CHAPITRE IL
ÉQUIUfiBE DUN POINT MATÉRIEL.
Soient P Tune quelconc^ue des forces qui sollicitent un point matériel M ; a, 6, y les angles que forme la direction de cette force avec trois droites qui ne sont pas parallèles à un même plan, et S un signe sommatoire qui s'étend à toutes les forces P.
Pour que le point M reste en équilibre, il faut et 11 suffit que la somme des projections des forces sur chacune des droites fixes soit nulle, c'est-à-dire que Ton doit avoir
2Pcosa = o, 2Pco$p = o, 2Pcos7 = o.
Stevin, de Bruges [*), énonça le premier les conditioiis d'équilibre d'un point matériel. Après avoir examiné la condition d'équilibre d'un point pesant posé sur un plan incliné et retenu par une force parallèle à ce plan, il en conclut que, généralement, pour que trois forces se fassent équilibre autour d'un point, il faut et il suffit qu'elles soient proportionnelles aux câtés d'un triangle formé par des parallèles à leurs directions. Un principe aussi important demandait une démonstration rigoureuse; Roberval (**) la donna en s'aidant de la considération du levier.
Le théorème du parallélogramme des forces n'est qu'une 'simple modification du principe de Stevin ; toutefois, il ne fut énoncé qu'un siècle plus tard par Newton (♦♦*) et
{*) BiGHiimuiv DBR Waagbkorit; i586. I^' livre de la Statique, prop. ig. (**) Traité de Uécaniquei i636.
(•♦*) Prineipia, lex III, cor.aj 1687.
Varignon (*) qui le découvrirent presque simultanément. Daniel Bernoulli (**) fut le premier qui démontra ce théorème comme principe de Statique et sans employer la considération du mouvement. Depuis cette époque, le théorème du parallélogramme des forces a été démontré de bien des manières ; Jacobi (***) en a recueilli dix-huit démonstrations de différents auteurs.
Ajoutons encore que la même année où Newton et Varignon énoncèrent la loi du parallélogramme des forces, Lami (****) publia la proposition suivante, qui n'est, pour ainsi dire, qu'un nouvel énoncé de celle du parallélogramme : Lorsqiiun point matériel reste en équilibre sous V action de trois forces P, Q, R, o/i a
P:Q:R::sin(Q, R):sin(R, P):sin{P, Q).
SECTION I
ÉQUILIBRE SANS FROTTEMENT. — ÀTTRÀCTIOir.
\ . Un fil ACBQ, parfaitementjlexibley est attaché en
Fig. 3. un point fixe par l'une de ses extrémités A,
, ^ ^ pawe dans un anneau B situé à la même
hauteur que le point A, et supporte un
poids Q par son autre extrémité. En un
point C de la partie du fil qui est comprise
p, entre A et B, on fixe un poids P tel, que,
ft lorsque le système est en équilibre, le
point C se trouve à égale distance des verticales menées
par A et B. Déterminer le rapport des poids P et Q.
( * ) Projet de la nouvelle Mécanique ; 1 687. (**) Comment, Petrop., t. I, p. ia6; 1726. "
("**) Wbewell'b Philosophjr of the inductive sciences, 1. 1, p. 197. (»***) Nouvelle manière de démontrer les principaux théorèmes des éléments de Mécanique,
On néglige le poids du fil et le frottement sur Vanneau.
Soit CD une perpendiculaire abaissée du point C sur la droite AB; posons
kB — Oy AC--Ô, ACDr=0,
et nommons T la tension du fil AC.
B est clair que la tension du fil BC est égale à Q, et, puisque D est à égale distance de A et de B, on a
Ceci posé, projetons les trois forces P, Q, T, qui sollicitent le point C, successivement sur une ligne horizontale et sur une ligne verticale-, il vient
d'ailleurs
Tsinô — QsinO,
(T-+-Q)cos9 = P;
- — ô sin ô.
1 9 entre ces trois c
2. Un point matériel M, posé sur la surface d 'un ellipsoïde de révolution, est attiré vers les foyers F, F' par
deux forces proportionnelles à MF et MF' . Déterminer la position d'équilibre.
On néglige le frottement du point matériel sw la surface.
Soient a a l'axe de révolution, et r, r' les distances du point matériel aux foyers.
