SoitD une droite normale à la trajectoire d'un de
I^O MÉCANIQUE RATIO J^i «ELLE.
ses points a. Si nous projetons cette droite sur un plan lixe qui lui soit parallèle , la projection de la droite, avaot et après le mouvement infiniment petit, sera perpendiculaire à la projection de la trajectoire du point a-, d'où il résulte (ihéorème 2), que la projection de la droite tourne autour de l'un de ses points qui est fixe. Dès lors, si dans le théorème 7 on considère le point a et le point dont la projection est fixe, on voit que la droite D est elle-même sa conjuguée A, et quelle est normale aux trajectoires de fous ses autres points ,
16. Il suit de là que, quand une droite de longueur constante se meut dans l'espace , de manière à être toujours normale à la courbe décrite par l'une de ses extrémités, elle est normale aussi à la courbe décrite par son autre extrémité. Quand, sur une surface engendrée par une ligne droite, on trace deux courbes qui coupent à angle droit toutes les génératrices , les segments de ces droites compris entre les deux courbes sont tous égaux entre eux.
17. Une droite qui s'appuie sur deux droites conjuguées D, A, est norniale aux trajectoires de l'un quelconque de ses points d'appui (théorème 7)^ par consé- ([uent, celte droite est normale aux trajectoires de tous ses points.
18. Lorsqu'une droite D' s'appuie sur une autre droite D, et jouit de la propriété d'être normale aux trajectoires de tous ses points , elle s'appuie sur la droite conjuguée A, car les droites D' et A sont situées dans le plan perpendiculaire à la trajectoire du premier point d'appui (théorème 7).
On voit, par les deux théorèmes précédents, que deux droites conjuguées D , A , et deux autres droites conjuguées quelconques D', A', sont toujours quatre généra-
CINÉMATIQUE. I^I
trices d'un même mode de génération d'un hyperholoïde à une nappe ^ c'esl-à-dire que toute droite quî s'appuiera sur trois de ces lignes rencontrera nécessaire tnent la quatrième.
19. Lorsqu'une droite rencontre Taxe de rotation X et lui est perpendiculaire, tous les points de cette droite décrivent des trajectoires normales à cette droite même (théorème 10).
Il en résulte, eu égard au théorème précédent, que tout plan perpendiculaire à l'axe de rotation X rencontre deux droites conjuguées quelconques D , A et Taxe lui-même , en trois points qui sont en ligne droite j ou, en d'autres termes, par deux droites conjuguées D, A, e£ par l'axe de rotation y on peut faire passer un paraboloïde hyperbolique dont les génératrices soient perpendiculaires à cet axe,
20. Dans un paraboloïde hyperbolique, trois génératrices d'un même système X, D, A sont parallèles à un même plan 5 donc la génératrice de l'autre système qui est perpendiculaire à X et à D , est aussi perpendiculaire à A.
Ainsi , la droite par laquelle se mesure la plus courte distance de deux droites conjuguées D, A, rencontre l'axe de rotation , et lui est perpendiculaire,
21 . Ce dernier théorème permet de troui^er Vaxe de rotation X, quand on connaît en direction les trajectoires de trois points du corps. En effet, soient a, i, c ces trois points, l^es plans menés par a et b perpendiculairement aux trajectoiresdeces points secouperont suivantune droite «(3 qui sera la conjuguée de la droite ab. On cherchera la droite qui mesure la plus courte distance des deux droites aft, aj3; elle s'appuiera sur l'axe cherché X, et lui sera perpendiculaire. On déterminera de même, avec
les deux points a, c ou &, c, une autre droite jouissant des mêmes propriétés', laxeX sera donc déterminé.
22. Quand plusieurs droites D, D', c/c, passent par un même point ^ leurs conjuguées A, A', etCy sont dans un même plan qui est normal à la trajectoire de ce point (théorème?). Réciproquement, quand plusieurs droites sont dans un même plan, leurs conjuguées passent toutes par un même point qui est le foyer de ce plan (théorèmes 5 et 7).
23. Nous pouvons considérer un système de droites parallèles comme les intersections de deux systèmes de plans parallèles 5 par conséquent, il résulte du théorème 9 que, quand plusieurs droites sont parallèles entre elles, leurs conjuguées sont dans un plan parallèle à l'axe de rotation.
24. Lorsqu'une droite D est située dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation , toute droite menée dans ce plan par Taxe de rotation rencontre la droite conjuguée A (théorème 18); d'ailleurs, deux droites conjuguées ne sauraient être dans un même plan (théorème 7) , à moins qu'elles ne coïncident. Donc , quand une droite est située dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation, sa conjuguée passe par le point où le plan rencontre cet axe. Réciproquement, si une droite rencontre l'axe de rotation en un point ^ sa conjuguée est située dans le plan mené par ce point perpendiculairement à l'axe,
25. Quand une droite est tangente à la trajectoire de l'un de ses points a , sa conjuguée est située dans un plan perpendiculaire à la première, savoir le plan dont le point a est foyer. Si Ton rapproche cette remarque du théorème 14, on conclura que, quand une droite est
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tangente à la trajectoire et un de ses points ^ sa con^ juguée est aussi tangente à la trajectoire d'un de ses points. Ces deux droites sont à angle droite et la droite qui mesure leur plus courte distance est celle qui joint les deux points aux trajectoires desquels elles sont tan^ gentes.
En d'autres termes, quand une droite est la caractéristique d!un plan y sa conjuguée est aussi la caracténstique d'un autre plan. Ces deux plans sont à angle droit ^ le foyer du premier est sur la deuxième droite, et le foyer du second sur la première droite. La droite qui joint ces deux foyers est celle qui mesure la plus courte distance des deux droites.
11 résulte de là et des théorèmes 14 et 20, que 1% perpendiculaire abaissée du foyer d'un plan sur la caractéristique rencontre Taxe de rotation X, et lui est perpendiculaire.
26. Considérons une droite qui s'appuie sur deux droites conjuguées, et un plan perpendiculaire à cette droite. Le pied de la droite sur le plan se meut perpendiculairement à la droite (théorème 17) 5 sa trajectoire est donc située dans le plan même, c'est-à-dire qu'elle appartient à la caractéristique du plan (théorème 6).
En d'autres termes , deux droites conjuguées quelconques étant projetées orthogonalement sur un plan quelconque, leurs projections se coupent en un point situé sur la caractéristique du plan.
27. Considérons un plan, et sur ce plan les traces de deux droites conjuguées. Si, par le foyer du plan, on mène une droite à l'une des deux traces , cette droite passera par la seconde trace (théorèmes 15 et 18)5 par conséquent, deux droites conjuguées rencontrent un plan
quelconque en deux points qui sont toujours en ligne droite avec le foyer du plan.
28. Etudions maintenant les relations de grandeur qui existent entre les divers éléments dont nous venons de considérer les situations relatives.
Soient u la rotation du corps autour de Taxe X:
6 la translation de cet axe dans sa propre direction, c'est-à-dire l'espace décrit par chacun de ses points^
O et il les rotations autour de deux droites conjuguées Det A5
(D, X), (A, X), (D, A) les angles que font entre elles les droites D, X -, A, X ^ D, A5
r la plus courte distance de la droite D à l'axe X *,
p la plus courte distance de la droite A au même axe. r-^p sera la plus courte distance des droites D et A (théorème 20).
Portons sur les axes D, A , X des lignes proportionnelles aux rotations qui ont lieu autour de ces axes, et regardons ces droites comme nous représentant les rotations respectives. On sait que nous pouvons composer ces lignes comme si elles représentaient des forces j on sait aussi qu'un couple de rotations est équivalent à une translation proportionnelle au moment de ce couple , et perpendiculaire à son plan.
Ceci posé, transportons les deux rotations O, îî au point où la droite qui mesure la plus courte distance entre les axes D, A rencontre l'axe X. Alors nous avons en ce point trois rotations O, îl, u, dont la dernière est la résultante des deux autres ( théorème 11) -, par conséquent
sin(A,X) sin(D, Xj sin(D,A) Nous avons fait naître, par ce transport, deux couples
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de rotations dont les moments sont Or et ilp. Projetons les translations que produisent ces couples, d'abord sur Taxe X, puis sur un plan perpendiculaire h cet axe 5 il vient
(2) Orsin(D, X) -h ilp'sin(A, X) -^ g,
(3) Orcos(P, X)— Upcos(A, X) = o.
Ces deux dernières équations nous donnent
^ r . .. x.^ sinfA,X)cos(D,X) I £ :r=Or sm D,X H / y\ ^ :
L ços(A,X} J
et, si Ton remplace O par sa valeur en fonction de u tirre des équations ( 1 ) ,
sin( A,X) [-. ^^ , sin(A,X)cos(D,X )-l
sin(l), A) L cos(A,X) J
D'ailleurs
(DA) -■r3(l)X) + (AX);
par conséquent
Ou trouverait de même
(5) i=rptang(D,X).
De ces formules nous tirons cette conséquence (théorème 8), que, un premier axe de rotation D étant pris à "volonté, V inclinaison du deuxième axe A sur l'axe central X ne dépendra que de la distance du premier axe à cet axe central.
Si la droite D est dirigée suivant la trajectoire d'un de ses points, la droite A sera dans le plan normal à cette trajectoire (théorème 7), et Ton aura
tang(A,X)tang(D,X)r= i;
d'où l'on tire, en faisant le produit des équations (4)
et (5),
rp z= -- z=z const.
29, Si nous nous servons des équations (i) pour éliminer Si de Téquation (2) , il vient
0(r-hp)sin(D, X)=:g,
ou encore, d'après les équations (i) ,
On(r-|-p)sin(D, A) = «v.
Le premier membre de cette équation est égal à six fois le volume du tétraèdre qui a pour arêtes opposées les deux lignes O, il, prises sur les axes D et A; par conséquent, 5i, sur deux droites D, A, on porte deux segments proportionnels aux rotations du corps autour de ces droites, le tétraèdre construit sur ces deux segments comme arêtes opposées aura son volume constant ( ' ) .
30. Projetons sur une droite D les trajectoires de ses différents points; les projections seront égales entre elles, et ne dépendront que de la rotation autour de Taxe simultané A. Soit p l'une de ces projections. Sa valeur sera
;? = n(r-hp)sin(D, A);
en sorte que l'équation du théorème précédent nous donne la relation
Op=z «y.
On en conclut que la rotation du corps autour d'une droite quelconque est en raison inverse du mou\^ement de cette droite estimé dans sa propre direction,
(») Voir p. 70,
CINÉMATIQUE. 177
Soient l'angle que la droite D fait avec la trajectoire d'un de ses points a, et qf la longueur de cette trajectoire infiniment petite. On aura
/? = y ces ,
et, par conséquent,
O^cosG = su.
Si, par le même point a , on fait passer plusieurs droites D, D', etc., on aura
OcosO = 0'cose'= . . = — ;
d'où il suit que, si, sur différentes droites passant par un même points on porte, à partir de ce point, des segments proportionnels aux rotations du corps autour de ces droites, les extrémités de ces segments seront sur un plan perpendiculaire à la trajectoire du point ^ la rota-tion minimum aura lieu autour de la trajectoire du même point ^ et cette rotation, multipliée par la trajectoire du point y forme un produit constant , quel que soit le point,
31 . Considérons un plan V faisant pattie du corps en mouvement.
r la distance du foyer à Taxe de rotation X ;
p la distance de la caractéristique à cet axe;
O la rotation du plan autour de son foyer ;
il sa rotation autour de sa caractéristique;
X3 Tangle que le plan fait avec un plan perpendiciJaire à l'axe X.
Abaissons du foyer une perpendiculaire sur la caractéristique. On a vu (théorème 25) que cette droite rencontre l'axe X, et lui est perpendiculaire. Les extrémités
1^8 MÉCAMQIIE RATIONNELLE.
de celte droile sont animées do deux mouvenienls leiUuigulaires : run , parallèle à Taxe de rolalion , est égal à e ^ raiilre, perpendiculaire h cet axe, est égal àur pour l'extrémiléqui est au foyer, et à vp pour rextrémité qui est sur la caractéristique. Ces deux mouvements se composent en un srul, qui est perpendiculaire au plan P pour la première extrémilé, et qui est situé dans ce plan pour la seconde extrémilé. On a donc
^ftang
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tang
CT
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rp =
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