Y 4- RU
dt"" dy.
= Z -hRU-r-'
dt^ dz
Pour déterminer la position du mobile à une époque' quelconque, il faut éliminer le produit RU entre les trois équations précédentes; alors on aura deux équations différentielles entre or, y, ^ , ^ , qui , jointes k l'équation de la surface , détermineront les coordonnées en fonction du temps.
Lorsque X éir -f- Y rf^ -^-Xdz est la différentielle exacte d'une certaine fonction y (r, j^ z) des seules variables x^
4oO MÉCANIQUE RÀXIOMKELLE.
j^, ^, on a de suite une intégrale première,
^0 9 J^o î J^o î ^0 étant les valeurs àe\f^x^ y^ z qui correspondent à Fétat initial. Cette intégrale pourra remplacer une des trois équations primitives, et comme
dx^ -h dy^ -4- dz^
elle nous permettra de faire disparaître dt des deux équations restantes. Dès lors il suffira d'éliminer entre ces dernières équations le produit RU pour avoir une équation diflérentielle en x^ y, z qui déterminera la trajectoire conjointement avec l'équation de la surface.
1. D^un point pris à ^volonté sur Vun des méridiens d'une surface de ré\folution dont Vaxe est Derticaly on lance un point pesant suivant la tangente au parallèle, ai^ec une vitesse qui est une fonction connue des coordonnées du point de départ. Déterminer la surface pcCr la condition que le mobile, assujetti à rester dans son intérieur y décri\^e toujours un parallèle, quel que soit le point de départ.
Soit pris le plan méridien d'où part le mobile pour plan des zx^ et Taxe de révolution pour axe des z^ qui sera dirigé en sens contraire de la pesanteur.
Nous avons
l^dx -+ Ydy -h Zdz = — gdz-,
d'où il résulte que la vitesse doit être constante pendant toute la durée du mouvement-, par suite, la résultante de la pesanteur et de la force centrifuge doit être normale à la surface.
Ainsi, X Qiz étant les coordonnées du point de départ,
®^ y^Sfi^^) '^ vitesse initiale, nous devons avoir
X ^ dx ^ ^ ' T^dx
Telle est l'équation différentielle de la courbe méridienne. Elle nous montre que la hauteur due à la vitesse initiale est égale à la moitié de la sous-tangente à la courbe. Donnons à la fonction y quelques valeurs particulières. Soit
y=i:*const. = h.
On a
2 hdx
\ocx = — - -H const.
un
La courbe est une logarithmique.
Soit
On a
dz Tx'
x*=i naz
+ const.
La courbe
est une
parabole.
Soit
On a
idx
««-• dz
2 log J7 = — 7 — — ;^ : 4- const.
4oa MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Si Ton veiit que le temps d'une révolution soit le même sur chacun des parallèles; alors, nommant T la durée d*une révolution , on aura
par conséquent , la courbe méridienne sera la parabole
X* = -^ — - Z -H CODSt.
2Tr»
FoNTANA, Dissertazione sopra laforza centrifuga; Verona, 1784.
2. Trouver une surface passant par une courbe don^ née et telle, qiiun point pesant parcoure cette courbe y lorsqtion le pose sur la surface en un point de la courbe, auec une vitesse de grandeur et de direction convenables.
Supposons l'axe des z dirigé dans le sens de la pesan> teur.
Soient
les équations de la courbe donnée.
La surface cherchée aura son équation de la forme
(f étant une fonction qui ne devient pas infinie pour
n s'agit de déterminer cette fonction (f.
Tout point pesant (x, y, z)j posé sur la surface, vérifiera dans son mouvement les équations
-:i^ = ^^ir' ^ = ï^u^,
dt^ dx dt^ dy
desquelles
on tire
dF d^X dy dO "■
dF d^y ~ dx dt^'
ou , ce qui
est la même chose,
dF
dx
dx
ds
Pour que le point parcoure la courbe donnée , il faut que cette équation devienne identique quand on y fera
après avoir substitué à i^, —? ~- les valeurs de ces quantités relatives à un point qui serait assujetti à parcourir la courbe donnée.
Or
dF
^"-'^ et quand on pose
dF
— se réduit à — y [/^ (^)? -^J 5 en sorte que la substitution
de ces valeurs dans l'équation (i) donnera un résultat de la forme
Ti{z) étant une fonction connue de z,
La fonction ç qui vérifie cette dernière relation est évidemment donnée par la formule
dans laquelle ^ représente une fonction arbitraire qui ne devient pas infinie pour y =f^[z),
4o4 MÉCAHIQOE JUTIOBITELLE.
De là il résulte que Téqnatioii de la surface cherchée est
'=/(')-*- [r-/;(*)]n(*)+[r-/.(i)f+(jr.^).
CooLiDe application, nous supposerons que la courbe donnée soit une hélice,
X t= rcosik ^Y jr = rsin ( it - j-
Il nous sera plus commode de représenter cette courbe par les deux équations équiyalentes
x^-^X^ — r» = o, z— jarclaiig-= o-
Alors l'équation de la surface sera de la forme
F^î-^arctang-^— (x>4-r'-/-)f(x,jr)=:o.
Si , dans les dérivées partielles — 9 — 9 on élimine x et ;^ à Taide des équations de la courbe, on trouve
g = isin(^f)-2.ços(^j),.,
-r- = — -7 CCS 1 A" - 1 — 2 r sin ( /• - 1 ®„ dy k \ r) \ r)"^'
en posant
(p, = (j> I r cos ( /^ - j 5 F sin f A - j j.
Supposons le mobile placé sans vitesse initiale au point dont les coordonnées sont
x=rr, X=:Oy a = O.
DYNAMIQUE. ^oS
Nous aurons, à un instant quelconque,
{ijc =: — X- sJn f /• - J (iz'y dj"=z k ces [h - Jrfr, ds = v^/-^-+- i di.
D'après ces valeurs, Téquation (i) devient, toutes réductions faites,
y[^rcos(^y, rsiii(/f)J=-.~-
c'est Féquation qui correspond à la formule (2). Selon la formule (3), nous aurons
arc tang -
ou , ce qui revient au même,
car le second membre se réduit bien à II (^) = .
quand on y remplace x eX y par leurs valeurs en z L'équation de la surface sera donc
z = - arc tang- -h [x^ -h x^ — '*") ? {^>x)'>
ou, remplaçant (f (x ^y) par sa valeur, r
Si nous supposons ^p = o, l'équation se réduit à
, arc tane -
4o6 MéCÀNIQUE BÀTIOMBELLf:.
OU , posant x = a cos « et j =z u sin co,
La surface représentée par cette ctpiation est assez remarquable : les sections horizontales sont des spirales analogues à celle d'Archiraède^ les sections faites par des cylindres de révolution autour de l'axe des z sont des hélices ; les sections faites par des plans passant par cet axe sont des courbes hyperboliques qui ont pour asymptotes Taxe des z et ' la trace du plan sécant sur le plan des xy ; la courbe de plus grande pente est représentée par l'équation
Il y a plus : quel que soit le point de Taxe des x sur lequel on place un point pesant, la trajectoire de ce point sera une hélice. C'est ce qu'on reconnaît aisément en prouvant que toutes les hélices de la surface vérifient l'équation (i), si
Catalan, Journal de M. Liouville, t. XI, p. 212; 1846.
3. Troui^er F équation générale de la courbe brachystochrone pour un point pesant assujetti à se niouyoir sur une surface quelconque. Examiner en particulier le cas d'une surface de réi^olution autour d'un apce vertical.
Soient l'axe des z une verticale dirigée dans le sens de la pesanteur, z^ et z^ les ordonnées du point de départ et du point d'arrivée, et
l'équation de la surface.
Le mobile partant du repos, sa vitesse est donnée par la formule
par conséquent, l^ntégrale qu'il s'agit de rendre un minimum est
Le problème consiste dans une simple application des formules du calcul des variations.
Nommons p et ^ les dérivées partielles — ? -~ que Ton
lire de l'équation de la surface, et posons
)/2g(z^ Zp)
dx dp dy dq
les dérivées étant ici des dérivées partielles.
Pour que l'intégrale soit un minimum, il faut que les ordonnées x, y, z d'un point quelconque de la trajectoire, outre qu'elles vérifient l'équation de la surface, vérifient encore l'équation différentielle
\ dz J dy \ dz ) dx '
dans laquelle — > —7- représentent des dérivées totales,
prises en considérant x, y^ p et q comme des fonctions de z.
Nous avons
M ^N ^ rf p
dz dz v^i4-/;'4-^y' v^2g'(3—z«)
dz dz ^i^p^^^i ^2g{z—z.}'
4o8 MÉCANIQUE nATrOHKELLE.
en sorleque Féquation différentielle est , , rfF . dx dF , dy
(0 TT^ . /— = -=:7r^'
df ds yj'2.g\z — z„j ^^ ds ^9.g(z — Zo)
On polira éliminer une des coordonnées x^ y k l'aide de l'équation de la surface ; alors on aura une équation différentielle du second ordre entre deux variables. L'intégrale de cette équation contiendra deux constantes arbitraires dont on disposera de manière que la courbe passe au point de départ et au point d'arrivée.
Dans le cas d'une surface de résolution autour de l'axe des Zy on a
d¥ dF
par suite, l'équation (i) devient
dx djr
yd. ■===. — xd, '
ds sjz — Za ds ^z — z,
L'intégrale première est
(2) ydx — xdjr = ds ^z — z^y^ const.
Si l'on substitue k x et à y les coordonnées polaires r et 6, liées par les relations
X = rcos9y jr=zrsinBy il vient
jrdx — xdjr = r^ d9; d'ailleurs ,
y z — z, =r -r== H ds ^z-— Zo z= —= ;
DYNAMIQUE. 4o9
par conséquent, l'équation (2) ,peut s écrire
C étant une constante.
Sous cette forme, elle nous montre que Taire décrite à chaque instant par la projection du rayon vecteur sur un plan horizontal est proportionnelle au carré de la vitesse du mobile.
La même équation nous fait voir que le rapport de %^
à — augmente indéfiniment à mesure que (^ diminue ou
que Ton considère un point plus rapproché du point de départ. Il en résulte que toute brachjstochrone sur une surface de résolution est tangente au méridien du point de départ.
On a , pour toute époque ,
Or, si le point d'arrivée est sur le méridien du point de départ, le premier membre de cette équation est nul : d'ailleurs l'intégrale qui figure au second membre ne peut jamais être nulle, vu que tous ses éléments sont positifs; donc, dans ce cas, C = o. On en conclut que, quand le point de départ et le point d'arrivée sont situés sur un même méridien, la brachjstochrone entre ces deux points, n'est autre chose que le méridien lui-même.
L'intégrale de l'équation (2) peut toujours se ramener à une quadrature. En effet, cette équation peut s'écrire
or, si l'on y pose
