Déterminer le centre de grainté d'*un arc de cercle

Faisons tourner l'arc de cercle autour d'un diamètre parallèle à sa corde. Il engendre une zone sphérique dont la surface est égale au produit de 27r par le rayon et par la corde. Or, d'après le théorème de Guldin, cette même surface est égale au produit de Tare et de la circonférence décrite par le centre de gravité de Tare.

Soit X la distance de ce centre de gravité au diamètre.

Nous avons

27r X rayon X corde = arc X 27ra:;

d'où

- rayon X corde

arc

3. Le théorème de Guldin subsiste quelque petit que soit Tangle décrit par la figure mobile dans sa rotation autour d'une droite tracée dans son plan. Il s'ensuit que

44 MÉCÀiriQUE RATIOMVELLE.

si Ton imagine un plan qui roule sans glisser sur une surface développable^ une aire tracée dans ce plan engendre dans ce mouvement un volume égal au produit de cette aire par la longueur du chemin que décrit son centre de gravité. De même, une ligne tracée sur le plan engendre une surface égale au produit de la longueur de cette ligne par la longueur du cliemin que parcourt son centre de gravité.

On suppose que la figure tracée dans le plan mobile reste toujours d'un même côté par rapport à la droite mobile de contact entre le plan et la surface dévcloppable.

Exemple. — Un plan roule sans glisser sur un cy-lindre circulaire. Calculer le ^volume et la surface du solide qu engendre un cercle tracé sur le plan.

Soient a le rayon du cercle, r le rayon du cylindre, b la distance initiale du centre du cercle à la génératrice de contact, o) Tangle décrit par le plan, ou, si Ton veut, Tangle décrit par un plan mobile qui passerait constamment par l'axe du cylindre et par la génératrice de contact.

La distance du centre du cercle à la génératrice de contact est 1 4- rw, la longueur de l'arc de développante de cercle décrit par ce centre est donc

I (^ -f- rw)rfw n= « ( ^ H — rwj.

Il s'ensuit que le volume du solide engendré est

irû'û) 16 H r» U

et sa surface courbe

27rfl» ( 6 H rw )•

4. Déterminer le volume et la surface de Vanneau engendré par la résolution d*un cercle autour d^un axe extérieur situé dans le même plan.

Si Ton représente par a le rayon du cercle et par b la distance de son centre à Taxe, on trouve que le volume est 2 7r*a*i, et la surface 47r'fli.

5. Déterminer le volume du solide engendré par la demi-révolution d'une ellipse autour d^un axe extérieur situé dans son plan.

Soient ^a^ ^b les axes de Tellipse, et c la distance de son centre à Taxe de révolution. Le volume cherché est égal à i:*abc.

6. Déterminer le volume engendré par l'aire comprise entre une parabole, l'axe de cette courbe et une ordonnée perpendiculaire, lorsque cette aire tourne d'un angle 6 autour de la tangente au sommet.

Si l'on nomme y l'ordonnée et x sa distance au sommet, on trouve que le volume cherché est égal à - Ox^j,

7. Déterminer le volume et la surface du solide engendré par la réi^olution d'un arc entier de cycloïde autour de sa base.

Soir a le rayon du cercle générateur de là cycloïde. On trouve que le volume est Stt^û', et la surface

-jr.a.

8. Déterminer le volume et la surface du solide engendré par la réi^olution de la moitié d'un arc de cycloïde autour de l'axe de cette courbe.

Si Ton nomme a le rayon du cercle générateur de la

46 MÉGANIQCJB BATIONlfELLE.

cycloïde, on trouve que le volume est Tra* f ^ H j> et

la surface Sttû* ( tt — ~ V

9. Déterminer le volume du solide engendré par la rév^olution d^un triangle rectangle autour de son hypoténuse.

Si les côtes de l'angle droit sont a et &, le volume cherché est