteur. Les points de notre système décriront en général des trajectoires infiniment petites du premier ordre ^ les lignes décriront des angles infiniment petits du même ordre ; mais , si nous montrons qu'un point particulier ne décrit qu'une trajectoire infiniment petite du second ordre, nous conclurons immédiatement que ce point reste immobile : ce qui est tout à fait rigoureux.

4*. Considérons une figure plane assujettie à rester dans un même plan , une droite tracée à volonté sur cette figure, et deux points a et b pris sur cette droite. Déplaçons la figure d'une manière quelconque. Soient a' et £' les nouvelles positions des points a et b sur le plan fixe, et m le point du plan où se coupent les deux positions de la droite. Nous pouvons supposer les points aetb choisis de telle sorte, qu'avant le mouvement, le point b de la droite coïncide avec le point m du plan, et qu'après le mouvement, la nouvelle position a^ du point a coïncide avec le point m. Ceci posé, élevons une perpendiculaire sur le milieu de û/n, et une autre perpendiculaire sur le milieu de mb^] ces deux droites se couperont en un point F, centre du cercle circonscrit aux points a, (a', b) , i', et il est clair qu'on pourra amener la droite de la première position à la seconde, par une rotation convenable autour du point F. Or la position de la droite détermine celle de la figure. Donc, toute Jigure plane y assujettie à rester dans un plan, peut être amenée d^une position donnée à une autre position prise à vo^ lontéy par une simple rotation autour d'un point convenablement choisi.

Admettons maintenant que le déplacement imprimé soit infiniment petit. Alors la trajectoire infiniment petite du point a se confond avec la droite aa^ ou am^ et

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celle du point b avec la droite ii'ou mi' 5 par suite, le mouvement est en réalité une rotation autour de l'intersection des normales aux trajectoires des deux points aelb. De là il suit que les noimales aux trajectoires de tous les points de la figure passent en un même point F. Ce point se nomme, suivant Euler, le centre instantané de rotation. Le pied de la perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation sur une courbe qui fait partie de la figure , est Tinterseetion des deux positions successives de la tangente à la courbe en ce point , ou , ce qui est la même chose, il est Tintersection des deux positions successives de la courbe.

2*. Considérons toujours une figure plane assujettie à rester dans un même plan , et supposons que l'on donne à cette figure un nombre quelconque de positions différentes. Marquons dans le plan fixe les points F, F', etc., autour desquels on doit faire tourner la figure, pour Tamener, par de simples rotations, de la première position à la seconde, de la seconde à la troisième, et ainsi de suite. Marquons aussi sur la figure les points/",/', etc., qui sont tour à tour les centres de ces rotations successives , et joignons par des droites les pjbints F, F', etc., et les points de la figure/, /', etc. Il est évident qu'on peut faire passer la figure par toutes les positions données , en faisant rouler le polygone//'... sur le polygone FF\...

Maintenant, supposons que les positions données de la figu re soîen t i nfin i ment voi sines et infini men t nombreuses . Alors, les polygones//'... et FF'... se réduisent à deux courbes, et comme il n'est qu'un seul mouvement capable de faire passer la figure d'une manière continue par toutes les positions données, il en résulte que tout mouvement d'une figure plane dans un plan se réduit au roulement d'une courbe liée ai^ec la figure sur une autre courbe fixe

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dans le plan. Le point de contact des deux courbes est à chaque instant le centre instantané de rotation.

3*. Si , dans le théorème \ , on remplace la figure plane par une figure sphérique assujettie à rester sur une sphère fixe, et que Ton remplace les droites par des arcs de grands cercles , on obtient. des théorèmes correspondants , et en particulier celui-ci : Tout mouvement infiniment petit iï une figure sphérique sur une sphère fixe se réduit à une rotation autour d'un point de la sphère comme pôle.

4*. De là il résulte, comme au théorème 2, que le mouvement le plus général que Ton puisse donner à une figure sphérique assujettie à rester sur une sphère fixe, consiste à faire rouler une courbe liée avec la figure sur une courbe fixe tracée sur la sphère.

Si l'on conçoit que la figure sphérique soit liée avec un corps solide retenu par le centre de la sphère, on conclura ([ue le mouvement le plus général d'un corps solide retenu par un point fixe ^ se réduit au roulement d'un cône lié avec le corps sur un autre cône fixe dans P espace. Ces deux cônes ont leur sommet commun au point fixe, et leur génératrice de contact est à chaque instant Vaxe instantané de rotation,

5. Étudions les mouvements infiniment petits d'un corps solide et libre dans l'espace.

Considérons d'abord un corps solide qui reçoit un déplacement infiniment petit, et un plan lié invariablement à ce corps; traçons une figure sur ce plan, et examinons le mouvement de la projection de cette figure sur la position primitive du plan. Cette projection reste identique à elle-même 5 donc (théorème 1) les normales aux trajectoires de ses différents points passent toutes en lui même point. Ces normales coïncident avec les traces des plans normaux aux trajectoires des points de la figure primitive

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dans l'espace ^ par conséquent, un plan étant considéré comme faisant partie du corps y les plans normaux aux trajectoires de ses points passeront tous par un même point de ce plan. Nous nommerons ce point le foyer àxi plan.

Ce qui distingue le foyer d'un plan de tous ses autres points, c'est que sa trajectoire est perpendiculaire au plan.

6. Les points qui appartiennent à l'intersection de deux positions successives du plan ont leurs trajectoires situées dans le plan \ car ces points appartiennent à la première position du plan , avant et après le mouvement. Au reste, sî trois points non situés en ligne droite avaient leurs trajectoires dans le plan , le plan n'aurait fait que glisser sur lui-même. Donc, il existe dans le plan une infinité de points dont les trajectoires sont situées dans le plan même; tous ces points sont situés sur l'intersection de deux positions consécutii^es du plan. Nous appellerons cette droite la caractéristique du plan , suivant une expression employée par Monge dans la théorie des surfaces développables.

7. Les foyers de deux plans se trouvent sur l'intersection des plans normaux aux trajectoires de deux points pris à volonté sur l'intersection de ces deux plans. Par conséquent, lorsque plusieurs plans passent par une même droite D, leurs foyers sont sur une deuxième droite A*, réciproquement,, si plusieurs plans passent par cette droite ù , leurs fojers seront sur la première droite D j de sorte ([ue ces deux droites jouissent de propriétés réciproques. Nous appellerons ces deux droitcsD, A , droites conjuguées.

8. Il résulte de la définition même du foyer que , quand plusieurs plans passent par un même point, leurs fojers sont tous sur un même plan , qui a son foyer en ce point.

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9. Si nous supposons dans le théorème 7 que la droite D soit située a Tinfini , nous aurons des plans parallèles dont les foyers seront sur une même droite A ; et comme cette droite a sa conjuguée située à Tinfini, il en résulte qu'elle se meut parallèlement à elle-même; d'ailleurs , il est clair que toutes les droites qui se meuvent parallèlement à elles-mêmes sont parallèles- entre elles. Donc, quand plusieurs plans sont parallèles entre eux y leurs foyers sont sur une droite qui est toujours parallèle à un même axe , quelle que soit la direction commune des plans.

10. Si tous les plans parallèles sont perpendiculaires à la direction de cet axe, leurs foyers seront sur une certaine droite X, qui glissera sur elle-même pendant le mouvement du corps.

Pendant ce glissement de la droite X sur elle-même, le corps ne pourra que tourner autour d'elle. On peut donc dire que tout mouvement infiniment petit d'un corps solide libre se réduit à un mouvement de rotation autour d^un axe qui glisse sur lui-même pendant cette rotation^ de sorte que le mouvement du corps n'est point autre chose que le mouvement d'une vis dans son écrou.

\ \ . Lorsqu'un plan tourne autour d'une droite fixe , située dans ce plan, tous ses points décrivent des trajectoires qui lui sont perpendiculaires. Donc, si nous considérons les plans qui passent par la droite D , en ayant égard au théorème 7, nous voyons que, par une rotation convenable autour de cette droite , nous pouvons amener les foyers de ces plans, ou la droite A, dans la position même quMls occupent après le mouvement infiniment petit du corps 5 alors, pour placer le corps dans la position qu'il doit avoir après ce mouvement , il suffira de lui faire éprouver une seconde rotation autour de la droite A.

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De là il suit que les deux droites conjuguées D e^ A sont deux axes de rotations simultanées quon peut imprimer au corps pour effectuer son déplacement.

12. Il résulte du théorème 7, que la caractéristique d'un plan a pour conjuguée la tangente à la trajectoire du foyer de ce plan,

13. D'après les deux théorèmes précédents, on voit que la caractéristique d'un plan ne peut que tourner autour du foyer de ce plan , considéré comme un point fixe. Or, pendant ce mouvement, le plan ne peut que tourner autour de sa caractéristique. On peut donc dire, en général, que tout déplacement infiniment petit d'une figure plane dans l'espace se réduit à une rotation du plan de la figure autour d'une droite de ce plan, pendant que cette droite tourne elle-même autour d^un point fi^xe, sans sortir de la position pnmitive du plan,

14>. Soient a un point du corps , et a' la position que ce point occupe dans l'espace après un mouvement infiniment petit. Considérons la droite aa', invariablement liée au corps. Après le mouvement infiniment petit, elle passe encore au point a' ; par conséquent, les deux positions de cette droite sont dans un même plan. Si nous considérons ce plan comme invariablement lié au corps , sa caractéristique sera la droite aa' (théorème 6). Cette droite, dans sa première position , est tangente à la trajectoire du point a.

De là résulte ce théorème : La tangente à la trajectoire d'un point jouit de la propriété d'être la caractéristique d'un plan^ et réciproquement, il est clair que la caractéristique d'un plan est tangente à la trajectoire d'un de ses points, savoir le pied de la perpendiculaire abaissée du Joyer sur la caractéristique (théorème 13).