Un fil ACB inextensible et sans poids, de longueur
donnée, est attaché par ** ^ ses extrémités à deux
points fixes A, B. Un autre fil inextensible et sans poids est attaché au point B, pa^se dans un très-petit anneau pesant C, qui est lui-même enfilé dans le premier fil ACB, et porte à son extrémité inférieure un poids P.
Déterminer la position d'équilibre d* un tel système.
Soient A, B, C les angles et a, £, c les côtés du triangle ABC, 'kp son périmètre, a Fangle que fait AB au-dessus de rhorizonlale, |i le poids de Panneau C.
D'après les formules bien connues qui donnent les angles d'un triangle en fonction de ses côtés, on a
tang — tang - = ^ •
STATIQUE. 5l
Ponr exprimer que les forces appliquées au point C se font équilibre, il suffit d'écrire que leurs projections horizontales et verticales se détruisent séparément. Il vient, en nommant i la tension du fil ACB,
(P-f-r)cos(a-f-B) =/cos(A — a)
et
(P -f-r)sin(a-hB) -f- /sin(A — a) = P -h f*.
De la première de ces équations on tire la valeur de t^ on la reporte dans la seconde-, alors cette dernière, en ayant égard à la relation (i), peut se mettre sous la forme
Pc — {-ip — r) (P -h fi) sin a y»(P H- pijcosa
On connaît le produit et la différence de tang — et tang -»
on sait trouver ces quantités à Taide d*une équation du deuxième degré.
Quand on néglige le poids [l de Panneau, on trouve
tang - — tang --
tang-r-/-
c I + siD a
tang-
I — sîn a cosa
4. Toutes les molécules d*une denii-'sphere solide et Fig. 5. homogène sont douées d^un pouuoïr at-^
tractif en raison inverse du carré de la distance. En quel lieu de Vaxe de ce corps faut-il placer un point matériel pour qu'il reste en équilibre sous P action des forces attractives P
Soient CA Taxe de la demi-sphère, DCD' un diamètre de la base, O la position cherchée du point matériel, DAD' Tiiitersection de la surface de la demi-sphère par le plan des droites CA,
SlÀ ' MÉCAlflQVE BATIOHNBLLB.
DCD'; traçons la droite BOB' perpendiculaire à CA. D'un point M pris sur l'arc BA abaissons la perpendiculaire MP sur Taxe, et d'un point m pris sur l'arc BD abaissons de même la perpendiculaire mp. Posons
OP~r, MPl— /, 0/7f--r', Op^x\ mp=y'',
nommons {x l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance, et p la densité de la sphère.
Ceci posé, l'attraction exercée sur le point O par une trancbe MPM' perpendiculaire à l'axe et d'épaisseur dx est dirigée suivant OA, et a pour expression
Zis^pdx j j =:i2i:upxdj: j — i -=--i — df
aïTfxp
Hh
par conséquent, l'attraction X du segment de sphère OBAB' est dirigée suivant OA, et est égale i
De même, l'attraction X' de la tranche CDBOB'D' est dirigée suivant OQ et a pour valeur
Or la Géométrie nous donne la relation
/•a — dt«4- (/i -f- ar -h c) (flr — .r — c) =: A* — 2f.r,
d'où l'on tire
cdx z=. — rdty ou
xdx __ b*—r'
8TATIQ1JB. 53
par coDsëqnent,
Oa trouve pareillement
2ir»
dr\
oa, ce qui est la même chose,
La condition d'équilibre
peut donc s'écrire
Éliminant b et b' par les relations
6» == fl» — c' et b'^ = fl' -h c% il vient d*abord
puis, en élevant au carré,
I2C* — 8a*tf H- Za* = G.
Cette équation détermine c. Elle n'a que deux racines
54 KÉCAKIQUB RATCOBINELLE.
réelles, toutes deux positives. L'une d^elles est 4 peu près
égale à -a. Cette racine est étrangère au problème, elle
a été introduite en élevant au carré Téquation (i) ^ car si on la reporte dans cette équation, elle ne la vérifie qu^à la condition qu^on prendra le radical , c*est*-à*dire b\ avec le signe — . L'autre racine est approximativement
c'est elle qui résout le problème.
Diarian ReposUory, p. 629.
5. La plus grande attraction qu'une masse homogène de figure quelconque puisse exercer, suivant la loi de la grqpitation unii^erselle, sur un point placé comme Von voudra j est à V attraction que la même masse^ réduite en sphère homogène et de même volume^ exercerait sur un point placé à sa surface, dans le rapport deZà IjUS.
Le corps de plus grande attraction, sous une masse et un volume donnés, jouit de cette propriété, que les molécules situées à sa surface exercent des attractions égales suivant la direction de la résultante. En eflet, considérons un corps bomogène dont toutes les molécules situées à la surface exercent des attractions %ales. Si nous déplaçons une de ses molécules, ce ne peut être qu'une molécule de la surface, autrement nous cbangerions la densité; et cette molécule ne peut être placée qu'à l'extérieur. Or je dis que toute molécule située à l'extérieur attire moins qu'une molécule placée sur la surface primitive.
Prenons le point attiré pour origine de coordonnées polaires, dont l'axe coïncidera avec la direction de Fattraction résultante, et nommons A une constante. La sur-
svATtQm. 55
face d'égale attraclioa aura son équation de la forme
et il est clair que pour tout point extérieur on aura
