C. ce "'' , ce "^ , ce

Ces arcs décroissent en progression géométrique, et ils sont tous parcourus deuic fois , sauf le premier^ d'où il suit que le chemin total parcouru par le mobile avant d'arriver au repos , est

TT ^fi

374 MÉCANIQUE RATIOHNELLE.

Venons au second cas : le radical 1/ A' — - est réel ,

Soit

La formule (i) devient

s=zCe ^ -f-C'tf ^

On doit déterminer les constantes C , C par la condition que 9 pour f = o , on ait

alors on trouve

Cette valeur de s ne s'annule que pour ï = oo 5 par conséquent, le mobile ne dépassera pas le sommet de la cycloïde, et même il ne l'atteindra qu'après un temps infini. D'après la dernière équation, nous avons

^U^(A-y)e - -(*+7)* » J Ces formules nous montrent que la vitesse croit depuis

d^dv^ c{k^^ dr ~" Jr"~

DYr^AMlQUE. 375

rinslaiu du dëpart jus([u'à Tépoque t donnée par 1 «quation

e ' = r î !» ou ^ — -log-; î-«

A partir de cette époque, la vitesse décroit et converge vers o.

Enfin, si Ton suppose que le radical i/- — A* soit nul, on trouve, en recourant à Téquation (A),

Ut 7 U j

rte

Ces formules nous montrent que le mobile ne peut dépasser le sommet de la courbe, et ne Tatteint qu*après un temps infini. La vitesse est un maximum à l*é-

poque <f = T'

S***. Déterminer le mou\fement du pendule légèrement écarté de la verticale, dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse.

Soient a la longueur du fil, 6 Tangle quMl fait avec la verticale et k la résistance du milieu.

On a

^^^=:^SinO-/l',

ou, si Ton remplace sin 9 par et ^ par sa valeur

376 MÉCANIQUE BÀTIOUMELLE.

dB a -r-î

fli

dV dt a

Cette équation est tout à fait semblable à Téquatioii (A) du problème précédent, si ce n'est que l'arc s se trouve remplacé par Tangle 6 , et le double du diamètre du cercle générateur ^a par la longueur du fil a. Sauf ces changements de noms , la discussion précédente s'applique mot pour mot.

Ce problème donne la loi des petites oscillations du pendule dans l'air ^ car, lorsque la vitesse est très-petite, on peut sans erreur sensible admettre que la résistance de Pair est proportionnelle à la vitesse. Dans ce cas, la résistance A: est peu considérable; elle est inférieure à i/-;

on peut même négliger son carré. Alors, comme nous l'avons vu, la durée d'une demi-oscillation descendante est un peu plus considérable que dans le vide \ mais la durée d'une oscillation entière est la même.

Au reste , pour juger de l'exactitude de ces résultats , il suffit de réduire en nombres les formules rigoureuses don-« nées dans le problème précédent. Nous nous servirons pour cela d'une expérience de Borda. La valeur initiale c de l'angle d était un tiers de degré environ ; l'amplitude des oscillations diminuait sensiblement en progression géométrique; après 1800 oscillations, elle n'était réduite qu'aux deux tiers.

Ainsi , en conservant les notations du problème précédent, on a

1800 Arw

1 800 An z= y log - = 7(0 ,4o546) »

BYMAMIQt'E. 877

Remplaçons A: par sa valeur tirée de Téquatiou • •

Il vient

d'où Ton tîre

On voit par là que la durée d^une oscillation est

I ,00000000267 ou à peu près

ce qui ne difl%re presque pas de la durée d'une oscillation dans le vide ,

Poisson, Traité de Mécanique, 2* édit , t. I^ p. 348.

3^. Déterminer le moui^ement du pendule dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse.

Conservons les notations du problème précédent.

Nous avons

fir " dt^ ' a^

378 MÉCANIQUE EÀTIONNELLE.

OU, ce qui est la même chose ^

Si Ton regarde B comme la variable ^^ ( "^ ) comme la

fonction , cette équation est linéaire et du premier ordre. On l'intègre par la méthode connue.

Substituant

il vient et

d'où

r = 2,aky (v=z sin e ;

ng cosB -h :taA sinB ^aake ^ wdO=z-^ y—rr: ^ -f-C,

\dt J a I ■

naA sind

Nous déterminons la constante C par la condition que — soit nul pour 9 = c 5 alors

/ \ /^®V ^S r cosô -|-2«Xsinô 1

^^'' \dt) "" ^774:4^^ [ — {cosc -h 2 «)t sin r) e- ^ «^ (^ - <9)J '

Cette formule nous permet de calculer les amplitudes des oscillations successives. En effet, soit — Ci la valeur de l'angle (^ à la fin de la première demi-oscillation ascendante j cette valeur devra vérifier l'équation

(cosc, — 2nA sinc,)c^^*^' — (cosc 4- 2 al sine) c""^***^ = o.

DYNAMIQUE. 37g

Si Ton développe les exponentielles suivant les puissances de k et que Ton néglige le carré de cette résistance supposée très-petite, on aura

cosci — nak (sine, — c, cosci) = cosc •+■ ^ak (sine — ccosc).

La valeur de Cy que Ton tirera de cette équation différera tirès-peu de c 5 posant donc

c, = c — ^ , nous pourrons négliger 0* et kâ] il viendra ê s\nc = ^ak (sine — ccosc); d'où

c\=z c — ( sm c — c cosc ).

sm c ^

Ce résultat ne suppose pas les oscillations très-petites; mais , si elles sont assez petites pour que Ton puisse négliger la quatrième puissance de c dans la valeur de d , cette valeur se réduira à

Pour trouver la durée des oscillations, on peut résoudre Téquation (2) par rapport à dt^ puis intégrer; alors on obtient une expression de la forme

^=: Çv{B)dQ.

Cette intégrale n^est point exprimable en quantités finies, au moins par les méthodes connues. On pourrait la calculer par approximation, mais il est plus commode d'appliquer les méthodes approchées à l'équation primitive elle-même. C'est ce que nous allons faire en supposant les oscillations très-petites.

38o MÉCASIQITE KATIOBHEULC.

Nommons encore c la valeur initiale de Fangle 6 qnî sera très-petite, et admettons que la yitesse initiale soit nnlle. n est clair qoe l'expression cherchée de Tangle Q esl une fonction continue de c et s*éTanouit avec cet angle; par conséquent, elle peut se dérelopper en une série de la forme

(3) = ce.^c>0,-h...;

et celte série sera d'autant plus convei^ente que c sera plus petit. Nous nous bornerons aux deux premiers termes qui sont bien suffisants pour représenter les expériences les plus délicates; toutefois, la méthode sera générale.

Substituons dans Téquation (i) les valeurs de-^? —

et sin0 que l'on tire de la formule (3) lorsque Ton néglige les troisièmes puissances de c , puis jalons séparément à zéro les coefficients de c et de c*. H vient

La première de ces équations nous donne l'intégrale

dans laquelle les constantes A et B se déterminent par la condition que, pour ^ = o , on ait

et, par suite (3),

rfô, ô.= i, -=o.

DYNA'lMIQUE. 38 1

On trouve ainsi

Vient

Substituant cette valeur dans la seconde équation (4)} il

dt* a 2a \ y aj

C^est une équation linéaire du second ordre*, on Tintègrc par la méthode que nous avons rappelée plus haut. Des exponentielles imaginaires s'introduisent, on les remplace par des sinus et des cosinus , et Ton trouve enfin

ô,= Dcos(/y/fH-E)4-^4-^cos^ary/fy

D et E sont des constantes que Ton détermine de manière que , pour t = o , on ait

alors on obtient

(6) i> = ~a'-^ = ya~g

r (3-.c«*).in(ry^)|

382 ificÀsiQUE b'atiohhelle.

Ces valeurs vont nous donner la durée et Tamplitude des oscillations; dans cette recherche, nous pousserons rapprozimation jusqu'aux secondes puissances de c inclusivement.

La durée de la demi-osciUation descendante s'obtient en résolvant par rapport à t Téquation d = o , dans laquelle 6 est remplacé par sa valeur (5). Une première valeur approchée est

car cette valeur annule le terme qui est du premier degré par rapport à c. Posant donc

on déterminera u par la méthode de Newton, laquelle consiste à prendre pour u le quotient changé de signe , de 6 par sa dérivée relative à t^ dans lequel on fait

On trouve ainsi

cak . /fl / 2caX\~' cah fa

U est inutile de prendre ici le terme en c' et de pousser r approximation plus loin ; car u doit évidemment changer de signe avec h , et comme dans toute la suite des calculs que Ton pourrait faire, c serait toujours accompagné du facteur Xi , il faut que « ne contienne que des puissances impaires de c. La durée de la demi-oscillation descendante est donc

^ Tz la cah

Pour obtenir la durée d'une oscillation entière, il faut résoudre par rapport à t Téquation (^ = o , dans laquelle ^ est remplacé par sa valeur (6). En opérant de la même manière, on trouve, au même degré d'approximation,

que cette durée est tt i/-f comme dans le vide.

Nous aurons Famplitude de la première demi-oscillation ascendante, si nous posons

dans la valeur (5) de Tangle 6 changée de signe. Nous trouvons

d*où nous voyons que Tamplitude de la seconde demioscillation est plus petite que celle de la première, de la

quantité -^—5 — ^ comme nous l'avons déjà trouvé par une

autre méthode.

Tous ces résultats coïncident à peu de chose près avec ceux que nous avons obtenus au problème précédent, dans rhypothèse d*une résistance proportionnelle à la vitesse ; les petites différences qui existent peuvent être attribuées aux valeurs différentes que le coetlicient k doit recevoir dans ces deux hypothèses.

Dans tout ce qui précède , nous avons supposé que le corps du pendule était un point matériel sans volume. Dans la réalité, il ne peut en être ainsi. Comme un corps plongé dans un fluide y perd une partie de son poids égale à celui du fluide déplacé, le pendule se trouve dan» le même cas que si la gravité, au lieu d'être égale à gj était égale à g' (i — p) , p désignant le rapport de la densité du fluide à celle du corps. Par là , on verra facilement

que , diaprés la seule considération de la perte de poids à Tétat de repos , la durée des oscillations dans un fluide se trouve augmentée dans le rapport de Tunité à ^i — p pour un même pendule , et la longueur du pendule simple se trouve diminuée dans le rapport de i — p à l'unité pour la même durée.

De plus, Bessel a fait voir par l'expérience que la perte de poids est moins considérable pour un corps en repos que pour un corps animé d'un mouvement oscillatoire. Il en résulte que, dans les résultats précédents, il faut multiplier p par un facteur /* plus grand que l'unité.

Poisson a démontré , dans son Mémoire sur les mou^e-ments simultanés d'un pendule et de Vair environnant (*), que le facteur y* est indépendant de la densité du pendule ainsi que de la densité et de la nature du fluide dans lequel il oscille. Pour le cas d'une sphère dont le diamètre est petit relativement à la longueur du pendule , il trouve

Poisson, Traité de Mécanique^ 2* édit., 1. 1, p. 353.

4. Trousser les courbes tautochrones pour un point pesant dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse.

Soient

O l'extrémité des arcs qui sont parcourus dans le même temps \

X la distance du mobile au-dessus de l'horizontale qui passe au point O \

s l'arc de la courbe compté à partir du point O ;

( » ) Mém, de VÀcad. des Sciences de Paris, t. XI.

DYMAMigtK. • • 385

h la hauteur à laquelle serait due dans le vide la vitesse que le mobile possède au point O \

k la résistance du milieu pour Tunité de vitesse. On a

ou, si l'on multiplie par i©-**' et que Ton intègre, Remplaçons ^ par sa valeur —y, et posons

h) • u -^ / (T-^^'dX)

X sera une fonction de m, et comme s est une fonction de X, nous pourrons poser encore

(3) f^ ^'ds ^ ff(u)du.

11 vient alors

dt- --1 Î^^S

en sorte que le.temps employi? par le mobile pouf arriver au point O est

I r^ if(u)du

Cette valeur de r doit être indépendante de /i; d'où il

suit qua la quantité comprise sous le signe / doit être

do degré zéro par rapport k h, u et du. Cela exige que l'oti ait

a désignant une constante.

Snbslîtuons celte valeur dans Téquation (3), et intégrons en observant que 5 et m sont nuls en même temps. Il vient

y(i — c~*') = la^u^

k^ ' ds

Or, d'après l'équation (a),

par conséquent ,

du , dx

— g— iks .

ds " ds'

dx ,

D'un autre côté, nous avons

a Ç^ du lia

donc enfin Téquation de la courbe tautochrone est

4^A-'t*x 4- Tt'As = n^ {(*' — i).

On peut obtenir la valeur de Tare parcouru pendant le temps t. En jeffet, soit s^ la valeur initiale de l'arc s, La formule (i) peut s'écrire •

et si nous remplaçons — par sa valeur tirée de Téqua-

tîon (4), il vient

Posant

celte équation nous donne

- 2r dz

f = — arc CCS — ? z = Zq cos — 1

TT Zo 2T

I — C-*' = (l — tf--*'o ) COS ~ 5 ' 2T

. = -ilog[.~(,-^*'.)cos^].

EuLEB, Comment,^ Petrop., 1729. — Mechan.y t. Il, p. 392.

5. Proposons^nous de rechercher V expression la plus générale de la force tangentielle dans le mouvement tautochrone.

Soient :

O l'extrëmilé des arcs de la courbe tautochrone qui doivent être parcourus dans le même temps r ; •

F la résultante des forces tangentielles qui agissent sur le mobile au bout du temps f , compté à partir de l'instant du départ ;

i^ la vitesse du mobile au bout du même temps ^

s l'arc qui lui reste à parcourir pour arriver au point Oy

(7 la valeur initiale de l'arc 5.

388 vécjiJfiQLe batio^selle.

Ona

et la courbe sur laquelle se meut le corps sera (aui< chrone quand r sera indépendant de a, cVst-à-dîre quanti on aura

Eliminons a des limites de Fînlégrale. Pour cela, posons

en nommant z une fonction arbitraire de 5, qui s'annule avec s^ Z IsL valeur de z pour s = a et u une nouvelle variable.

Soit, de plus,

la valeur de 5, que Ton déduit de Téquation (i). Nous aurons

= -. r^Lif^

du.

Différen lions par rapport à a, et souvenons-nous que i^ est une fonction de a et de ({/ {uT^) ] il viendra

ou bien , remplaçant i/Z par z. et Zdu par — ds^

DYJNAMIQl'E. ^H(J

ce qu'on peut écrire

en représonlaut par J (s, a) le facteur de <k sous le signe (rintégralion.

Pour que — soit nul , quel que soit a, il faut qu'en posant

on ail

Supposons que la fonction satisfasse h cette condition» Nous pourrons remplacer dans Tëqualion (a), f{s^ a) par

û', (5, a) et— parla valeur trouvée précédemment 5 alors,

si nous observons que Ton a

viendra

Il nous faut intégrer celte équation, dans laquelle e est la fonction et 5, a les variables indépendantes. On sait qu'elle se ramène aux deux équalîons différentielles si-

390 MÉGANIQUE RÀTIOHIÎELLE.

multanées

dd ds dv

Z 3 / ZZ''\ ç2

Posons

Nos équations différentielles pourront s'écrire ds du

^'-^,y^(^) ,, yW^ \^'^

di ff(s} ff{S)

Soit

La première équation nous donne

w (er) — w (5) = const. = A ; d'où Ton tirera une valeur de ex de la forme

Si Ton substitue cette valeur dans la seconde équation différentielle, et que l'on pose ensuite

X étant une variable auxiliaire, on obtient Téquation

DYMilMtQUE. 391

OÙ 6', [j, Ç(«y)] représcnlo ce que devient la dérivée de 0(s^ (j) par rapport à j, lorsqu'on y fait, après la dillérentiation , 7 = ^(5).

Soit p (s) Tintëgrale indéfinie du second membre. On aura

■i=:p(j)-f- const. = p(j)H-g, ^ JBy(.v) ^^

11 résulte de là que l'intégrale générale de l'équation (3)

est

<.(,).>(0=7[-(-,-)-i--^yJ,

/ étant le signe d'une fonction arbitraire. Toutefois les conditions de notre problème assujettissent cette fonction y k être identiquement nulle, lorsque l'on y fait simultanément

5 = (T et p = o;

car la vitesse initiale du mobile est supposée nulle. Diilérentions la dernière équation par rapport à 5 , et

remplaçons w', (s) par sa valeur -j- ; il vient , r . -| T(^)g-''y'(0 -r-'

On en tire

39^ IfÉCAKIQtJE BÀTIOMNELLC.

ou, si Ton pose ^^ J-- = G 1 ^^ — p(^) h

Telle est la formule cherchée. Q et y représentent des fonctions arbitraires; p est aussi une fonction arbitraire.

En eifet, p' (s) et , par suite, p (s) sont définis par Téquation

et, puisque la fonction 9 n'est assujettie qu'à la seule condition de s'évanouir pour s = (j^ nous pouvons prendre

X(^) étant indépendant de 55 alors Je second membre de l'équation précédente se réduit à

D'ailleurs le premier membre peut s'exprimer en ^ (5) , quelle que soit la fonction p (s) ^ puisque s est une fonction de ^ (5). Prenant cette çxpression du premier membre pour la fonction x[C(*)] V^^ ^^^ ^ volonté, l'équation sera satisfaite.

Supposons, en particulier, que l'on prenne

et posons , pour abréger,

DVNAMigUR. 3yS

La formule) généralu (4) pourra «Vcrirc*

Z3 étant It) signe d'uno fonction arbitraire.

Cette dernière formule a cHd donnde par Lagrango, dans hf^ Mémoires de Vjécadvmwdti Barlin^ 1765, 1770. La formule générale d'où elle dérive a été établie récrniment par M. Urioscbi (*).

(5. Comme opplieation des formules que nous venons d'établir, nous nous proposerons ici ih chorchor tous las cas do tautochronismo contonus dans laformuh do La^ grnngOf ol relatifs à un corps pesant qui sa nunit a^rc frottement dans un milieu dont la résistance est une fonction quelconque de ta vitesse, /(»').

Supposons l'axe des x vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur *, et soit /a le coeflicient de frottement.

La composante tangentielle de la pesanteur et la pression sur la courbe seront respeetivement

fir

en sorte que Ton aura, pour l'i'xpression générale de la force tangentielle,

tir I efr* //»••

f) AnimH ûi SehnMn tnttinnalkiw i* Jhicht* compihli du H. Torlollnl j

dx . ,

— est ici une fonction de s qui , si elle était connue , donnerait l'équation de la courbe. Nous allons déterminer cette fonction par la condition que la formule (V) soit comprise dans celle de Lagrange.

Si l'on différentie la valeur (V) trois fois par rapport à M, puis une fois par rapport à 5, le résultat est identiquement nul. Exprimons que la formule de Lagrange satisfait à cette condition.

Si nous posons

la formule de Lagrange prend la forme

et Ton doit avoir

dif^ ds

OU, puisque Ç est une fonction de j,

di^d^^ ^'

Cette condition nous donne

Posons

l'équation précédente deviendra

z'Y' {z) + 6zf (z) -h 6^ [z) = o.

Pour Tintégrer, posons encore

Nous obtenons

i»" = o; par conséquent,

a = Az-h B,

X= — Alogz -h-Bz-' 4- Cz -+-D,

F = -.A.log^-H^BÇ4-^-(c-^^).'-+-D.,

A, B, C, D désignant des constantes arbitraires.

Pour que cette valeur soit identique avec la valeur (V), il faut que Ton ait

A=:0, DP = --/(f'),

I ^ dx I dx"

La seconde relation nous montre que la résistance du milieu doit être simplement proportionnelle à la vitesse. Si Ton élimine \ entre les deux dernières relations, on obtient, toutes réductions faites,

—rr^=^ — = consi.,

ds^ I 4- pt' ' j

\ ce f^ui est Téquation d'une cycloïde.

396 MÉCANIQUE RATIOKNELLE.

Ainsi, la cycloïdeesl tautochroné ai^ec frottement ^ soit dans le vide, soit dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse; c'est d'ailleurs le seul cas de tautochronîsme avec frottement qui soit doané par la formule de Lagrange (^).

Si l'on nomme r le rayon dii cercle générateur de la cycloïde et H une constante, on aura

dx' g'j -+- H fis l\r

La constante H se déterminera par la condition que le mobile, placé sans vitesse initiale à l'extrémité des arcs tautochrones , y reste en équilibre , et que , placé un peu plus haut, l'équilibre n'ait pas lieu. Cela exige que l'extrémité des arcs tautochrones soit le point le plus élevé de ceux où le point matériel , posé sans vitesse, pourrait resler en équilibre.

7^ Trouver tous les cas de tautochronisme contenus dans la formule de Lagrange (prob. 5), et relatifs à un point pesant qui se meut dans un milieu dont la résistance est une fonction de la vitesse j f{v)*

Un calcul semblable à celui du numéro précédent montre que la résistance/* (f^) doit être de la forme

A -h Bi^ H- Cf'',

A, B, C désignant des constantes.

Alors la courbe tautpchrone est celle que nous avons obtenue au' prob. 4.

Ceci est. un cas particulier du théorème suivant :

(' ) Ce cas de tautochronisme a été signalé la première fois par Necker. RecueH des Savants étrangers (Académie des Sciences de Paris), t. IV, p. 96; 1763.

DYicAMiQUE. 3gy

Toute courbe (autochrouc, pour une force comprise dan» la formule de Lagrnnge, est encore tautochronc lorsqu'on ajoute à la force un terme proportionnel à la vitesse (*). On voit, en effet, qu'en conservant la même courbe et ajoutant h la force tangeniielle un terme proportionnel à la vitesse, l'expression de la force tangeniielle totale reste encore comprise dans la formule de Lagrange; car le terme additionnel n'a d'autre effet que

d'augmenter la fonction arbitraire cr ( - ) d'un terme de la forme - X const.

h BEftTiiAifii, Journal de M. Liou ville, 1847» t. XII, p. 126.

8. Un point pesant monte, en vertu d* une impulsion initiale, sur une courbe située dans un plan vertical ; le moui^ement a lieu dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Quelle doit être la courbe pour que la vitesse du mobile égale à chaque instant celle qui serait due, dans le même milieu, à la hauteur mesurée par la longueur de rare qui lui reste à parcourir pour atteindre un point fixe situé sur la courbe?

Soît s l'arc de la courbe compté à partir du point fixe , X la distance de l'extrémité de cet arc a Thorizontale qui passe au point fixe , ra A la résistance du milieu pour l'unité de vitesse.

L'équation de la courbe est

Ce problème fut proposé à Clairaut, pendant son voyage

(•) Laoramge, Mém, de VAead. de Berlin, 1765, p. 371.

3gS MÉCANIQUE RATIOMKELLË. *

en Laponie, par un professeur d'Upsal nommé Klingstiema. La solution de Clairaut se trouve dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris y 1740, p. a54. •

9. D*un même point O partent une infinité de droites situées dans un même plan ^vertical et terminées à une courbe Si Déterminer cette courbe de manière quun point pesant y descendant du point O sur Vune des droites, arrive sur la courbe a\fec une même "vitesse, quelle que soit la droite que l 'on ait choisie. Le mouvement a lieu dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse.

Rapportons la courbe à des coordonnées polaires r, , dont l'origine soit au point O, et dont l'axe soit dirige dans le sens de la pesanteur -, nommons a le rayon vecteur qui se compte sur l'axe.

L'équation de la courbe est

COSÔ =:

EcLER, Mechan.y t. II, p. aSi.

10. Les données restant les mêmes que dans le problème précédent, on propose de déterminer la courbe S par la condition que le mobile emploie le même temps pour l'atteindre, quelle que soit la droite sur laquelle il descende.

L'équation de la courbe est

, log L*''H- (d'*'^— i)

Iog[é?^«-f (e'*«—i/

EuLEB, Mechan,y t. II, p. 256.

DYNAMIQUE* 3iyg

SECTION IV

MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL SUR UNE SURFACE FIXE.

Soient s

x^y^ z Jes coordonnées du mobile à l'époque «;

V la vitesse;

X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la force accélératrice extérieure;

F (a:,y, -z) = const. Téquation de la surface;

R la réaction normale que cette surface exerce sur le point.

Si l'on poàe , pour abréger,

lid^y fdFY /dFY

les équations du mouvement seront

dt^ dx