I. a' Cdit
4^6 MACANiQtlE ftATIOUHBLLE.
rar le second membre se réduit bien a Il(z)=z 1
quand ou y remplacé Jcetjr par leurs Valeur» en z. L'équation de la surface sera donc
ou, remplaçaht f (j^iy) par sa valeur,
Si nous supposohs ^ = ô, l'équation se réduit à
arc tang- A x^-4-j* 011, posatit X == o cosck) et )" = u sina>,
La surface représentée par cette équation est assez remarquable : les sections horizontales sont des spirales analogues à celle d'Àrchimède; les sections faites par des cylindres de réfôluiion autour dé Taxé des t sokit des hélices -, les sections faites par des plans |^S6an( par eet axe sont des courbes hyperboliques qui ont pour asymptotes l'axe des z et la trace du plan sééiAht 9ttr le plan des xjr\ la courbe de plus grande pente est représentée pàt Téquation
u ^ Cff-** .
Il y a plus : quel que soit le point de l'axe des x sur lequel on place un point pesant, la trajectoire de ce point sera une hélice. C'est ce qu'on reconnaît aisément en prouvant
que (p|ius$ Iiî4 hélice de h snr&çe v^srifiep^ réqDaùoa (1), si ♦* =s ^ a^^ .
Catalav, /ounmi de ilf. li^itviHe^ u XI» p« sia; i84S.
3. Trouver V équation générale de la courbe brachistochrone pour im point pesant Qssi4JPUi à se mouvoir sur une surface quelconque. Examiner en particulier le cas d^une surface de révolution autour d^ un axe vertical.
Soient Taxe des z une verticfile djrigéfç dans i^ sens de li| pç$a^te^p, ^0 9% 9i les ordonnées du ppînt de d^p^rt et du point d^arrivée, et
Tëquation de la surface.
Le mobile paruiit du repos, sa vitesse est donnée par la formule
par conséquent l'inlégritle qu'il s'agU de repdre up nùaîmum est
"' ds
Ijs problème consiste dans une simple appliealioii des foroitttos du calcul des variaticms.
Nommons p eiq les dérivées partielles — > -^ que Ton
tire de Téquation de la surface, et posons
M = -7- > W HT. --- 9 ML r;: — -- ^ W rr: -— 5 aj: €ip dj (i*f
les dérivées étant ici des dérivées partielle s.
45a MÊCAMIQUE BATIOHNBLLE.
Pour que Tintégrale soit un minimum, il faut que les ordonnées x, y^ z d'un point quelconque de la trajectoire, outre qu elles Térifient F équation de la surface, vérifient encore l'équation difTérentielle
dans laquelle — * -^ représentent des dérivées totales,
prises en considérant x, J^p ^iff comme des fonctions de z.
Nous avons
dz dz ^1 -f.^>4.^a^2^^« — z,)'
en sorte que l'équation difTérentielle est
dy ds)/2g(z— Zt) '^^ ds\l^g[z-^ z^\
On pourra éliminer une des coordonnées x^jk l'aide de l'équation de la surface; alors on aura une équation différentielle du second ordre entre deux variables. L'intégrale de cette équation contiendra deux constantes arbitraires dont on disposera de manière que la courbe passe au point de départ et au point d'arrivée.
Dans le cas d'une surface de révolution autour de l'axe des JE, on a
rfF r/F
DTJNAMIQVE. 4^^^
par suite réquation (i) derient
' dx . dy
yd • === — «a • . = o.
dsyjz — «0 ds\^z — z,
L'intégrale première est
( a ) ydx — xdy = ds ^z — «,x consl.
Si l'on substitue à x et a j^ les coordonnées polaires r et 0, liées par les relations
xr=rcosO, y=rsit\Bj il vient
ydx — xdy = r* rfO ;
d'ailleurs,
Va— «, = —=, dsslZ'-'Z. = '=; ^ig ^ig
par conséquent Téquation (s) peut s'écrire
C étant une constante.
Sous cette forme elle nous montre que l'aire décrite à chaque instant par la projection du rayon vecteur sur un plan horizontal est proportionnelle au carré de la vitesse du mobile.
La même équation nous fait voir que le rapport de v
dQ
k — augmente indéGniment à mesure que if diminue ou
que Ton considère un point plus rapproché du point de départ. Il en résulte que toute brachistochrone sur une surface îie réyolution est tangente au méridien du point de départ.
On a, pour toute époque.
454 MÉCIMIQVV lATIOXHBLLE.
Or, si le point d'arrivée ^i 9W U ip#idîm du point de départ, le premier membre de œtte é(]uatioD est nul ; d'ailleurs Tintégrale qui figure an second membre ne peut jamais être nulle, vu que tous ses éléments sont positifs; donc, dans ce cas, C :=: o. On en eonclul qi|e, quand le point de départ et le point d'^irivéç sont situés sur un même méridien, la brachistochrone entre ces deux points n'est pas antre chose que le méridien lid-mème.
L'intégrale de l'équation (a) peut toujours se ramener à une quadraturç. En eflçt cette équation peut s'écrire
or, si Ton pose d'où
on pourra facilement la résoudre par rapport à <f 6, et en tirer l'intégrale
Lorsque la surface est un cylindre, la réaction qu'elle exerce sur le mobile, étant horizontale, n'a aucune influence sur la vitesse. Il en résulte que, si Ton développe Le cylindre sur un plan vertical^ I4 Jbrachiftochnnie sur le cylindre restera brachistochrone sur le plan. Ainsi la première courbe a pour transformée une cycloïde- Roo^A, Journal de M, Lioiwiile, t. XIII, p« 4' > 1848.
4. Déterminer le moui^emenl d^un point pesant lancé le long d^une surface qui est de résolution autour d\n axe vertical.
Conservons la notation du problème précédent, et sui-
vons de point en point la méthode générale indiquée au commencement de cette section. Nous arriverons aux deux intégrales premières
Cette dernière intégrale pouvait se prévoir ; car le mobile, considéré comme un point libre, est sollicité seulement par deux forces, l'une verticale et constante, Tautre dirigée constamment vers l'axe de révolution. Or cette dernière force, en projection horizontale, est dirigée vers un point fixe et fonction de la distance; par conséquent la projection horizontale du mobile est assujettie aux mêmes lois qu'un corps sollicité par une force centrale.
Ces intégrales, jointes à l'équation de la surface et à la
relation
rfs» -h dir» -h r»rfe«
dr
nous donnent une relation entre et z qui détermine la trajectoire,
Il sera maintenant facile d'obtenir z, r et exprimés en fonction de i par des quadratures.
^uuR, Meeh.f t. Il, p. 488.
