BC'=BC

On verrait de même que BC^' = BC.

Les autres proportions de Watt étaient les suivantes :

-A'A'' et iA'A% 0G = -.

AB compris enlre-A'A'' et -A'A% OG = -A'A".

De cette dernière valeur il résulte

igo MÉCANIQUE RATïOMNELÏ.E.

En efîet,

d'où

OA'' == (OG -h GA)'= ^^ -h (OG ~ GAy ;

4OG.GA = àJL^, GA = 4A?r = ^ ^ 4 16 OG 24

Ces proportions sont encore celles que Ton adopte de préférence aujourd'hui.

Le P. Carbonnelle, dans un Mémoire qui fait partie des Bulletins de r Académie royale de Belgique y t. XX , i853, s'est proposé le problème suivant: Trouver, dans des conditions de grandeur réalisables, les proportions du parallélogramme de Watt qui nssurent la plus grande étendue possible au inouy^ement circulaire du balancier et au mouvement rectiligne de la tige du piston y en même temps quelles donnent à ce dernier mouvement toute la rectitude dont il est susceptible. L'auteur arrive par l'analyse aux conclusions que voici : Le point G doit être situé à égale distance du point A et de la droite A' A'' 5 le point D doit être situé au milieu du demi -balancier OA^ le côté AB doit être pris aussi grand que la machine le comporte \ le rapport de la course du piston à la longueur du demi-balancier ne doit pas dépasser une certaine limite.

Ces résultats de l'analyse justifient admirablement les règles de Watt, qui n'étaient d'abord fondées que sur des tâtonnements nombreux.

^c Observons que, pour faire

O'*"""'"^ À — — -^^ décrire à la tige du piston une

courbe à longue inflexion, il n'est pas besoin d'un parallélogramme complet. En effet, soient OA le balancier qui

ClNÉMATigtE. igi

louine aulour de l'axe O, et BAC une lige ailiciilée en B, A et C avec la tige du piston, le balancier et une bride qui tourne autour de l'axe fixe O'. Les points ^^et C de la tige seront assujettis à se mouvoir sur deux circonférences fixes-, par conséquent, le point B décrira une courbe à longue inflexion. L'appareil ainsi construit se nomme parallélogramme simple. Pour le tracer, on marque la position moyenne et les positions extrêmes du point C, comme s'il s'agissait du parallélogramme de Watt 5 puis on fait passer un cercle par ces trois positions, et l'on prend le centre de ce cercle pour projection de l'axe de la bride.

9. Tracé des engrenages plans. — Un arbre de machine étant animé d'un mouvement de rotation quelconque, on propose de transmettre ce mouvement à un arbre parallèle, par un seul système de roues dentées, de manière que les vitesses angulaires des deux arbres soient à chaque instant dans un rapport donné. Tel est le problème des engrenages plans.

Les roues seront deux cylindres parallèles , qui auront pour axes de rotations les arbres réduits à des droites. Il s'agit de déterminer les bases de ces cylindres, sur un même plan perpendiculaire aux axes , de manière qu'elles puissent rester tangentes Tune à l'autre, en tournant autour de leurs centres avec des vitesses angulaires qui soient dans un rapport donné.

Soient O, O' les pieds des axes sur le plan des bases-, ce sont ces deux points que nous nommons les centres des bases. Prenons sur la \j^droitc indéfinie 00' un point A dont les distances aux deux centres soient dans le rapport inverse

ig^ MÉCANIQUE KATIOMIELLE.

des vitesses aDgnlaîrcs correspondantes. De O et O' comme centres, stcc OA et O' A poor rayons, décrivons deux circonférences; elles seront tangentes, et si elles tournent autour de leurs centres arec des vitesses angulaires dans le rapport donné, il est clair qu^elles rouleront lune sur Tautre sans glisser. Seulement , comme le point A admet deux positions , Tune extérieure à la droite finie OO', Tautre intérieure, dans la première position les circonférences tourneront dans le même' sens, et dans la seconde position elles tourneront en sens contraire. La première construction convient à un engre^ nage intérieur^ et la seconde à un engrenage extérieur. Comme ce dernier genre est le plus employé , nous le considérerons seul. Au reste, tout ce que nous dirons pourra s'appliquer aux engrenages intérieurs, sans autre modification qu'un changement de direction.

Les circonférences que nous venons de construire se nomment les circonférences primitives de Tengrenage. 11 nous reste à tracer les dents de ces circonférences par la condition que deux dents, primitivement en contact, restent tangentes, lorsqu'on fait rouler les circonférences Tune sur Fautre. On peut même supposer que l'une des circonférences reste immobile^, pendant que l'autre roule en entraînant son centre 5 car rien ne sera changé à la position relative des deux figures.

Ici le problème devient indéterminé ; car on peut se donner à volonté une courbe M'JN' liée à la circonférence O', déterminer l'enveloppe MN de cette courbe lorsque la circonférence O' roule sur la circonférence O; et alors, si l'on regarde M'N' comme le profil de la dent de la première circonférence , il est clair que MN sera le profil de la dent de la seconde circonférence.

Dans ce roulement de la circonférence O' sur la circonférence O, supposée immobile, le centre instantané de

CINÉMATIQUE. ig'i

rotation est le point de contact A 5 par conséquent, la normale abaissée de ce point sur la courbe M'N' la rencontre en un point de la courbe enveloppe MN. De là résulte une construction très-simple de F enveloppe MN ; des différents points C, E', etc., de la circonférence O' abaissez des normales CD', E'F', etc., sur la courbe M'N', et mesurez les angles y, e, etc., sous lesquels ces normales coupent la circonférence. A partir du point de contact A , portez sur la circonférence O des arcs AC , AE, etc., respectivement égaux aux arcs A'C, A'E', etc. 5 par les extrémités des arcs construits, menez des droites qui coupent la circonférence O sous les angles y, e, etc., et portez sur ces droites des longueurs CD, EF, etc., égales à CD', E'F', etc. Les points D, F, etc., appartiendront à la courbe MN. On déterminera de cette manière autant de points que l'on voudra.

La construction précédente peut être abrogée 5 car, si l'on observe que les droites CD, EF, etc., sont normales à l'enveloppe MN , on voit que, pour tracer cette courbe, il suffit de décrire des circonférences de C, E , etc., comme centres, avec des rayons égaux à CD, EF, etc., puis de tracer la courbe qui enveloppe toutes ces circonférences : ce sera la courbe cherchée..

Appliquons cette construction générale à quelques engrenages les plus employés.