Engrenage à lanterne

Dans ce système d'engrenages,

l'une des roues est formée de deux

tourteaux TT', réunis par des

fuseaux cylindriques égaux F, F,

parallèles à F arbre, et rangés en

\ cercle autour de celte droite.

Ainsi les dents de la circonférence O' sont de petits

cercles égaux M'N', don\, les centres sont régulièrement placés sur la circonférence.

Soit I le centre d'un de ces petits cercles. Lorsque la circonférence O' roule sur la circonférence fixe O, le point 1 décrit une épicycloïde, la normale à cette épicycloïde est aussi normale au cercle M'N'. Par conséquent, le profil MNdela dent correspondante est la courbe que Ton obtient en portant sur les normales à l'épicycloïde décrite par le point I des longueurs égales au rayon du petit cercle M' N'.

On énonce d'ordinaire ce résultat en disant, que les dents correspondant aux fuseaux ont pour profils des développantes d'épîcycloïdes. Il est clair, en effet, que ces profils ont même développée que Tépicycloïde décrite par le point I ; et comme cette dernière courbe a pour développée une autre épicycloïde (n° t>) , il en résulte que les profils sont des développantes de cette seconde épicycloïde.

H. Engrenage à flanc, — Les profils des dents de Tune des circon- ^férences primitives sont ses propres rayons.

Soit O' M' un rayon de la circonférence O', qui est profil d'une dent.

Amenons l'extrémité M' au point de contact des deux circonférences primitives , puis faisons rouler la circonférence O' sur la circonférenceO, supposée fixe. Nommons O', , M', les nouvelles positions de O', M', et A le nouveau point de contact. Sur O', A comme diamètre, décrivons une circonférence, et soit O'^son centre. Cette circonférence coupe le rayon O', M', en un point M qui appartient au profil cherché de la dent correspondante, et comme l'angle AO"M est double de Tangle AO', M', , l'arc AM est égal à l'arc AM', . De là il suit que, si l'on fait rouler en même temps les circonférences O', O'^ sur la

CINÉMATIQUE. JqS

circonférence O, eu leur conservant toujours le même point de contact, le point M où le flanc louche la dent correspondante restera fixe sur la circonférence C^ ce point décrira donc le profil de la dent correspondante au flanc. Ainsi la courbe cherchée est une épicycloïde.

Ceci n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général. Dans l'intérieur de la circonférence CV faisons rouler une circonférence O'', et prenons pour profil des dents de la première circonférence l'épicycloïde décrite par un point M de la seconde. Le profil des dents correspondantes Sur la circonférence O sera répicycloïde que décrirait le point M , si la circonférence O" roulait extérieurement sur la circonférence O. En effet, supposons que les circonférences O', O'' roulent simultanément sur la circonférence O supposée fixe, de manière à avoir toujours le même point de contact. Dans ce mouvement, le point M décrira sur le plan mobile de la circonférence 0' l'épicycloïde donnée, et sur le planfixedela circonférence O une épicycloïde qui enveloppe la première dans ses diverses positions. L'engrenage à flanc est le cas particulier où répicycloïde donnée se réduit à un diamètre (n*^ -4).

Dans le mouvement réel de l'engrenage, les circonférences O, O', O'^ roulent encore l'une sur l'autre en se touchant au même point, mais leurs centres restent fixes. Il en résulte que la circonférence O'' est dans l'espace le lieu des points de contact des dents correspondantes.

12. Engrenage à dév^eloppantes de cercle. — Le profil M'N' de la dent d'une circonférence primitive O est une développante d'un cercle concentrique N'B'.

Faisons rouler la circonférence O' sur la circonférence O, supposée fixe. La normale menée

196 MÉCANIQUE HÀTIONNELLE.

du point de contact A à la développapte M' N' est nécessairement tangente au cercle N' B', d*où il suit qu'elle coupe la circonférence O sous un angle constant , et qu'elle enveloppe un cercle NB concentrique à cette circonférence. De plus , cette même droite est normale au profil MN de la dent de la circonférence O 5 donc ce profil est une développante du cercle NB. Ainsi les profils des deux dents correspondantes , sont des développantes de deux cercles N'B', NB concentriques aux circonférences primitives C, O et de rayons proportionnels à ceux de ces circonférences.

Dans le mouvement réel de l'engrenage , la normale commune aux deux profils MN, M'N' reste fixe dans l'espace ; par suite , elle est le lieu des points de contact entre deux dents correspondantes.

Ce système d'engrenage jouit de deux propriétés assez remarquables :

Si les dents s'usent d'épaisseurs égales sur tout leur contour , elles se correspondront encore rigoureusement.

Si l'on fait varier la distance des arbres , les dents construites pour une certaine distance ne cesseront pas d'être rigoureusement correspondantes.

Ces propriétés sont plus curieuses qu'utiles; car les dents s'usent toujours de telle façon qu'elles conservent des formes correspondantes 5 et, d'un autre côté, on construit toujours les dents fort petites, en sorte qu'elles n'engrènent plus dès que la distance des axes augmente sensiblement. Cette petite dimension des dents est néces* saire , si l'on veut diminuer autant que possible le travail résistant qui se développe toujours par le frottement des dents l'une contre l'autre 5 car, toutes choses égales, ce travail est proportionnel à la distance du point de contact des dents au point de contact des circonférences primitives.

CIINÉMÀTIQUË. 197

13 . Tracé des engrenages coniques. — Les engrenages coniques diffèrent des engrenages plans, en ce que les arbres, au lieu d'être parallèles , se rencontrent. Les roues, au lieu d'être des cylindres , sont des cônes dont le sommet commun est au point de rencontre des arbres réduits à des droites.

Soient SO, SO'ces deux droites.

Prenons surces droites des longueurs SB, se proportionnelles aux rotations correspondantes 5 sur ces lon- V gueurs construisons un parallélot' gramme, et soit SEA la diagonale.

Les distances de chaque point de cette droite aux deux arbres SB , SC seront entre elles dans le rapport inverse des vitesses angulaires correspondantes. Par un point A pris sur cette droite, menons deux plans perpendiculaires aux arbres , et dans ces plans traçons deux cercles tangents au point A et dont les centres O, O' soient sur les deux arbres. Si nous prenons ces cercles pour bases de deux cènes dont le sommet commun soit en S, dans le mouvement de l'engrenage ces cônes rouleront l'un sur l'autre sans glisser. On les nomme cônes primitifs de V engrenage.

Pour achever la construction, on se donnera à volonté, sur l'un des cercles O', le profil des dents du cône correspondant, on fera rouler ce cône sur l'autrecônesupposé fixe, et Ton déterminera dans l'espace l'enveloppe du profil tracé : cette enveloppe sera le profil des dents correspondantes. Il ne restera plus qu'à joindre ces deux courbes au sommet S par des surfaces coniques. Comme ici les courbes ne sont pas dans le même plan , la construction rigoureuse exige l'emploi des procédés de la géométrie descriptive. Heureusement le tracé des épures, qui est toujours assez pénible, peut être remplacé dans la pratique par une

198 MÉCAMIQDE RATIOMMELl.E.

construction plane imaginée par M. Poncelet (*) , et dont l'exactitude , quoique imparfaite, est amplement suffisante dans tous les cas. Nous nous contenterons d'indiquer cette dernière construction-, pour la'première, nous renverrons au Traité de Géométrie descriptiv^e de Leroy, 2® édît. , page 4*6' Où trouvera dans le même ouvrage de plus amples développements sur le tracé des engrenages plans.

Par le point de contact A des deux cercles O , C, me-^ nous dans le plan des axes une droite TAT' perpendiculaire à SA, et supposons que sur les deux cercles O, O' comme bases on ait taillé deux cônes dont les sommets soient T et T'. On enroulera deux feuilles de papier sur ces deux cônes de manière à recouvrir exactement leur surface convexe , puis on étendra ces feuilles sur un plan ; alors elles auront la forme de deux secteurs circulaires. Considérant ces cercles comme les circonférences primitives d'un engrenage plan , dans lequel le rapport des vitesses angulaires serait le même que dans Tengrenage conique , on tracera les dents de Tengrenage plan , comme on l'a indiqué plus haut. Cela fait, on reportera les feuilles sur leurs cônes respectifs, et l'on marquera sur la surface de ces cônes les contours des dents tracées. Il ne restera plus qu'à joindre ces contours au sommet S par des surfaces coniques ; ces surfaces seront celles des dents de l'engrenage projeté.

L'erreur de cette construction provient seulement de ce que les profils tracés sur les cônes T, T' ne se meuvent pas dans un même plan pendant toute la durée de leur contact. On voit que cette erreur sera d'autant moindre que les dents seront plus courtes. Elle serait nulle, si les dents étaient infiniment petites ; car alors leur mouvement, pendant Tinstant de leur contact, serait une ro-

(') Journal de M. Crelle, t. II , p. 3or; 1827.

CINÉMATIQUE. 199

talion autour des centres T ou T' dans le plan tangent aux deux cônes auxiliaires suivant Tarète TAT. Comme on construit les dents très-courtes , afin de diminuer les frottements, Terreur de la méthode est toujours inférieure à celle que Touvrier le plus habile est exposé à commettre dans l'exécution d'une épure exacte.

14. Soient O, O', O" trois circonférences tangentes au même point m , et telles que le rayon de la troisième soit égal à la somme des rayons des deux autres.

Supposons d'abord que les deux premières circonférences roulent successivement et en sens contraires dans l'intérieur de la troisième. Le point m, considéré comme appartenant à chacune des circonférences mobiles, décrira la même épicycloïde dans les deux mouvements.

Supposons maintenant que la circonférence O roule sur Textérieur de la circonférence O', puis que la circonférence O'' roule intérieurement et dans le même sens sur la même circonférence 0'. Le point m, dans ces deux mou^^ementSy décrira la même épicycloïde extérieure à la circonférence O'. Démontrer ces théorèmes.

EULBR.

15. Deux circonférences égales O, O' se coupent i angle droit, et une droite mobile égale à la distance des centres appuie constamment ses extrémités sur les deux circonférences. Montrer que le point milieu de cette droite décrit une lemniscate de Jacques Bernoulli , /' = 2C0S aô, dont les foyers sont les centres des deux circonférences .

Conservons la même circonférence O et la même droite j mais remplaçons la circonférence O' par une autre circonférence concentrique qui passe au centre de la circonférence O. j^lors un point pris sur le prolongement de la droite, à une distance de l'extrémité

300 MtCkVlQVE RAT10]KKELLE.

égale à la longueur mente de la droûcy décrira une leninùcate de Jacques Bemoulli; mais cette fois le centre de la circonférence O sera le centre de la courbe, tandis que celui de Vautre circonférence sera toujours Fun des foyers.

On voit par là qae la lemniscate est un cas particulier de la courbe à longue inflexion,

CAmBOHHELLE , Bulletin de l'Jead, de Belgique y t. XX , n* 5.

\ 6. On suppose deux hyperboles équilatères, égales, et qui ont d* abord la position d'hyperboles conjuguées. Uune déciles restant fixe, on fait rouler Vautre sur la première. Alors le centre de Thyperbole mobile décrit une lemniscate de Jacques Bemoulli, dont les foyers coïncident ai^ec ceux de Vhyperbole fixe.

On établira ce théorème par la méthode employée au n® 4, en montrant que, dans le premier des deux modes de générations indiqués au numéro précédent , le centre instantané de la droite mobile décrit une hyperbole équilatère, soit dans son mouvement absolu, soit dans son mouvement relatif autour de la droite mobile.

17. Une figure plane se meut dans un plan ; on connaît, à un instant donné, le centre instantané de rotation C et les centres de courbure O , O' des courbes décrites par deux des points de la figure m, m'. Trouv^er le rayon de courbure de la courbe décrite par un troisième point m" .

Soient

Q" le centre de courbure de la troisième courbe; r, r', r" les rayons de courbure Om , Om', Om" \ p, p\ p" les distances mC, m'C , m''C ,

CINÉMATIQUE. aOI

c la position infiniment voisine du centre instantané^ M, u\ u" les angles OCc, O'Cc, O^'Cc. .

En exprimant que les arcs décrits sont proportionnels aux longueurs des normales abaissées du centre instantané, on obtient les relations

rsmu r'sinw'

r'sina' r^smu"

Comme on connaît la différence u — m', la première relation fera connaître n et u' -^ alors on aura la direction Ce et, par suite, l'angle u". Substituant les valeurs des angles vl et u" dans la seconde relation, on en tirera la valeur du rayon de courbure r''.

On pourra calculer aisément par cette méthode le rayon de courbure de la courbe à longue injlexion et celui de plusieurs autres courbes intéressantes.

ÀRNOux, Journal de V École Polytechnique y XXXV® cahier, p. 109.