L 9*É0IT. II

l68 MÉCAKK^UE EATIOVNELLE.

homogène, mais d* inégale épaisseur, dont tous les eVéments sont soumis à V action d^une force centrale inuer^sèment proportionnelle à la distance, trousser la loi sui» vant laquelle doit varier V épaisseur en chaque point et la courbe que doit affecter la corde dans le cas d^éçuHi- Ire, pour que, dans cet état, la tension varie d'un point à un autre proportionnellement à P épaisseur, ou que la corde présente partout égale chance à la rupture.

Conservons la notation et les axes du problème 2; de plus, prenons pour unité de force celle qui agit à Tunité de distance, et pour unité de densité celle de la corde, en sorte que la section du fil soit représentée par le même nombre que la masse rapportée à Tunité de longueur. Nommons a le rapport constant qui existe entre la section m et la tension t en chaque point de la corde, dans l'état d'équilibre.

Les formules (i) et (c) du problème 1 nous donnent les équations

r*=*=- cos.(idb«) e = ^^'j

dans lesquelles le signe supérieur répond à une force attractive, et le signe inférieur à une force répulsive.

On voit que la trajectoire peut Être, suivant les cas, un cercle, une hyperbole équilatère, une lemniscate, ou quelque autre courbe.

Les deux équations qui précèdent permettent d'évaluer le volume d'un arc, compté à partir de Taxe polaire, en fonction de la section an point où l'on s'arrête.

Soit V ce volume. On trouve

im-^-f

ï±a\ Ottum Bomnrr, Journal de M. LkmvQle, t. IX, p. 97 ; i844*

8TATIQUB. l63

SECTION IV

FIL PLACÉ sua UNE COITEBK FIXE.

1. Un fil flexible et pesant est maintenu en équilibre sur une courbe située dans un plan vertical. Déterminer, en un point donné ^ la tension du fil et la pression exercée sur la courbe»

Prenons Taxe des x horizontal, et soient :

P le point donné dont les coordonnées sont Xj y\

V un point infiniment voisin ;

p le rayonde courbure qui correspond à Félément PP'^

f Fangle des deux rayons de courbure qui aboutissent aux points P et P';

ds la loDgueur de Télément PP' ;

m la masse du fil rapportée i Tunité.de longueur;

t la tension au point P ;

R la pression que supporte la courbe au même point P.

Projetons les forces qui sollicitent Télément PP' sur la

tangente au point P. Il vient

dr {t-{'dt)cos^'-t=mgds-j-f

ou simplement

dt = mgdy.

Si Ton suppose que l'axe des x passe par le point où la tension est tiulle, l'intégrale est

t = mgy.

Projetons les mêmes forces sur la normale au point P

n vient

mgd$ — 4- (r 4- dt) sinf = Vids ,

l64 MÉCÀMQUB RlTIOliNELLE.

et puisque p = — > on a

dx t (dx y\

% Un fil Jlexible passe sur une courbe située dans un plan vertical^ et porte à ses extrémités Jeux poids égaux f le poids du fil peut être considéré comme nul vis'-à-vis des poids quil supporte. Déterminer la pression exercée sur la courbe en un point donné.

Conservons la notation du problème précédent, et nommons Q Ttm quelconque des poids suspendus aux extrémités.

Si Ton projette sur la normale au point P les forces qui sollicitent Télémcnt PP^ il vient

(/ -h </r)sîn9 = Kds = Rpy,

ou simplement

r = Rp.

Si Ton projette les mêmes forces sur la tangente aa point P, on trouve

(r-+-</r)cosy — r = o, ou simplement

é//zz=o, r=:const.

Or, au point où la tangente est verticale,

rr=Q; donc Q = Rp, R = ?^.

CoROLLAiEB. — La prcssiou totale que supporte la courbe est

Soit 4> Tangle des deux normales menées aux points où

STATIQUE. l65

lé fil abandonne la courbe. La pression totale aura pour valeur la quantité Q4^ augmentée des pressions qui s'exercent aux points extrêmes. Ces pressions additionnelles seront nulles, si la tangente en ces points extrêmes est verticale; dans ce cas, la pression totale est irQ. EuLxm, Nopi Comment. Petrop,^ i77^> ?• ^7*

3. Un fil flexible passe auec frottement sur une courbe située dans un plan vertical^ et porte à ses extrémités deux poids Q, Q', dont le premier est trop considérable pour que l'équilibre puisse subsister s'il n*y avait pas de frottement ^ le poids du fil peut être né^ gligé viS'à'vis des poids qu^il supporte* Quelle relation doà exister entre les poids Q^Q' et le coefficient de frottement pt, pour que le système reste en équilibre ?

Conservons la notation du problème précédent, et considérons le système lorsqu'il est sur le point de glisser.

Si nous projetons les forces qui sollicitent Télément PP', d'abord sur la normale au point P, puis sur la tangente, il vient

[t-h rfr)sinç = Rrfy=:Rpy, (t'hdt)cos^ — r-+- flRds=: o,

ou simplement

r = Rp,

é//-hfiRd!r = o.

On tire de ces formules

iit=i — fi -i/f, P

Pour que les calculs soient plus nets, remplaçons la lettre <{, qui nous représente un angle infiniment petit,

l66 MÉGAKIQPE KATiOXHELLE.

par la différentielle d6 d'un . angle compte à partir d'une direction fixe. Nommons 0i, 9i les valeurs de 9 qui correspondent aux points extrêmes, où le fil abandonne la courbe, en sorte que 4> soit égal à la différence 61 -^ 0i . Nous aurons

logr:= — fi / rfO== — ftO -hconsi. i= — 1*0-4- C.

Si nous appliquons cette formule aux points extrêmes, il Tient

logQ = C — fx0., logQ' = C-piOn

d'où il résulte que la condition d'équilibre est

Lorsque le fil est sur le point de glisser, on a

log< — logQ' = ^(9. — 9),

alors la pression totale exercée sur la courbe est égale à la somme des pressions exercées aux points extrêmes, pW la quantité

CoEOLLÀiRE. — Si les ungentes à la courbe aux points extrêmes sont verticales, on a

8TATIQVS. 167

et U condilion d'équilibre devient

£v£VBy No»i Comment* Petfop*^ '77^1 F* ^'^ SECTION V.

ÉQITILIBEE d'vH FIL ÉLASTIQUE.

Lorsqu^on suspend différents poids à rextrémtté d^un fil élastique et de longueur doimée, on observe que rallongement est proportionnel au poidï. Si Ton fait varier la longueur naturelle du fil, on trouve que raltoogement est proportionnel à cette longueur, tant que le poids du fil peut être considéré comme nul relativement au poids quMl supporte.

Il résulte de là que, si l'on nomme a la longueur naturelle du fil, a* la longueur du fil lorsqu'il porte un poids P, et X une constante qui dépend de la nature du fil, on a

Cette loi fut d'abord énoncée par Hooke, dans le catalogue de ses découvertes placé à la fin de sa Description of Helioscopes. Elle y était cacbée sous l'anagramme ceiiinosssttuu [ut tensio sic vis) ^ mais, plus tard, l'auteur ne craignit point de la développer et de la justifier, dans son Traité De potentia restitutiua. La théorie de Hooke servit de base au Mémoire de Leîbiiitz^ Demonstrationes novœ de resistentia solidoruni^ qui fut inséré dans les Acta eruditorum pour Tannée 1784- On peut consulter avec fruit sur ce sujet les Elementa Phy'^ sicesde S'Gravesande, lib. I, cap. 26.

1 • On suspend tsn fit élastique et pesant ABC par son

l68 XÉGÀIfIQUB BATIOIfNlSLLS.

extrémité A, au point B on attache un poids P, et on laisse pendre librement la portion BC. Quelle est la longueur du fil placé dans ces circonstances?

On connaît le coefficient d'allongement X, les longueurs a et & des parties AB et BC dans Téta t naturel du fil, ainsi que la masse rapportée à l'unité de longueur m dans Tétat naturel.

Soient :

PP' un élément infiniment petit de la partie AB;

t la tension au point P ;

X la distance de ce point à Textrémité supérieure A \ '

c la longueur naturelle d'une portion de fil dont le poids serait égal â P \

a\ V les longueurs des parties AB« BC dans les circonstances du problème.

Considérons d'abord la partie AB.

La masse rapportée i l'unité de longueur, dans le fil allongé, est égale a r- \ d'où résulte , pour l'élément PP',

la condition d'équilibre

medx

(i -hit) de -h mgdx=zOj

-f- mgx = const. = C

Or, lorsque x = o,

t = mg {a -h b H-c);

lorsque x = a',

tz=mg(b ^c).

Substituait ces valeurs dans la formule qui précède et

relranchant les résultats, il vient

— (^ -l-r) I I -t- "Img^b -hc) j — a'.=:o;

d'où

11' = Il I I H — '^n9g{a -h 2 3 -h 2c) I •

Considérons maintenant la partie BC.

Soit t la tension à la distance y du point B. On a

? ( I -4- -Xt J -h mgy == coDSC. =C'.

Or, lorsque/ = o,

r — mgb;

lorsque/ = i',

Substituant ces valeurs dans Téqnation précédente et retranchant les résultats, on trouve

b'=:b(i -h^lmgby Ainsi,

a' -h b'^za-h b-h ■'l<mg[a{a -hab ^ ne) -h b^].

Telle est la longueur du fil dans les circonstances indiquées.

2. Un Jil élastique et pesant ABC tstfixé par son extrémité A au sommet tPun plan incliné AB, dont la longueur est égale à celle du fil dans son état naturel. Déterminer la longueur de la partie de fil BC qui pend aunléssous du plan .

Soient a la longueur du plan, a son inclinaison, x la

170 XécAMIQVB &ATIOHIfELLE.

distance au point A d'un point du fil ÂB, et t la tension en ce point.

Considérons d'abord la partie de fil qui repose sur le plan.

d'où

r ( I -+- - Xr j H- mgjTsina := const. == C.

Si l'on désigne par r la tension au point 6, par T la tension au point Â, et que l'on applique la dernière formule à ces deux points, on obtient

T f I -t- - Xt 1 -4- mga sina ^ T ( iH- ~ XT ) •

D'ailleurs, set a — s désignant les longueurs naturelles des parties de fil BC et AB, on a

T = mgSy T=z mg[s -hÇa^s) sin«].

Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donnent

•''kmg{a — s)[iis-h (a — s)sma]=zs.

De cette équation du second degré on tirera la valeur de s, et la reportant dans l'expression

^f H-- ImsU

on aura la longueur effective de la partie de fil qui pend au-dessous du plan.

3. Un fil élastique et rectiligne réunit deux poids t/ui reposent sur deux plans inclinés et parfaitement p<^.

WTÂTiqm. 171

Trouver la position d'équilibre du système ^ en négligeant le poids duJiL

Soient P et Q les deux poids, AC et BC les plans sur lescjuels ils reposent, a, jS les inclinaisons de ces plans sur rhorizon, 6 l'inclinaison de la direction PQ sur la direction horizontale AB, a la longueur naturelle du fil, a' sa longueur effective dans Tétat d'équilibre et T sa tension.

Considérons isolément Féquilibre du poids P, puis celui du poids Q. Il vient

Psina=:Tcos{a— 0), Qsinp = Tcos(p-*-0);

Psina Qsinp

PcoiB — Qcota tangd= £ ^

Cette équation détermine Tangle 0.

La longueur du fil est donnée par les équations

f / ^•«x r * Psina 1

L cos(a-G)J

4. Déterminer la courbe qu*affecte une corde élas" tique et pesante, lorsqu'on la suspend par ses deux extrémités* On suppose que la corde est homogène et que^ dans son état naturel, elle est partout dégale épaiS' seur.

Soient m la masse de la corde rapportée à Tunité de longueur dans l'état naturel, t la tension et s Tare compté à partir du point le plus bas.

Prenons Taxe des j' vertical et dirigé de bas en haut*

IJ^ MÉCAiriQUE RlTfOVlfELLE.

On a, comme au problème i de la section II,

ds\ ds ) ' ds\ds) i-hU La première équation nous donne

en désignant par r la tension au point le plus bas.

Si Ton reporte la valeur de t dans la seconde équation,

et que Ton pose, pour abr^er, -j-^^p^ il vient

dx dp mg

^^ i-hlry/i -hp"

Nous allons ici substituer successivement à la variable 5 les variables x eijr^ Nous pourrons intégrer tine première fois; alors nous aurons deux relations Gnies entre p, x et j^9 et Télimination de p nous donnera l'équation de la courbe.

Remplaçons ds par sa valeur V' + p^dx'^ il vient

mgdx= X [ J. -h Xt \ dp.

ce qui donne, en intégrant,

mgx = T [log ij} -t-V^i -4-f>' ) -h >T/j],

(3) c ' z^p-h^i-hp^

Multiplions l'équation (1) par p, et remplaçons pdx par sa valeur dy ] nous trouvons

nigdr =

gdf = t( -A h- \rp] dp.

Xy/i-^p' )

L'inXégTdXe est

(4) mgx = r)l7TJ'-h^\x^p';

nous n^ajoutons pas de constante, parce que nous admettons que Fordonnée du point le plus bas est égale à — •

On peut tirer facilement de cette équation la valeur de p en fonction dej^^ si Ton porte cette valeur dans l'équation (3), on aura Téquation de la courbe, laquelle est assez compliquée.

Il est cependant facile d'assigner la position d*un point donné à volonté sur la corde dans son état naturel. En effet, prenons Téquation (i), dans laquelle les variables sont 5 et p,

5) ^. =rdp.

Le premier membre représente le poids de l'élément ds\ si donc nous appelons P le poids de Tare s compté à partir du point le plus bas, nous aurons

Soit A un. point donné sur la corde. On connaît le poids P de la partie de la corde qui est comprise entre le point milieu et le point A; par conséquent, si r est connu, on connaît aussi la valeur de p correspondante au point A, dans la courbe que la corde décrit lorsqu'on la suspend par ses extrémités. Substituant cette valeur de p dans les équations. (3) et (4)i on aura les coordonnées du point considéré. Si maintenant nous supposons que A soit Tune des extrémités de fai corde^ les valeurs de X et de P relatives i cette extrémité étant fournies par les données, les équations (3) et (6) nous feront con* naître r.

174 MÉGAAIQITB RATIONNELLE.

L'équation (5) nous fait connaître la longueur de l'arc qui se termine au point A; car, si Ton intègre cette I équation, on trouve

L'équation (2) nous donne le rayon de courbure p correspondant au même point A*

Ou voit qu'au point le plus bas le rayon de courbure est égala

mg FiNGK et B0BILLIB&, Annales de Gergonne, t. XVII, p. 65.

5. Deux poids égaux sont réunis par un fil élastique et sans pesanteur dont la longueur naturelle est connue. Déterminer^ dans un plan vertical^ deux courbes telles^ que si Von dépose les deux poids sur ces courbes à la même hauteur et partout où ton voudra^ ils restent en équilibre.

Soient P l'un des poids et a la longueur naturelle du fil* Prenons l'axe des j^ vertical, dirigé de baut«n bas et a .^ale distance des deux pçids; plaçons Toriginede telle sorte que la tension du fil soit nulle en même temps que l'ordonnée des poids.

Les courbes cber(;^ées sont deux demi-paraboles représentées par la double équation

•kaVf.

STATIQUE. I'j5

6. Autour eTun cône vertical et parfaitement poliy on place un anneau élastique^ dont on connaît le rayon naturel a et le poids P. Déterminer la position ^équilibre pour cet anneau.

Soit OL r inclinaison des génératrices du cône sur l'axe. Le rayon de l'anneau dans sa position d*é({uilibre est

(I-4-X — cota) :

cette valeur détermine la position d'équilibre, car l'anneau doit rester horizontal.

i;6 MéClKIQUE BATIONIfELLB.